关于微元法及其原理的探讨

第2"卷第1期2021年1月
高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
Vol.2"，No.1
Jan. , 2021
doi：10.3969/j.i s s n.1008-1399. 2021. 01.024
关于微元法及其原理的探讨
李兴东，张睿
(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州J30070)
摘要本文给出了验证微元的一个直观易行的等价条件，给出连续函数可积的5个等价条件.
关键词定积分；微元法；微分；微积分基本公式
中图分类号O172 文献标识码A文章编号1008 - 1399(2021)01 -0080 -0"
On Differential Element Method and ISs Principle
LI Xingdong and ZHANG Rui
(School o f Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070 ,China)
A bstract In this paper,a simple equivalent condition for differential element i s presented. Five equivalent conditions for the integrability of continuous functions are given.
K eyw ords definite integral,differential element,differential,fundamental formula of Calculus
1研究微元法的重要性与必要性
问题是理论研究的起点，数学理论来源于实践. 在几何学、物理学、力学和其他工程领域等实践中，经常需要求一类非均勻连续分布的整体量U，如面 积、体积、质量、做功等等，因为这类量都具有区间可 加性，可通过“分、勻、和、精”"个步骤，将所求量U 表达为具有相同结构的和式极限，定义为定积分，即
n J
U = lim'/(芒=f(_x)d x.
A%0 4—1J a
显然，用定义求定积分(或整体量U)是比较繁琐的.
数学理论广泛应用于各种实践，并指导着实践. 在实践中，正是基于求大量的这类未知整体量的问题，前人探索研究出目前在各科研领域和实践领域中广泛应用的非常实用的重要数学思想方法—
微元分析法（简称微元法或元素法）.具体来说，将定 积分概念中的“分、勻、和、精”"个步骤抽象简化为微元法的2个步骤：取微元，求积分.微元法是微积收稿日期！ 2019 - 09 - 10 修改日期2019-11-15
基金项目：国家自然科学基金项目（1663018)，甘肃省高等教育教学培 育项目，兰州交通大学教改项目（JGZ202017，SZZX202001).
作者简介：李兴东（1972 —），男，甘肃通渭人，副教授，主要研究方向为数学教育、应用概率统计，email:lixd@.分理论的精华，也是应用微积分知识解决各种实际问题的重要方法之一，还是联系实际问题与微积分理论的桥梁.
数学理论需要在实践中不断完善.在实际问题中直接用定义验证微元往往比较复杂，为了降低难 度，现行大学数学教材（包括高等数学和数学分析）中都没有验证微元，通常的做法就是寻求所求量在微小区间上对应部分量的近似值，将找到的近似值不加验证地当作所求量的微元.引人微元法时，也是 直接由定积分求曲边梯形面积类比得到，缺少必要的 理论证明，对微元法的原理、思想和方法没有深人探 讨，但是微元法的思想和方法在定积分、重积分、曲线 积分、面积分 实 中应 .
显然，近似值未必就是微元，直接用定义验证微 元往往比较复杂，现行教材中没有验证微元，就不能 从理论上保证所求整体量的正确性.不言而喻，寻找 微元并验证微元，实质是寻找未知函数的导函数的难点问题，寻找微元并正确建立所求量的积分表达式是应用微元法解决实际问题的关键.如果不能阐明微元法的原理、思想和方法，在“不知不觉’’中应 用微元法，会逐渐缺失数学理性；如果没有给出微元 的验证，容易误认为近似值就是微元，在应用中误导
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实践.相反，如果阐明了微元法的原理，微元法思想 和方法的广泛应用就会更为顺畅，微积分的思想方 法也能得到进一步的强化.
2 前人对微元法及其原理的探讨
关于微元法的原理及其实际问题中如何寻找并 验证微元一直受到研究者的关注，得到了许多研究 成果.其中对几个最重要的结果，简述如下.
陈玉，贺秋林针对曲边梯形的面积，给出命题1[2].
