空间点、直线、平面之间的位置关系
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平面、空间中点线面的位 置关系
实例引入
它们呈现出怎样的形象？
1、平面的含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所
说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出
来的。
平面的特征：平面是平的，没有厚薄，
没
有
大
小
，新疆
王新敞 奎屯
可
以
无
限
延
伸
，
即
无
边
界
新疆 王新敞
奎屯
一条直线把平面分成两部分 一个平面把空间分成两部分
那么它们有且只有一条过该点的公共直
线．（即两平面的交线）
符号表示为:
P l, Pl.
图形表示为: 作用：
l
P
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
例. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内
(2)直线a经过平面 外一点M (3)直线 l 在平面 内,又在平面 内
探究 3 (1)证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个 相交平面内即可，根据公理 3，找出相交的平面与平面的交线， 说明这些点都在两个平面的交线上．
(2)根据公理 3，可作出两个平面的交线．
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
《几何原本》
——德·摩根
梁启超曾称赞徐光启翻译的《几何原本》 是：
字字精金美玉，是千古不朽之作.
徐光启《刻几何原本序》指出： 《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直
之情，尽规矩准绳之用也。既卒业而复之，由显入 微，从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万 象之形囿，百家之学海，虽实末竟，然以当他书， 既可得而论矣。
【证明】 平面 α 外的△ABC 确定一个平面 ABC. ∵△ABC 的三边所在的直线分别交面α于 P、Q、R 三点， ∴P、Q、R 三点为平面 ABC 和平面 α 的公共点． 由公理 2 可得：平面 ABC 和平面 α 有公共点，那么它们有 且只有一条经过公共点的公共直线． ∴P、Q、R 三点在同一条直线上．
2.平面的表示方法
(1)、图形表示(画法)： 常用平行四边形
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，且 横边长画成邻边长的两倍；
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住
时，应把被遮住的部 分画成D虚线或不画C。
D
FC
A
B
(2)、符号表示(记法)：
A
EB
①平面α、平面β、平面γ
《几何原本》的內容
• 全书共分 13 卷，包括： • 5 条公设、5 条公理 • 119 个定义 • 465 条命题
公设
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交， 若在直线某一侧的两个内角之和小于二直 角，則这两条直线经无限延长后在这一侧 相交。
1
α
β 2
α + β< 180
重要命題举例
欧几里得 （Euclid of Alexandria; 约公 元前 330 约公元前 275）
欧几里得的《几何原本》 是用公理化方法建立演绎 数学体系的最早典范。
欧几里得的13本书是一个奇迹，这 甚至比牛顿的定律还要伟大。
没有人能像欧几里得那样给出如此 容易而又自然的几何结果之链，而且每 个结果都是永真的。
非欧几何的产生
•到了十九世纪，波尔约和罗巴切夫斯基分别地证实，即 使否定了第 五公设，我们仍然可以得到一个沒有矛盾的 几何体系。
波尔约 (1802 1860 )
罗巴切夫斯基 (1792 1856 )
(1) 罗氏几何 过直线外一点至少有两条直线与该直线平 行。
(2)黎曼几何 过直线外一点没有直线与该直线平行
(2)7 个 面 PAB，面 PBC，面 PCD，面 PAD，面 PAC，面 PBD，面 ABCD
题型五 公理三 例 5 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分别交 面 α 于 P、Q、R，求证：P、Q、R 在同一条直线上．
【思路分析】 只需证明 P、Q、R 分别在两个平面内，即 在两平面的交线上．
◎思考题 4 (1)3 条直线相交于 1 点，最多能确定________ 个平面；3 条直线相交于 3 点，最多能确定________个平面．
(2)空间有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何 三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是________．
【答案】 (1)1 或 3 1
②平面ABCD、平面AC
3、点、直线与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.线也是点的集合。
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系
l B 点A在直线l上，记作A∈l
A
点A不在直线l上，记作Al
B
A
α
m
. . A ·l ·B ·
点A在平面α内，记作A∈α 点B在平面α外，记作Bα
④由 A,C1, B1 确定的平面是 ADC1B1； 正确
⑤由 A,C1, B1 确定的平面与由 A,C1, D 确定的平面是
同一个平面． 正确
C D
B A
C1 D1
B1 A1
题型四 公理二
例 4 空间四点可以确定几个平面？并画出图形．. 【解析】 空间四点的位置关系有三种情况：四点共线，仅三 点共线，任意三点不共线． (1)当四点共线时，这四点不能确定平面，如图①. (2)当四点中只有三点共线时，可以确定一个平面，如图②. (3)当四点中任意三点均不共线时，确定一个或四个平面，如图 ③④.
《几何原本杂议》：能精此书者，无一事不可 精；好学此书者，无一事不可学。此书为用至广， 在此时尤所急须.
