2020-2021下海建平中学九年级数学下期中一模试题(附答案)

2020-2021下海建平中学九年级数学下期中一模试题(附答案)
一、选择题
1．已知反比例函数y
＝﹣6x ，下列结论中不正确的是（ ） A ．函数图象经过点（﹣3，2） B
．函数图象分别位于第二、四象限
C ．若x ＜﹣2，则0＜y ＜3
D ．y 随x 的增大而增大
2．在反比例函数y ＝
1k x -的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 3．若
37a b =，则b a a -等于（ ） A ．34 B ．43 C ．73 D ．37
4．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是( )
A ．32OB
CD = B ．32αβ= C ．1232S S = D ．1
232C C =
6．如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，P ,Q 为BC 边上的点，且BP=PQ=CQ ，BM 与AP ,AQ 分别交于D ,E 点，则BD ∶DE ∶EM 等于
A ．3∶2∶1
B ．4∶2∶1
C ．5∶3∶2
D ．5∶2∶1
7．已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3
B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9
C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3
D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9
9．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )
A ．10米
B ．53米
C ．15米
D ．103米
10．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC
上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．38︒
C ．40︒
D ．42︒
11．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（ ）
A ．33
B ．5
C ．23
D ．25 12．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长D
E ＝1.8m ，窗户下沿到地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ）
A ．1.5m
B ．1.6m
C ．1.86m
D ．2.16m
二、填空题
13．如图，矩形ABOC 的面积为3，反比例函数y ＝k x 的图象过点A ，则k ＝_____．
14．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ．
15．已知点P 在线段AB 上，且AP ：BP=2：3，那么AB ：PB=_____．
16．如果a c e b d f
===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____． 17．已知线段AB 的长为10米，P 是AB 的黄金分割点（AP ＞BP ），则AP 的长_____米．（精确到0.01米）
18．一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有________．
19．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．
20．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
三、解答题
21．（1）计算：tan 609tan308sin 602cos 45︒︒︒︒+-+
（2）在ABC V 中，90,2,6C AC BC ︒∠===A ∠的度数
22．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
23．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90０，求证：△ADQ∽△QCP．
24．已知锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F．
（1）如图1，若⊙O直径为10，AC＝8，求BF的长；
（2）如图2，连接OA，若OA＝F A，AC＝BF，求∠OAD的大小．
25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2=AB•AD，∠ADC=90°，点E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB．
（2）若AD=2，AB=3，求的值．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．【详解】
A、∵当x＝﹣3时，y＝2，∴此函数图象过点（﹣3，2），故本选项正确；
B、∵k＝﹣6＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项正确；
C、∵当x＝﹣2时，y＝3，∴当x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；
D、∵k＝﹣6＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．2．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】
∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1−k>0，
解得k<1.
故选A.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.
3．B
解析：B
【解析】
由比例的基本性质可知a=37b ，因此b a a -=347337
b b b -=. 故选B.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】
解：A 、两图形形状不同，故不是相似图形；
B 、两图形形状不同，故不是相似图形；
C 、两图形形状不同，故不是相似图形；
D 、两图形形状相同，故是相似图形；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
A 选项，在△OA
B ∽△OCD 中，OB 和CD 不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A 选项不一定成立；
B 选项，在△OAB ∽△OCD 中，∠A 和∠
C 是对应角，因此αβ=，所以B 选项不成立； C 选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C 选项不成立；
D 选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D 选项一定成立.
故选D.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设BC=3a ，则BP=PQ=QC=a ；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD 、BE 、BM 的长度，再来求BD ，DE ，EM 三条线段的长度，即可求得答案．
【详解】
过A 作AF ∥BC 交BM 延长线于F ，设3BC a =，
则BP PQ QC a ===；
∵AM CM =，AF ∥BC ， ∴1AF AM BC CM
==， ∴3AF BC a ==，
∵AF ∥BP ， ∴133
BD BP a DF AF a ===， ∴34
DF BF BD =
=， ∵AF ∥BQ ， ∴2233
BE BQ a EF AF a ===， ∴23EF BE =，即25BF BE =， ∵AF ∥BC ， ∴313BM BC a MF AF a
===， ∴BM MF =，即2BF BM =
， ∴235420BF BF BF DE BE BD =-=
-=，22510BF BF BF EM BM BE =-=-=， ∴3::::?53242010
BF BF BF BD DE EM =
=：：． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x =3y ，即可判断．
A．变成等积式是：xy=6，故错误；
B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；
C．变成等积式是：2x=3y，故正确；
D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；
故选B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；
∴AC=BC÷
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
10．C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
【详解】
连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=22
1310
+=，AD=22
2222
+=，
cosA=AD
AB
=
22
10
=
25
，
故选D．
12．A 解析：A
∵BE∥AD，
∴△BCE∽△ACD，
∴CB CE
AC CD
=，即
CB CE
AB BC DE EC
=
++
，
∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
1 1.2
1 1.8 1.