命题1设函数/(：r)在区间[a，]上连续且 /(:r) (0,以曲线y =/$r)为曲边，区间[a，]为底 的曲边梯形的面积为A，任意小区间&r，:r C Hr]上 的部分量为那么下列结论中（1)是（）的充分 条件，（）是（3)的充分条件.其中
(DmcLr "" M d r，肌，M分别是 /(r)在[r，r C Hr]上的最小值与最大值；
(2) z)A =/(.x)H x C〇(.Hx)*
(3) A 50/(c)Hx.
J a
需要指出的是，由（2)J(3)时用到引理1[2].
引理1如果在区间[a，]中任意插人n—1个 分点：a 5 x〇 #X1#x… 5 6,记
)x t5x t —x t-1，) 5m a x{)x t}，
i—12,…,n
n
那么 l i m'o C Z T i) — 0.
)%0 i-1
证明 因为 lim 0、-(x i — 〇( — 1，2，…，n)，
A z；%0 A x z
故对 V e>0,>0,当0<)x<次时，有一e<
<()xi) <取 3 —min {次}，当 0<)<3时，有)工4i—1，2，…，n
—，即得
)x i
一e Z T <o()x4) <eAx:( —1,2，…，n).
相
一 (一a')e< 'J o()x i) < (—a)，
i—1
故有 l i m'o C Z T i) — 0.
)%0 i-1
薛长峰针对在区间[a，6]上非均勻分布且具有 可加性的任意整体量U，给出命题2[].
命题2 设/(x)在区间[a，6]上连续，在区间 a，]上所求整体量为u，u与区间a，]有关，且对 区间a，6]具有可加性，任意小区间x，x +x]上 的部分量为那么以下两个条件相互等价：
(1) T O x")U"M d r，其中 t o，M分别是/(x)在[x ,x C x]上的最小值与最大值；
(2) U —0/(x')d x.
a
需要指出的是，由（1)J(2)时，参考了文献
[]，先由（1)证明 了结论：）U — /(x)dr C o(dr)，
然后直接应用牛顿-莱布尼茨公式证明得到（）.
当然，使用微元法有两个前提:一是所求整体量
U与变量x的变化区间[a，]有关；二是U对区间
a，]具有可加性.
显然，对V x)a，]，所求量在区间a，x]上
的值是x的函数，记为U(x) —U[a,x],而以（）一
U[a ,a] —0 ,U() —U[a，] —U•设）U表|在任意小
区间[x,x c x]上的部分量，易见）U—U(x c x)—
U(x)恰好为函数U(x)在[x，x +d:r]上的增量.
3 微元法原理的探讨与完善
受命题1和命题2的启发，笔者对微元法原理
做了进一步探讨与完善，得到：
定理设/x)在区间a，]上连续，在区间
a，]上所求任意整体量为u，u与变量x的变化区
间a，]有关，且对区间a，]具有可加性.那么以
下5个条件相互等价：
(1) »z d:c" )U" M d:c，，M分别是 /(x)在 [x，x +d:c]上的最小值与最大值；
(2) )U — /(x)d.r C〇(d.r), V x ) [a，];
(3) U(x) —0/(t)d t,V x ) [a,，];
J a
⑷U/(x) — /(x)，V x ) [a，];
(5)/(x)在[a，]上的任意原函数为_F(x)—
U(x)+C，C是任意常数.
证明 （1) J(2).由题设和（1)知，在[x，x C
d:c]上有 m"/(x)"M，且有 6d：r ")U"M d x
从而（6—M)d：r ")U一/(.x')d x" (M一m)d x所
以m—M")U—/(x x d x"M—m,当d:c%0时，
d#
由/(x)的连续性及夹逼原理有）U一x%0,
得）U — /O d^r+oCd^r).
⑵J⑶.
方法 1由）U — /(x)d:c C o(d:c)知，函数
U(x)在区间[a，x]上可微，且d U — /(x)d x由牛
顿-莱布尼茨公式，U(x)— U(a)—U(x)—
82高等数学研究2021年1月
J&
方法 2 由=f(:c)dr +o(dr)知，函数U X：c)在区间[&，工]上可微，且微分d U = f$r)«ir.在区间[&，：C]中任意插人W—1个分点"5Z〇 <Z1 <…<
#n = #，[ )#4 = #4 —x4-i，5m a x{)#4}.
