江南中学初中数学竞赛题20124_5

江南中学初中数学竞赛题2012.4
班级 ___________ 姓名________________ 成绩____________
一、选择题(每小题7分，共42分) 1. 设z y x ++=+++
6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz=( ).
(A)3／4 (B)5／6 (C)7／12 (D)13／18
2. 某次数学测验共有20道题.评分标准规定:每答对一题得5分，不答得0分，答错得-2分.已知这次测验中小强与小刚的累计得分相等，分数是质数.则小强与小刚答题的情况是( ). (A)两人答对的题数一样多 (B)两人答对的题数相差2 (C)两人答对的题数相差4 (D)以上三种情况都有可能
3. 能判定四边形ABCD 是菱形的条件是( ). (A)对角线AC 平分对角线BD ，且AC⊥BD (B)对角线AC 平分对角线BD ，且∠A=∠C (C)对角线AC 平分对角线BD ，且平分∠A、∠C (D)对角线AC 平分∠A、∠C，且∠A=∠C
4. 已知抛物线y=ax 2
+bx+c(a>0)与直线y=k(x-1)-4
k 2
.无论k 取任何实数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( ).
(A)y=x 2
(B)y=x 2
-2x (C)y=x 2
-2x+1 (D)y=2x 2
-4x+2
5. 如图，在△ABC 中，∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3.则sin∠BAC=( ).
(A)12/13 (B)4 3 /9 (C)2 6/5 (D)
4
3
2+ 6. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y=2kx+3-4k 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，P 是线段AB 上一点，PM⊥x 轴于点M ，PN⊥y 轴于点N.则矩形OMPN 面积的最大值至少为( ). (A)3 (B)4 (C)6 (D)8
二、填空题(每小题7分，共28分)
7. 正方形ABCD 的边长为5，E 为边BC 上一点，使得BE=3，P 是对角线BD 上的一点，使得PE+PC 的值最小.则PB= . 8. .一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5 000 km 后报废;若安装在后轮，则行驶3 000 km 后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一对新轮胎同时报废，那么，最多可行驶 km.
9.已知方程x 2
+x-1=0的两个根为α、β.则α
ββα3
3+的值为 .
10. 如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O 是其秒针的转动中心，M 是秒针的另一端，
OM=10 cm ，l 是过
点O 的铅直直线.现有一只蚂蚁P 在秒针OM 上爬行，蚂蚁P 到点O 的距离与M 到l 的距离
始终相等.1分钟
的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程)是 cm.
三．解答题
11.(18分)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，再次投入资金1 520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元，经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到00元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件;当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元).
(1)直接写出y与x之间的函数关系式.
(2)求第一年的年获利w与x之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是赢利还是亏损?若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损是多少?
(3)该公司希望到第二年底，两年的总赢利不低于1 842万元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元?
12. (16分)已知二次函数y=x2+2mx-n2.
(1)若此二次函数的图像经过点(1，1)，且记m，n+4两数中较大者为P，试求P的最小值;
(2)若m、n变化时，这些函数的图像是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，则过这三个交点作圆，证明:这些圆都经过同一定点，并求出该定点的坐标.
13. (16分)实数x、y、z、w满足x≥y≥z≥w≥0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.
参考答案
1. A.
两边平方得3+2 +3+6=x+y+z+2xy+2yz+2xz.
根据有理数x、y、z的对称性,可考虑方程组
x+y+z=3,2xy= 2,2yz=3,2xz= 6.
解得x=1,y=1／2,z=3／2.此时,xyz=3/4.
2. D.
根据题意，依次枚举答对20道题、19道题、……的各种可能发现:
(1)小强与小刚可能都答对17题、答错1题、未答其余2题同得83分;
(2)小刚与小强可能同得53分，不过一人答对13题、答错6题、1题未答，另一人答对11题、答错1题、其余各题未答;
(3)小刚与小强也可能同得23分，其中一人答对9题，其余各题答错，另一人答对5题、答错1题、其余各题未答.
3. D.
如图4，AC平分BD，AC⊥BD，AC也平分∠A和∠C，故可排除选项(A)、(C).而选项(B)的条件只能推出四边形ABCD是平行四边形，故排除选项(B).
4. C.
由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得
ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.①
由题设知,方程①有两个相等的实根,则Δ=(b-k)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.
因为k为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x2-2x+1.
5. C.
设BD=x，AB=y，则DE=2x，EC=3x.
由BD/DC=AB/AC，得AC=5y.又AB2+BC2=AC2，即
y2+(6x)2=(5y)2.
所以，x2=2y2/3，sin∠BAC=6x/5y=2 6/5.
6. C.
设点P的坐标为(x0，y0)，矩形OMPN的面积为S.则x0>0，y0>0，S=x0y0.