2 AB
=
++
∴1.2AB=1.8，
∴AB=1.5m．
故选A．
二、填空题
13．-
3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|
解析：-3
【解析】
【分析】
根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=k
x
的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y
轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．
【详解】
解：∵矩形ABOC的面积为3,
∴|k|=3.
∴k=±3.
又∵点A在第二象限,
∴k<0,
∴k=−3.
故答案为：−3.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.
14．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x由题可得：17:0 85=x：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
15．5:3【解析】【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3AB：PB=
（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3故答案为5:3
解析：5:3
【解析】
【详解】
试题解析：由题意AP：BP=2：3，
AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.
故答案为5:3.
16．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3
解析：3
【解析】
∵a c e
b d f
===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，
故答案为：3.
17．18【解析】【分析】根据黄金分割定义：列方程即可求解【详解】解：设AP为x米根据题意得整理得x2+10x﹣100＝0解得x1＝5﹣5≈618x2＝﹣5﹣5（不符合题意舍去）经检验x＝5﹣5是原方程的
解析：18
【解析】
【分析】
根据黄金分割定义：AP BP
AB AP
=列方程即可求解．
【详解】
解：设AP为x米，根据题意，得
x10 10
x x -
=
整理，得x2+10x﹣100＝0
解得x1＝55﹣5≈6.18，x2＝﹣55﹣5（不符合题意，舍去）
经检验x＝55﹣5是原方程的根，
∴AP的长为6.18米．
故答案为6.18．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念,熟练掌握黄金比是解答本题的关键.
18．6【解析】符合条件的最多情况为：即最多为2+2+2=6
解析：6
【解析】
符合条件的最多情况为：
即最多为2+2+2=6
19．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于D∴OC⊥ABBD =AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm
解析：10
【解析】
【分析】
如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【详解】
如图，
记圆的圆心为O，连接OB，OC交AB于D，
∴OC⊥AB，BD=1
2 AB，
由图知，AB=16﹣4=12cm，CD=2cm，
∴BD=6，设圆的半径为r，则OD=r﹣2，OB=r，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，OB2=AD2+OD2，∴r2=36+（r﹣2）2，
∴r=10cm，
故答案为10．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
20．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故
解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】
【分析】
根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】
∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
三、解答题
21．（1）2；（2）∠A ＝60° 【解析】 【分析】 （1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果； （2）由锐角三角函数定义求出∠A 度数即可．
【详解】
（1）原式＝3323+9-8+2=3+33-43+2=2322
⨯⨯⨯； （2）∵90,2,6C AC BC ︒∠==
=， ∴tanA ＝632
BC AC ==， ∴∠A ＝60°
【点睛】
此题考查了实数的运算以及解直角三角形，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．CE 的长为（4+
）米
【解析】
由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【详解】
过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，
∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=CH AH
，
∴CH=AH•tan ∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×3
=23（米），
∵DH=1.5，
∴CD=23+1.5，在Rt△CDE中，
∵∠CED=60°，sin∠CED=CD CE
，
∴CE=23 1.5
3
=（4+3）（米），
答：拉线CE的长为（4+）米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
23．证明见解析
【解析】
试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，
∵∠AQP=90°,
∴∠AQP+∠PQC=90°,
又∵∠PQC+∠QPC=90°,
∴∠AQP=∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.
24．（1）BF＝6；（2）∠OAD＝30°．
【分析】
（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．利用勾股定理求出AM ，证明四边形AMBF 是平行四边形即可解决问题；
（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．证明
AO ⊥CM ．推出∠OAD ＝∠BCM ，解直角三角形求出∠BCM 即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ．
∵CM 是直径，
∴∠CAM ＝∠CBM ＝90°，
∵CM ＝10，AC ＝8，
∴AM ＝22CM AC -＝22108-＝6，
∵AD ⊥CB ，BE ⊥AC ，
∴∠ADC ＝∠MBC ＝90°，∠BEC ＝∠MAC ＝90°，
∴AD ∥BM ，AM ∥BE ，
∴四边形AMBF 是平行四边形，
∴BF ＝AM ＝6．
（2）如图2中，作⊙O 的直径CM ，连接AM ，BM ，设AD 交CM 于J ．
由（1）可知四边形AMBF 是平行四边形，
∴AM ＝BF ，AF ＝BM
∵AC ＝BF ，
∴AC ＝AM ，
∵∠MAC ＝90°，MO ＝OC ，
∴AO ⊥CM ，
∵AD ⊥BC ，
∴∠AOJ ＝∠CDJ ＝90°，
∵∠AJO ＝∠CJD ，
∴∠DCJ＝∠JAO，
∵AF＝OA，AF＝BM，∴OA＝BM，
∴CM＝2BM，
∵∠CBM＝90°，
∴sin∠BCM＝BM
CM
＝
1
2
，
∴∠BCM＝30°，
∴∠OAD＝∠BCM＝30°．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题．
25．(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得
到 CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=，由相似三角形的性
质列出比例式，计算即可．
【详解】
(1)证明：∵AC 平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵AC2=AB•AD，
∴=，
∴△ADC∽△ACB；
(2)∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵点 E 为 AB 的中点，
∴CE=AE= AB= ，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴==，
∴=．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。