能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资 其定法，发其巧思，故举世无一人不当学！ 他坚信，百年之后，必人人习之。
数学家波尔查诺（1781-1848）生病 治疗时，闲暇无事时拿起《几何原本》一 书，阅读了第五卷，感觉到欧多克斯的比 例理论太精彩了。高明的方法让他兴奋不 已，根本感觉不到疾病的存在了。每当朋 友生病时，他总是向朋友推荐几何原本这 灵丹妙药。
• 命题 I.47 在直角三角形中，直角所对 的边上的正方形面积等于夹在直角两边 上正方形面各之和。
即是著名的毕达哥拉 氏定理
重要命题举例
• 命題 II.12 在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方 形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。 即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间 一段与另一边所构成的矩形。
l
l
B
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且
只有一个平面.
如何理解？？？
A, B,C不共线 A, B,C确定唯一一个平面
可以记成“平面ABC”．
作用:1、确定一个平面 2、证明点、线共面问题.
过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？
结论：过空间中一点或两点可以做无数 个平面，过空间中不共线的三点只能做一个， 否则有无数个。
直线l在平面α内，记作 lα 直线l不在平面α内，记作lα
4、平面公理
如果直线 l 与平面α有一 个公共点，直线 l 是否在 平面α内？如果直线 l 与 平面α有两个公共点呢？
4、平面公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
图形语言
.A
l
·
.·B ·
符号语言
Al
B A
公理2的3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点， 有且只有一个平面。 推论2：经过两条平行直线，有且只有 一个平面。 推论3：经过两条相交直线，有且只有 一个平面。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
B
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
c2 (a2 + b2) = 2 ad 即 c2 = a2 + b2 + 2ad
b
c
d a
a
• 注：命题 II.12 就是现时常用的“余弦定理”。
非歐幾何的產生
• 後世數學家認為第 5 公設是正確的，但 它不應該是「公設」，而是一條可以被 證明的「命題」。
• 奇怪的是，經過了二千年的時間，都未 能找到對第 5 公設的一個合理證明！
（即平面和平面相交于直线）
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
C D
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD 中A1，B1C判1D1断下列命题是否正确，并 说明理由：
②设正方形ABCD与 A1B的1C1中D1心分别为O， ，则O平1
面 与A平A1C面1C
的交BB线1D为1D
OO1
C
D
O
B A
正确
C1
B1
D1
O1
A1
随堂练习
在正方体 ABCD 中A1，B1C判1D1断下列命题是否正确，并 说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误 NhomakorabeaC
D
O
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：
实例引入
它们呈现出怎样的形象？
1、平面的含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所
说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出
来的。
平面的特征：平面是平的，没有厚薄，
没
有
大
小
，新疆
王新敞 奎屯
可
以
无
限
延
伸
，
即
无
边
界
新疆 王新敞
奎屯
一条直线把平面分成两部分 一个平面把空间分成两部分
那么它们有且只有一条过该点的公共直
线．（即两平面的交线）
符号表示为:
P l, Pl.
图形表示为: 作用：
l
P
①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
例. 将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A在平面 内，但不在平面 内
(2)直线a经过平面 外一点M (3)直线 l 在平面 内,又在平面 内
探究 3 (1)证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个 相交平面内即可，根据公理 3，找出相交的平面与平面的交线， 说明这些点都在两个平面的交线上．
(2)根据公理 3，可作出两个平面的交线．
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
《几何原本》
——德·摩根
梁启超曾称赞徐光启翻译的《几何原本》 是：
字字精金美玉，是千古不朽之作.
徐光启《刻几何原本序》指出： 《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直
之情，尽规矩准绳之用也。既卒业而复之，由显入 微，从疑得信，盖不用为用，众用所基，真可谓万 象之形囿，百家之学海，虽实末竟，然以当他书， 既可得而论矣。
【证明】 平面 α 外的△ABC 确定一个平面 ABC. ∵△ABC 的三边所在的直线分别交面α于 P、Q、R 三点， ∴P、Q、R 三点为平面 ABC 和平面 α 的公共点． 由公理 2 可得：平面 ABC 和平面 α 有公共点，那么它们有 且只有一条经过公共点的公共直线． ∴P、Q、R 三点在同一条直线上．
2.平面的表示方法
(1)、图形表示(画法)： 常用平行四边形
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成450，且 横边长画成邻边长的两倍；
画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住
时，应把被遮住的部 分画成D虚线或不画C。
D
FC
A
B
(2)、符号表示(记法)：
A
EB
①平面α、平面β、平面γ
《几何原本》的內容
• 全书共分 13 卷，包括： • 5 条公设、5 条公理 • 119 个定义 • 465 条命题
公设
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交， 若在直线某一侧的两个内角之和小于二直 角，則这两条直线经无限延长后在这一侧 相交。