1,2，…，"
因U X)在任意小区间[X H#4]上可微，由拉 格朗日中值定理，有
U(x4) —U(x4—1) =f(6))#4，
其中X i—1 < 6 <#4$ 5 1，2,…，").各式相加，由黎 曼积分得
U(x)—U() ='f(6t')% 0f(t)dt$%0)，
4-1J&
即得 U(x)—U(&) 5 U(x) 50Xf$)d t
方法3 由（2)知，U(x)在任意小区间[x,—1，x4] 上 微，即
)U4 =U(x4) —U(x「1)
5 f(x1—1))x4C〇()x4)( = 1，2，…，"）.
各式相加，再由引理1知
U(x) —U(&) 5'f(x1—1))x4C '〇()x4)
451451
% 0 f(t)di (A %0)，
&
即U(x) 50x f()d乙.
&
(3) J(1) •由（3)知
p x+d:c
)U5U(x C d.r) —U(x)5|f(t)dt.
由积分中值定理得
)U5f($)d x(x"6"x C d:c).
从而，》i d:c")U"M d x其中t o，M分别是f(x)在 [x，x +d:c]上的最小值与最大值.
以上论证表明（1)，（2)，（3)互相等价，由（2)知 U(x)可微，它的一个等价条件就是U(x)可导，即为条件("），而（）与（5)的等价是显然的.因此，这5个条件互相等价.
4 定理的几点注记与推论
4.1 定理的证明过程体现了微元法的思想方法：先微分后积分
为了便于比较和推广，（2)J(3)时用三种方法：方法1直接用牛顿-莱布尼茨公式;方法2用微分 中值定理和黎曼积分方法3应用引理1.方法2 与方法3应用先微分后积分的思路，用类似的思路方法可证明牛顿-莱布尼茨公式，传统教材中证明牛
顿-莱布尼茨公式是先积分后微分的思路[](即设
f(x)在区间&，]上连续，则积分上限函数少(x)=
(f⑴dz就是f(x)的一个原函数，再通过尘(x)可
&
导证明了牛顿-莱布尼茨公式）.
定理的证明过程逼真地体现了研究微积分的一
种基本逻辑思路:先微分后积分.具体来说，如果已
经求得部分量）U的近似值为f(x)d x再能验证
)U满足TOdz " )U"M d x由定理可知，近似值
f(x)d：r与）U是等价无穷小（即此近似值f(x)d：r
就是微元），所得到的定积分f f(x)d:r必然是所求
&
整体量U的精确值，这里的逻辑思路就是：先微分
后积分，这种逻辑思路正是微元法所采用的，源于对
实际问题中未知量的探索，常见于物理学与工程应
用实践，且已在物理学与工程实践中广泛应用，这是
一种基于问题的、有强大实践基础和应用价值的微
积分研究思路.
4.2 定理给出了寻找且验证微元的！个简易 方法:部分量）U的线性估计法
定理表明，在被积函数连续的条件下，如果能验
证t o x " )U" M d x那么部分量）U的近似值
f(x)d:r—定是所求量的微元（即为）U的线性主要
部分），所求整体量也一定是U= f f(x)d x微元的
&
正确性和所求量的正确性都得到保证.所求量在区
间&X]上的值U X)恰好就是积分上限函数
#f() d t且使积分上限函数具有更广泛的实际含
&
义，它不仅是面积函数，也是体积函数、质量函数、做
功函数、概率分布函数等；反之，若&，]上的所求
量U可表示为(x)d#则部分量）U的近似值
&
f(x)d:r—定就是所求量的微元.
需要强调的是，不等式TOd:c ")U"M d:c是验
证微元的一个简易的等价条件，克服了利用定义
)U 5 f(x)d:r+〇(d:r)难以直接验证微元的问题.
可见，这是验证微元的一种简易方法，在各种情形下
利用这个不等式验证微元是直观易行的，只需找出
最值，再估计即可.具体来说，定理给出了寻找且验
证微元的一个简易方法：部分量）U的线性估计法.
