普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷(广东)(2) 理 新人教A版

绝密★启用前 试卷类型：A
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷二)
数 学(理 科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1i
z i =
＋，则复数z 的虚部为 A ．22 B ． 12i C ．12 D ．12+12
i
2．下列命题中正确的是
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题
B ．“21sin =
α”是“6
π
α=”的充分不必要条件 C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
D ．命题“,20x
x R ∀∈>”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”
3．从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲、乙至少有1人参加， 不同的挑选方法共有
A ．16种
B ．20 种
C ． 24 种
D ．120种 4．三棱锥P —ABC 的两侧面PAB 、PBC 都是边长为2a 的正三角形，，
则二面角A —PB —C 的大小为
A ． 900
B ． 300
C ． 450
D ． 600
5．已知函数⎩
⎨⎧-=为偶数时）当为奇数时）
当n n n n n f (()(2
2,且)1()(++=n f n f a n , 则2012321a a a a ++++ 等于
A.2012-
B. 2012
C. 2011-
D. 2011
6．已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB ,则△ABC 为
A. 等腰三角形
B.
等
边
三
角
形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
7．设4log , 2 ,3.03.03
.02===c b a ，则
A. b a c << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b << 8．对于函数()()y f x x R =∈，给出下列命题：
（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称；
0月收入（元）
频率/组距4000
3500
300025002000150010000.00080.00040.00030.0001否输入A 1，A 2，.……A 6
i=i+1
开始
结束
输出S i<7？S ＝0,i ＝2
S ＝S+A i
是
图甲 图乙
（2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；
（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0,0）对称。

其中正确的命题有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~12题）
9．下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在[)1000,1500，
[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的人数依次为1A 、2A 、……、6A ．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，
图乙输出的S = ．（用数字作答）
10．某几何体的三视图如右图所示，
则该几何体的表面积为________． 11．过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F ， 斜率为K 的直线交抛物线于A 、B 两点， 若直线AB 的倾斜角为锐角，BF AF 2=， 则K= 。

12．二项式103)21(x
x -
的展开式中，
常数项的值是__________. 13． 在各项均为正数的等比数列
中,若
，则
的最小值是___ ．
二、选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos ,
sin x y θθ=+⎧⎨
=（θ为参数），则
曲线上C 的点到直线3440x y -+=的距离的最大值为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图：AB 是
O 的直径，
A
B
D
O
C
P
M C
N
A B C D
E
F O
点P 在AB 的延长线上，且2PB OB ==，PC 切O 于 点C ，CD AB ⊥于点D ，则PC = ；CD = ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数π
()sin()(00,)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><，（x ∈R ）的部分图像如图所示．
（1）求()f x 的解析式； （2）设()()3()4
g x f x x π
=+
，
且tan 2α=
，求()g α的值．
17．（本小题满分12分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落． 小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中． 已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
12
． （1）求小球落入A 袋中的概率()P A ；
（2）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A 袋中的小球个数，
试求3ξ=的概率和ξ的数学期望E ξ与方差D ξ．
18．（本小题满分14分）
已知点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，且2AB BF DE ==. （1）求证：EO ⊥平面AFC ； （2）在线段EF 上找一点M ，使三棱锥M ACF -为正三棱锥；
（3）试问在线段DF (不含端点)上是否存在一点R ,
使得CR ∥平面ABF ,若存在,请指出点R 的位置；
若不存在,请说明理由. （说明：底面为正多边形，顶点在底面的投影恰
为底面的中心的棱锥称为正棱锥）
19．（本小题满分14分）
如图，,E F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>和双曲线22221x y a b -=的右焦点，A 、B 为椭
圆和双曲线的公共顶点.P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的第一象限内的点，且满足+=()
QB QA +λ()R ∈λ,3PF QE =
.
⑴求出椭圆和双曲线的离心率； （2）若1=b ，圆4
13
)2()2
5(:2
2=
-+-y x C ，在圆C 上是否存在两点N M 、， 使得EMN ∆为正三角形，若存在，这样的正三角形有几个；若不存在，说明理由.
P n
Q n Q n-1Q 1
P 1y x O
20．（本小题满分14分）
已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =- (1)若()()f x g x =有两个不同的解，求a 的值；
(2)若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当0a <时，求()()()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.
21．（本小题满分14分）
幂函数y = x 的图象上的点 P n (t n 2
,t n )（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Q n 及原 点 O 构成一系列正△P n Q n －1Q n （Q 0与O 重合），记 a n = | Q n Q n －1 | （1）求 a 1的值；
（2）求数列 {a n } 的通项公式 a n ;
（3）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，若对于任意
的实数 λ∈[0,1]，总存在自然数 k ，
当 n ≥k 时，3S n －3n + 2≥(1－λ) (3a n －1) 恒成立， 求 k 的最小值.
参考答案或提示 1-8：CDADBCAB
9. 6000;10. 64π+;11. 22;12. 32
105
;13. 4214. 3;15. 33; 16．
A
B
O
P
Q x
y
E
F
由tan α=
221cos ,()2sin 233
g αααα=
===………12分 17.解：（Ⅰ）记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的
对立事件为B ，而小球落入B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
33
111
()224P B ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 从而13()1()144P A P B =-=-=；
（Ⅱ）显然，随机变量34,4B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故3
343127(3)4464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
343,4E ξ=⨯
=333
4(1)444
D ξ=⨯⨯-=． 18．(2)3EF EM = ；（3）否
19. 解： (I)设O 为原点，则+=2，+=2。