1
α
β 2
α + β< 180
重要命題举例
欧几里得 （Euclid of Alexandria; 约公 元前 330 约公元前 275）
欧几里得的《几何原本》 是用公理化方法建立演绎 数学体系的最早典范。
欧几里得的13本书是一个奇迹，这 甚至比牛顿的定律还要伟大。
没有人能像欧几里得那样给出如此 容易而又自然的几何结果之链，而且每 个结果都是永真的。
非欧几何的产生
•到了十九世纪，波尔约和罗巴切夫斯基分别地证实，即 使否定了第 五公设，我们仍然可以得到一个沒有矛盾的 几何体系。
波尔约 (1802 1860 )
罗巴切夫斯基 (1792 1856 )
(1) 罗氏几何 过直线外一点至少有两条直线与该直线平 行。
(2)黎曼几何 过直线外一点没有直线与该直线平行
(2)7 个 面 PAB，面 PBC，面 PCD，面 PAD，面 PAC，面 PBD，面 ABCD
题型五 公理三 例 5 已知△ABC 在平面 α 外，它的三边所在的直线分别交 面 α 于 P、Q、R，求证：P、Q、R 在同一条直线上．
【思路分析】 只需证明 P、Q、R 分别在两个平面内，即 在两平面的交线上．
◎思考题 4 (1)3 条直线相交于 1 点，最多能确定________ 个平面；3 条直线相交于 3 点，最多能确定________个平面．
(2)空间有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何 三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是________．
【答案】 (1)1 或 3 1
②平面ABCD、平面AC
3、点、直线与平面的位置关系
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.线也是点的集合。
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系
l B 点A在直线l上，记作A∈l
A
点A不在直线l上，记作Al
B
A
α
m
. . A ·l ·B ·
点A在平面α内，记作A∈α 点B在平面α外，记作Bα
④由 A,C1, B1 确定的平面是 ADC1B1； 正确
⑤由 A,C1, B1 确定的平面与由 A,C1, D 确定的平面是
同一个平面． 正确
C D
B A
C1 D1
B1 A1
题型四 公理二
例 4 空间四点可以确定几个平面？并画出图形．. 【解析】 空间四点的位置关系有三种情况：四点共线，仅三 点共线，任意三点不共线． (1)当四点共线时，这四点不能确定平面，如图①. (2)当四点中只有三点共线时，可以确定一个平面，如图②. (3)当四点中任意三点均不共线时，确定一个或四个平面，如图 ③④.
《几何原本杂议》：能精此书者，无一事不可 精；好学此书者，无一事不可学。此书为用至广， 在此时尤所急须.
能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资 其定法，发其巧思，故举世无一人不当学！ 他坚信，百年之后，必人人习之。
数学家波尔查诺（1781-1848）生病 治疗时，闲暇无事时拿起《几何原本》一 书，阅读了第五卷，感觉到欧多克斯的比 例理论太精彩了。高明的方法让他兴奋不 已，根本感觉不到疾病的存在了。每当朋 友生病时，他总是向朋友推荐几何原本这 灵丹妙药。
• 命题 I.47 在直角三角形中，直角所对 的边上的正方形面积等于夹在直角两边 上正方形面各之和。
即是著名的毕达哥拉 氏定理
重要命题举例
• 命題 II.12 在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方 形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。 即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间 一段与另一边所构成的矩形。
l
l
B
用途:可以用来判断直线是否在平面内.
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且
只有一个平面.
如何理解？？？
A, B,C不共线 A, B,C确定唯一一个平面
可以记成“平面ABC”．
作用:1、确定一个平面 2、证明点、线共面问题.
过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？
结论：过空间中一点或两点可以做无数 个平面，过空间中不共线的三点只能做一个， 否则有无数个。
直线l在平面α内，记作 lα 直线l不在平面α内，记作lα
4、平面公理
如果直线 l 与平面α有一 个公共点，直线 l 是否在 平面α内？如果直线 l 与 平面α有两个公共点呢？
4、平面公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
那么这条直线在此平面内.
图形语言
.A
l
·
.·B ·
符号语言
Al
B A
公理2的3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点， 有且只有一个平面。 推论2：经过两条平行直线，有且只有 一个平面。 推论3：经过两条相交直线，有且只有 一个平面。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面 与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
B
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
c2 (a2 + b2) = 2 ad 即 c2 = a2 + b2 + 2ad
b
c
d a
a
• 注：命题 II.12 就是现时常用的“余弦定理”。
非歐幾何的產生
• 後世數學家認為第 5 公設是正確的，但 它不應該是「公設」，而是一條可以被 證明的「命題」。
• 奇怪的是，經過了二千年的時間，都未 能找到對第 5 公設的一個合理證明！
（即平面和平面相交于直线）
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
①直线 AC1在平面 CC1B1B 内；错误
C D
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD 中A1，B1C判1D1断下列命题是否正确，并 说明理由：
②设正方形ABCD与 A1B的1C1中D1心分别为O， ，则O平1
面 与A平A1C面1C
的交BB线1D为1D
OO1
C
D
O
B A
正确
C1
B1
D1
O1
A1
随堂练习
在正方体 ABCD 中A1，B1C判1D1断下列命题是否正确，并 说明理由：
③由点A，O，C可以确定一个平面； 错误 NhomakorabeaC
D
O
B A
C1 D1
B1 A1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否正 确，并说明理由：