2021届北师大版高考理科数一轮复习课件：第八章 第7讲 立体几何中的向量方法

所成的角为
θ，则
cos
θ＝|cos〈A→C，D→E〉|＝
10 10 .
答案：
10 10
3．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2， 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________．
解析：以 C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标：
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 C1D1 的中点，则异面直线 DE 与 AC 夹角的余
弦值为________．
解析：如图建立空间直角坐标系，设 DA＝1，A(1，0，0)，C(0，1，
0)，E0，12，1，则A→C＝(－1，1，0)，D→E＝0，12，1，设异面直线
DE
与
AC
＝
|2h－2| h2＋5×2
＝ 3
217，
整理得 10h2－21h＋8＝0，解得 h＝85或 h＝12.
所以，线段 AH 的长为85或12.
直线与平面所成的角(师生共研) 如图，在几何体 ACD－A1B1C1D1 中，四边形 ADD1A1 与四边形 CDD1C1 均为矩形， 平面 ADD1A1⊥平面 CDD1C1，B1A1⊥平面 ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E 为 棱 AA1 的中点．
(2020·蚌埠模拟)如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PD ＝PB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交 PB，PD 于点 M，N，且 BD∥平面 AMHN.
(1)证明：MN⊥PC； (2)设 H 为 PC 的中点，PA＝PC＝ 3AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°，求 AD 与 平面 AMHN 所成角的正弦值．
设 PB 与 AC 所成角为 θ，则
cos θ＝|PP→→BB|·|AA→→CC|＝2
6 2×2
＝ 3
46.
即
PB
与
AC
所成角的余弦值为
6 4.
用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系． (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． [提醒] 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别： 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线 的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
解：如图，以 A 为原点，分别以A→B，A→C，A→P的方向为 x 轴，y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得 A(0，0，0)，B(2， 0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0， 0，1)，N(1，2，0)． (1)证明：D→E＝(0，2，0)，D→B＝(2，0，－2)． 设 n＝(x，y，z)为平面 BDE 的法向量， 则nn··DD→→EB＝＝00，，即22yx＝－02，z＝0.
(1)证明：B1C1⊥平面 CC1E； (2)求直线 B1C1 与平面 B1CE 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：因为 B1A1⊥平面 ADD1A1，所以 B1A1⊥DD1， 又 DD1⊥D1A1，B1A1∩D1A1＝A1，所以 DD1⊥平面 A1B1C1D1， 又 DD1∥CC1，所以 CC1⊥平面 A1B1C1D1. 因为 B1C1 平面 A1B1C1D1，所以 CC1⊥B1C1.
(2)如图，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，依题意得 A(0，0，0)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1， 则C→E＝(－1，1，－1)，B→1C＝(1，－2，－1)． 设平面 B1CE 的法向量为 m＝(x，y，z)，则mm··BC→→1EC＝＝00，， 即x－－x2＋y－y－z＝z＝0，0，消去 x 得 y＋2z＝0，
A(2，0，0)，C1(0，0，2 2)．点 C1 在侧面 ABB1A1 内的射影为点
C232， 23，2
2.
所以A→C1＝(－2，0，2
2)，A→C2＝－12， 23，2
2，
设直线 AC1 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ，则 cos θ＝|A→→C1·A→→C2|＝ |AC1||AC2|
12＋30×＋38＝ 23.又 θ∈0，π2，所以 θ＝π6. 答案：π6
－18 1＋4＋4
＝－12，所以〈b，c〉＝120°，所以两直线的夹角为 60°.
答案：60°
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所 成的锐二面角的余弦值为________． 解析：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 棱长为 1，则 A1(0，0，1)，E1，0，12，D(0，1，0)，所以A→1D ＝(0，1，－1)，A→1E＝1，0，－12.设平面 A1ED 的法向量为 n1 ＝(1，y，z)，则AA→→11DE··nn11＝＝00，，
3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 分别是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的 大小 θ＝〈_A→_B__，__C→_D__〉．
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角 α－l－β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的
大小θ满足|cos θ|＝___|c_o_s_〈__n_1，__n__2〉__|______，二面角的平面角大小是向量 n1 与 n2 的夹
B1CE
所成角的正弦值为2
7 7.