因为点P(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.
故S=x 0(2kx 0+3-4k)=2kx 2
0+(3-4k)x 0.
因此，S 最大=2k
44k)-(3-02k 42⨯⨯⨯，即16k 2
-(24-8S 最大)k+9=0.
因为k 为实数，则有Δ=[-(24-8S 最大)]2-4×16×9≥0.故|24-8S 最大|≥24. 解得S 最大≥6或S 最大≤0(舍去). 当S 最大=6时，k=-3/4.
7. 152 /8.
因为PE+PC=PE+PA ，所以，当A 、P 、E 三点共线时，PE+PA 最小. 如图，建立直角坐标系，设B 为坐标原点，BA 为x 轴.则l BD :y=x ， l AE :3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=152/8.
8. 3 750.
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/5 000，安装在后轮的轮胎每行驶1 km 的磨损量为k/3 000.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+k ky kx k ky kx 5000
30003000
5000.两式相加得x+y=3 750 (km 9. .-7.
令A=αββα33+，B=β
βαα33+=α2+β2
. 由已知有α+β=-1，αβ=-1.
故B=(α+β)2
-2αβ=1+2=3.①
A+B=)=(α3+β3
)(1/α+1/β)=-4.② 由式①、②得A=-4-3=-7.
10. 20π.
如图，以点O 为圆心、10 cm 为半径作⊙O.过M 作MN ⊥l 于点N ，过O 作l 的垂线交⊙O 于点Q 1、Q 2.联结PQ1.则MN ∥OQ 1，∠M=∠MOQ1. 又因OM=OQ 1，MN=OP ，所以，△OMN △Q 1OP.故∠OPQ 1=∠ONM=90°.
因此，点P 在以OQ 1为直径的圆上. 同理，点P 在以OQ 2为直径的圆上. 从而，蚂蚁P 在1分钟的时间内被秒针OM 携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ 1、OQ 2为直径的两个
圆.移动的路程为2×10×π=20π.
11、(1)y=-25
2
x+28， 100≤x ≤200; y=-
10
1
x+32， 200<x ≤300. (2)当100≤x ≤200时，w=xy-40y-(1 520+480).①
将y=-252x+28代入式①得w=x(-252x+28)-40(-25
2x+28)-2 000.
整理得w=-25
2 (x-195)2
-78. 当200<x ≤300时，同理可得 w=-
10
1 (x-180)2
-40.
故w=-25
2 (x-195)2
-78， 100≤x ≤200; w=-
10
1 (x-180)2
-40， 200<x ≤300. 若100≤x ≤200，当x=195时，w max =-78;
若200<x ≤300时，w max <-80.故投资的第一年公司是亏损的，最少亏损为78万元. (3)依题意可知，第二年w 与x 之间的函数关系式为
w=(-252
x+28)(x-40)， 100≤x ≤200; w= (-10
1x+32)(x-40)， 200<x ≤300. 当两年总利润刚好为1 842万元时，依题意得(-
25
2
x+28)(x-40)-78=1 842， 100≤x ≤200
或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200<x ≤300. 解得x 1=190，x 2=200.
故当190≤x ≤200时，总利润不低于1 842万元. 由y=-25
2
x+28(100≤x ≤200)可知，当销售单价定为190元时，销售量最大.
12 (1)由二次函数过点(1，1)得m=n 2
/2. 注意到m-(n+4)= n 2
/2-(n+4) =
21 (n 2
-2n-8)= 2
1 (n-4)(n+2)， 所以，P= n 2
/2， n ≤-2或n ≥4; P=n+4， -2<n<4.
再利用函数图像可知，当n=-2时，Pmin=2.
(2)图像与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(x 1，0)、B(x 2，0)、C(0，-n 2
). 又x 1x 2=-n 2
，若n=0，则与三个交点不符，故x 1x 2=-n 2
<0.所以，x 1、x 2分在原点左右两侧. 又|x 1x 2|=n 2×1，所以，存在点P 0(0，1)使得|OA|·|OB|=|OP 0|·|OC|. 故A 、B 、C 、P0四点共圆，即这些圆必过定点P 0(0，1).
13. 设z=w+a ，y=w+a+b ，x=w+a+b+c.则a 、b 、c ≥0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c. 故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+a)+6w=18w+12a+9b+5c=4(4w+3a+2b+c)+(2w+b+c) ≥4(x+y+z+w). 因此，x+y+z+w ≤25.
当x=y=z=25/3，w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最大值为25. 又100=18w+12a+9b+5c=5(4w+3a+2b+c)-(2w+3a+b)≤5(x+y+z+w)， 则 x+y+z+w ≥20.
当x=20，y=z=w=0时，上式等号成立.故x+y+z+w 的最小值为20.。