高中数学之绿色解题教学

高中数学之绿色解题教学
谢娟
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)008
【总页数】2页(P16-17)
【作者】谢娟
【作者单位】甘肃省嘉峪关市第一中学
【正文语种】中文
我们常用“题海”来形容数学问题,那么怎样才能让学生从题海中解脱出来?这里笔者提出绿色解题教学的概念.绿色解题教学就是真正把握题目的本质,充分调动学生的思维,把一节课的教学效果发挥到最大化.
1 融会贯通,触类旁通——培养创新思维
下面以构造函数解导数小题为例说明.
例1 函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)+xf′(x)<0,并且f(-4)=0,其中f′(x)为f(x)的导函数.则不等式f(x)>0的解集为________.
思路点拨构造F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x),F(x)在(0,+∞)单调递减,且F(-
4)=0,F(x)为偶函数.
教学中先让学生自己思考,然后分享思路,师生共同解决问题.
变式1 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x<0时,xf′(x)-f(x)>0,且f(1)=0,其中f′(x)为f(x)的导函数.则不等式f(x)<0的解集为________.
思路点拨构造则在(-∞,0)单调递增,并且F(1)=0,F(x)为偶函数.
教学中先让学生自己思考,发现xf′(x)-f(x)中间是减号,由此想到分式函数的导函数,然后师生共同解决问题.
变式2 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,2f(x)>xf′(x),且f(-1)=0,其中f′(x)为f(x)的导函数.则不等式f(x)>0的解集为________.
思路点拨构造则在(0,+∞)单调递增,且F(-1)=0,F(x)为奇函数.
教学中先让学生思考,发现xf′(x)-2f(x)比变式1多了个2,由此想到构造此时老师引导学生去求导,发现这样构造的函数不符合题意,从而自然地想到构造然后师生共同解决问题.
变式3 f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,且xf′(x)>x2+3f(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.则不等式8f(x+2 014)+(x+2 014)3f(-2)>0的解集为________.
思路点拨构造则在(-∞,0)单调递增,并且则不等式等价于F(x+2 014)-F(-2)<0,然后用F(x)在(-∞,0)上的单调性求解.
由此可以得到结论:条件中出现xf′(x)+nf(x),构造F(x)=xnf(x),条件中出现xf′(x)-
nf(x),构造函数那么f(x)与ex,f(x)与ln x,f(x)与sin x也会有这样的结论吗?请读者思考.
2 对比分析,强化细节——培养逻辑思维
严谨是数学的一大特点,有效的绿色数学教学可以培养学生严密的逻辑思维.
例2 已知数列{an}中,a1=1,前n项和求数列{an}的通项公式.
学生1：由可得两式相减得变形可得从而得到an.
学生2：把an=Sn-Sn-1(n≥2)代入得由累乘法得到Sn,从而得到an.
思路点拨比较2种方法的简洁性,从而让学生择优而用.
变式设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式.
学生1：由an+1=Sn+3n，得an+2=Sn+1+3n+1,两式相减得
an+2=2an+1+2·3n,利用构造新函数法求出an,代入an+1=Sn+3n,求出Sn,再代入bn=Sn-3n,进而求出bn.
学生2：由an+1=Sn+3n得Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,而
bn+1=Sn+1-3n+1=2Sn+3n-3n+1=2(Sn-3n)=2bn,进而求出bn.
思路点拨比较两道题的细节,例题中的问题是求an,故用学生1的方法较好.而变式的问题是求bn,bn=Sn-3n,所以用学生2的方法比较好.解题教学中通过“咬文嚼字”进行相互比较研究,展示知识之间的内在联系和细微差别,在方法上举一反三,加深学生对数学本质的理解,提高解题能力,同时也培养了学生严密的逻辑思维能力.
3 源于课本,高于课本——培养思维
问渠哪得清如许,为有源头活水来,高考题中许多题目的源头都是课本习题,所以师生需要研究清楚课本上的习题,有了坚实的基础,解决问题时灵感自然而然就产生了. 例3 (2017年浙江卷) 已知向量a与b满足|a|=1,b=2,求|a+b|+|a-b|的最大值. 课本习题:人教A版必修4第109页例1.
思路点拨由可得所以|a+b|+|a-b|的最大值为
变式 (2017年全国卷Ⅱ) 已知函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
课本习题:人教A版选修2-2第32页B组题中第1题的第(3)小题,证明ex≥1+x.思路点拨把ex≥1+x中的x换成-x,得到e-x≥1-x,即ex(1-x)≤1.因为x≥0,所以ex(1-x)≤1两边同乘以1+x,可得(1-x2)ex≤x+1.当x≥0时,要使f(x)≤ax+1,只需当x≥0时,x+1≤ax+1,故a≥1.
(本文系2017年甘肃省教育科学“十三五”规划“陇原名师”专项课题《新课程背景下绿色数学教学的探究与实践》，课题立项号：GS[2017]MSZX031.)。