而PA PB +=()
+λ，得PO =λ，
于是O 、P 、Q 三点共线。

……………2分
因为3PF QE =所以PF ∥QE ，且 PF =，……………3分
得=
λOP PF OQ QE =
=OF
OE
3=， ∴,32
222=-+b
a b a ∴2
22b a = ……………5分 因此椭圆的离心率为.22双曲线的离心率为.2
6 ……………7分 （2）两个
20．(1) 02a =或；(2) 2a ≤-；（3）[]max (2)3
[3,0)()(1)0
(,3)
h a a h x h a =+∈-⎧=⎨
=∈-∞-⎩
21．(1) 由 P 1(t 12
,t 1)（t > 0），… 1分,得 k OP 1 = 1t 1 = tan π3 = 3 ⇒ t 1 = 33
∴ P 1(13 ,3
3
) …………2分
a 1 = | Q 1Q 0 | = | OP 1 | = 2
3
…………3分
(2) 设 P n (t n 2
,t n )，得直线 P n Q n －1的方程为：y －t n = 3 (x －t n 2
) 可得 Q n －1(t n 2－
t n
3
,0)
直线 P n Q n 的方程为：y －t n = － 3 (x －t n 2)，可得 Q n (t n 2
+ t n
3
,0)
所以也有 Q n －1(t n －12
+ t n －1
3
,0)，得 t n 2
－
t n
3
= t n －12
+
t n －1
3
，由 t n > 0，得 t n －t n －1 =
13
∴ t n = t 1 +
13
(n －1) =
3
3
n …………6分 ∴ Q n (13 n (n + 1),0),Q n －1(1
3
n (n －1),0)
∴ a n = | Q n Q n －1 | = 2
3
n …………8分
(3) 由已知对任意实数时 λ∈[0,1] 时 n 2
－2n + 2≥(1－λ) (2n －1) 恒成立
⇔ 对任意实数 λ∈[0,1] 时，(2n －1)λ + n 2
－4n + 3≥0 恒成立…………10分
则令 f (λ) = (2n －1)λ + n 2
－4n + 3，则 f (λ) 是关于 λ 的一次函数.
⇔ 对任意实数 λ∈[0,1] 时 ⎩⎨⎧ f (0)≥0
f (1)≥0
⇔ ⎩⎨⎧ n 2
－4n + 3≥0 n 2－2n + 2≥0 …………12分
⇔ n ≥3或n ≤1
又 ∵ n ∈N *
∴ k 的最小值为3…………14分。