一般地，在求任何实际问题中某一整体量U时，要
找到整体量U正确的微元，“解铃还须系铃人”，必
须也只有深人分析部分量）U的结构特点，由定理
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可知，只要能给出的线性估计:™d：r ""
M d：r，那么满足这个估计的A U的线性主要部分
/(:r)d:r—定就是所求量的微元，所求整体量也一定
是U= 0 /(:c)d:c，微元的正确性和所求量的正确性J a
都得到保证.寻找这个线性估计的过程实质是探求
微元的过程，且将微元的寻找与验证一并完成，这种
寻找且验证微元的方法具有一般性和通用性，可称
之为“部分量A U的线性估计法”，可概括为：先粗后 细.所谓“先粗”，就是寻找A U的与d：r成线性关系
的主要部分/(r)d:r，一般是分析导致所求量非均勻
分布的主要原因，这个主要原因的数学表达往往就
是微元.所谓“后细”，是指选取微元时要细心，选出
来的微元一定要成为真正的“主要部分”，即选取的
微元与准确值的差是所取区间长度的高阶无穷小，
由定理只需验证A U满足™d:c<A U"M d:c即可.
4.3 定理给出了连续函数可积的5个等价条件，也得到牛顿-莱布尼茨公式
在（3)中，取z = 6,就得到[a，]上的整体量
U=U() —U(a) =0/(:c)d:c，所求量的正确性得
J a
到保证，也说明连续函数是可积的，也是函数U(r)
所对应的牛顿-莱布尼茨公式.由定理中条件（3)与 (5)可得到牛顿-莱布尼茨公式，gp
推论若f X z)是/(：r)在&，]上的任一原函
数，则「/⑴dz = f() —f X a).
a
因此，定理事实上也得到了连续函数可积的5
个等价条件.由（3) J(")的过程就是积分上限函数
的求导定 $即为 数 在定 ) 的 .
见教材都是应用积分中值定理来证明&]，也可由
/(：r)的连续性与导数的定义来证明&].
对连续函数/(r)有积分中值定理：⑴df =
a
/(6)( —a)，O $ ) (a,6);对可导函数P X r)有微分中
值定理:F()—F(a) =/()(—&)，36) (a,6)显然，这两个中值定理由牛顿-莱布尼茨公式
“既天然又巧妙”地联系起来了，从更广意义上，牛
顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的一座桥
梁，它被称为“微积分基本公式”是当之无愧的.但
从逻辑上，牛顿-莱布尼茨公式是由积分上限函数及
其积分上 数的求导定 ，积分上
数的求导定理被称为“微积分基本定理”，而积分上
限函数“既巧妙又天然”的构造是根本，它不仅是面
积函数，也是体积函数、弧长函数、质量函数、做功函
数等等，它在科研领域和工程领域中具有非常广泛的应 值.
4.4 定理阐明了微元法的原理、思路与方法，是微积分学的绝佳素材
定理对微元法的原理进行了理论探讨，阐明了
微元法的原理与思想方法.微元既是实际问题的微
缩，又是理论的转换，最终成为计算的基础，积分可
看做是微元的无限积累.微元法不仅是一种解决各
种实际问题的重要工具，也体现了微积分的非常重
要的思想方法：“化整为微”、“以不变代变”、“积微为 整”、“无限累加”，还是一种深刻的思维方法：先分
割逼近，找到规律，再累计求和，把握整体，它还蕴含
着深刻的哲学辩证思想：整体与局部的辩证、分析与
综合的辩证、近似与精确的辩证.
定理给出了验证微元的一个简易的等价条件，
克服了利用定义难以直接验证微元的问题，弥补了
现行大学数学教材、教学的疏漏与不足，解决了应用
微元法的技术难点，极大地提升了微元法的理论地
位和广泛实用价值.
定理从不同的方面揭示了连续函数可积的若干
充要条件，是微积分学的绝佳素材.定理证明中将微
积分中一些重要的概念与定理（如连续函数的最值
定理、夹逼原理、等价无穷小、高阶无穷小、可导、微
分、微分中值定理、可积、定积分、积分中值定理、微
积分基本定理、牛顿-莱布尼茨公式等）联系起来，并
揭示了之间的内在本质关系.笔者建议在大学数学
教材编写与教学中补充这个定理，强调微元法及其
原理，为微元法的后续广泛应用奠定实践基础和理
论基础，无疑会极大地提升微元法的实用价值和理地.
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