(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直 线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求， 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． (2)若直线 l 与平面 α 的夹角为 θ，直线 l 的方向向量 l 与平面 α 的法向量 n 的夹角为 β， 则 θ＝π2－β 或 θ＝β－π2. [提醒] 求解直线和平面所成角，要注意直线的方向向量与平面法向量的夹角和所求角 之间的关系，线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．
(× )
(2)已知 a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则 a∥c，a⊥b.( √ )
(3)已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，
第八章 立体几何
第7讲 立体几何中的向量方法
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．两条异面直线所成角的求法
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则 l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 0，1)． 又M→N＝(1，2，－1)，可得M→N·n＝0. 因为 MN⊆/ 平面 BDE， 所以 MN∥平面 BDE.
(2)依题意，设 AH＝h(0≤h≤4)，则 H(0，0，h)，
进而可得N→H＝(－1，－2，h)，B→E＝(－2，2，2)．
由已知，得|cos〈N→H，B→E〉|＝|N→→H·B→→E| |NH||BE|
解：(1)证明：如图①，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 PO. 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BD⊥AC，且 O 为 BD 的中点． 因为 PD＝PB，所以 PO⊥BD， 因为 AC∩PO＝O，且 AC，PO 平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC.
则直线 l 与平面 α 所成的角为 120°.
(× )
(4)已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的
大小为 45°.
(× )
二、易错纠偏 常见误区 (1)异面直线所成角的取值范围出错； (2)二面角的取值范围出错； (3)直线和平面所成的角的取值范围出错．
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BAC＝90°.点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
(1)求证：MN∥平面 BDE； (2)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为217，求线段 AH 的长．
二、教材衍化
1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角 的大小为________．
解析：cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝1·1
＝ 2
22，即〈m，n〉＝45°.所以两平面所成二面角为
45°或 180°－45°＝135°.
答案：45°或 135°
角(或其补角)．
常用结论 利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点 A(x1，y1，z1)，点 B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|A→B|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.
(2)点到平面的距离 如图所示，已知 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B 到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→|Bn·|n|.
因为平面 ADD1A1⊥平面 CDD1C1，平面 ADD1A1∩平面 CDD1C1＝DD1，C1D1⊥DD1， 所以 C1D1⊥平面 ADD1A1. 经计算可得 B1E＝ 5，B1C1＝ 2，EC1＝ 3，从而 B1E2＝B1C21＋EC21， 所以在△B1EC1 中，B1C1⊥C1E. 又 CC1，C1E 平面 CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以 B1C1⊥平面 CC1E.
【解】 (1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形， 所以 AC⊥BD. 因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD. 又因为 AC∩PA＝A，所以 BD⊥平面 PAC.
(2)设 AC∩BD＝O. 因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2， 所以 BO＝1，AO＝CO＝ 3. 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 P(0，－ 3，2)，A(0，－ 3，0)，B(1，0，0)，C(0， 3，0)． 所以P→B＝(1， 3，－2)，A→C＝(0，2 3，0)．
解析：设 l 与 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝12，所以 θ＝30°. 答案：30°
异面直线所成的角(师生共研) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB＝2，∠ BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值．
0，π2
|a·b| cos θ＝_|a_|_|b_|_____
[0，π] cos β＝|aa|·|bb|
2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，a 与 n
|a·n| 的夹角为 β，则 sin θ＝|cos β|＝__|a_|_|n_|____．
0) ，
不妨设 z＝1，可得 m＝(－3，－2，1)为平面 B1CE 的一个法向量，
易得B→1C1＝(1，0，－1)，设直线 B1C1 与平面 B1CE 所成角为 θ，
则 sin θ＝|cos〈m，B→1C1〉|＝|mm|··B|B→1→1CC11|＝
－4 14×
2＝2 7 7，
故直线
B1C1
与平面
即y1－－z12＝z＝0，0，解得yz＝＝22，，故 n1＝(1，2，2)．又平面 ABCD 的一个法向量为 n2＝(0，0， 1)，所以 cos〈n1·n2〉＝23，故平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23. 答案：23
3．已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量，若 cos〈m，n〉＝－12， 则 l 与 α 所成的角为________．
1．已知 2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以 b，c 为方向 向量的两直线的夹角为________．
解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，
即
2a·c＋b·c＝－10.因为
a·c＝4，所以
b·c＝－18，所以
cos〈b，c〉＝|bb|··|cc|＝12×