【备战】高中数学 分类突破赢高考8

备战2014数学分类突破赢高考8
1．(2013·陕西五校联考)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n ，若函数g (x )的图像与f (x )的图像关于坐标原点对称．
(1)求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32
，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．
解：(1)由题意得f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以g (x )＝－12－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6. 所以当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6
时， 函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6上的最大值为12. (2)由f (A )－g (A )＝32
，得 1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A －π6＝32， 化简得cos 2A ＝－12
， 又因为0<A <π2
， 所以A ＝π3
. 由题意知S △ABC ＝12
bc sin A ＝23， 解得bc ＝8，又b ＋c ＝7，
所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－2bc (1＋cos A ) ＝49－2×8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＝25. 故所求边a 的长为5.
2.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是AB 的中点，MA ⊥平
面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD ＝2，AM ＝377
. (1)求证：AC ⊥BN ；
(2)求证：AN ∥平面MEC ；
(3)求二面角M ­EC ­D 的大小．
解：(1)证明：连接BD ，则AC ⊥BD .
由已知得DN ⊥平面ABCD ，所以DN ⊥AC .
因为DN ∩DB ＝D ，
所以AC ⊥平面NDB .
又BN ⊂平面NDB ，
所以AC ⊥BN .
(2)证明：设CM 与BN 交于F ，连接EF .
由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，
所以F 是BN 的中点．
因为E 是AB 的中点，
所以AN ∥EF .
又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，
所以AN ∥平面MEC .
(3)由四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，E 是AB 的中点，连接DE ，可得DE ⊥AB .
如图，建立空间直角坐标系D ­xyz ，则D (0,0,0)，E (3，0,0)，C (0,2,0)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3，－1，377. CE ＝(3，－2,0)，EM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1，377. 设平面MEC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
CE ·n ＝0，EM ·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝0，y －377z ＝0. 令x ＝2，所以n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，3，
213. 又平面ADE 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12
. 所以二面角M ­EC ­D 的大小是60°.
3．(2013·山东高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .
由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得
⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋n －d ＝2a 1＋n －d ＋1，
解得a 1＝1，d ＝2.
因此a n ＝2n －1，n ∈N *
. (2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *， 当n ＝1时，b 1a 1＝12
； 当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12n . 所以b n a n ＝12n ，n ∈N *. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *
，
所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *. 又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12
n ＋1， 两式相减得
12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12
n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n . 4．某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1、L 2两
条巷道通往作业区(如图)，L 1巷道有A 1、A 2、A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12
；L 2巷道有B 1、B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34、35.
(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.
(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，
P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，
P (X ＝2)＝34×35＝920.
所以随机变量X 的分布列为
E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝20.
设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1
2，
所以E (Y )＝3×12＝3
2.
因为E (X )＜E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线较好．。