2020年河南省信阳市实验中学高三数学理联考试卷含解析

2020年河南省信阳市实验中学高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
2. 函数f（x）=1+log2（﹣x）与g（x）=2x﹣1在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】由条件利用函数的定义域和单调性，结合函数的图象特征，得出结论．
【解答】解：函数f（x）=1+log2（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且单调递减；
g（x）=2x﹣1 的定义域为R，且单调递增，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的定义域和单调性，函数的图象特征，属于基础题．
3. 设集合N}的真子集的个数是
A．15 B．8 C．7 D．3
参考答案：
A
4. 非零向量，满足2?=，||+||=2，则，的夹角θ的最小值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，可得2cosθ=||?||，再由基本不等式，可得cosθ≤，结合余弦函数的性质，即可得到所求最小值．
解答：解：非零向量，满足2?=，|
即有2||?||?cosθ=||2?||2，
即2cosθ=||?||，
由||+||=2，
则||?||≤（）2=1，
即有cosθ≤，
由于0≤θ≤π，
则≤θ≤π，
则当||=||=1时，
，的夹角θ取得最小值为．
故选C．
点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，属于基础题．
5. 已知向量与的夹角为且，，则( )
A.2
B. －1
C. －3
D.
参考答案：
C
6. 已知全集，集合，，那么集合（）（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
7. 在平面直角坐标系xOy中，设，，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
8. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于即为优秀，如果优秀的人数为20人，则的估计值是（）
A．130 B．140 C ．134
D．137高考资源网w。

w-w*k&s%5￥u 参考答案：
C
略
9. 过点和点的直线在轴上的截距为（）
、、、、
参考答案：
D
略
10. 已知等比数列{a n}中，公比，则a4=（）A．1 B．2 C．4 D．8
参考答案：
D
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】由已知把a3a5a7=64转化为a4的方程求解．
【解答】解：在等比数列{a n}中，由，
得，解得a4=8．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设点P是函数y=﹣图象上任意一点，点Q（2a，a﹣3）（a∈R），则|PQ|的最小值为．
参考答案：
﹣2
考点：两点间的距离公式．
专题：直线与圆．
分析：将函数进行化简，得到函数对应曲线的特点，利用直线和圆的性质，即可得到结论．
解答：解：由函数y=﹣，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），
对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，
∵点Q（2a，a﹣3），
∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，
即Q（2a，a﹣3）在直线x﹣2y﹣6=0上，
过圆心C作直线的垂线，垂足为A，
则|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=．
故答案为：．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关
键．
12. 函数的最大值为3，则a=
参考答案：
；
13. 已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则
=____________
参考答案：
16
14. 若变量满足，则的取值范围是____________
参考答案：
略
15. 若，则＝_______________.
参考答案：
略
16. 已知数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1+n2=0．则a31=．
参考答案：
﹣463
【考点】数列递推式．
【分析】由已知数列递推式可得（n≥2），两式作差可得a n+1﹣a n﹣1=﹣2n+1
（n≥2）．然后分别取n=2，4，…，30，得到15个等式，累加即可求得a31．
【解答】解：在数列{a n}中，由a n+a n+1+n2=0，
得，
∴（n≥2），
两式作差得：a n+1﹣a n﹣1=﹣2n+1（n≥2）．
∴a3﹣a1=﹣3，a5﹣a3=﹣7，a7﹣a5=﹣11，…，a31﹣a29=﹣59．
累加得：，
∴a31=﹣463．
故答案为：﹣463．
17. 定义运算符号“”：表示若干个数相乘，例如：．记，
其中为数列中的第项．
（1）若，则
；
（2）若，则．
参考答案：
（1105；（2）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
参考答案：
（1）因为直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．
以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
因为AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝，(,0,0)
从而B(0，0，0)，A(,0,0)，C(0,,0)，B1(0，0，3)，A1 A(,0,3)，C1(0,,3)，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cos＜m,n＞＝
19. 已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案：
(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f (x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
略
20. 设函数（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f（x）在区间上的最小值为，求α的值．
参考答案：
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的最值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（I）先用三角恒等式将函数f（x）表达式化简，再将最高点的坐标代入即可求出ω的值．
（II）利用三角函数的性质求出f（x）在区间上的最小值表达式，令其值为，即可解出参数的值．
【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx+sin2ωx++α
=
依题意得2ω×+=
解之得ω=
（II）由（I）知f（x）=sin（x+）++α
又当x∈[﹣，]时，x+∈[0，]
故﹣≤sin（x+）≤1，
从而，f（x）在[﹣，]上取得最小值﹣++α
因此，由题设知﹣++α=
解得α=
答：（I）ω=；（II）α=
【点评】考查三角函数的图象与性质，先用性质求参数的值，再由函数的单调性判断出函数的最小值的参数表达式，建立关于参数的方程，求出相应的参数．本题可以培养答题者运用知识灵活转化的能力．
21. 已知不等式对恒成立.
（1）求实数的取值范围；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，试判断是否一定为空集？请证明你的结论.
参考答案：
（1）；（2）不一定为空集.
试题解析：（1）不等式对恒成立等价于
不等式对恒成立.
设，则.
∴，∴.
（2）设，
由的图象及知，当时，满足不等式的的最大可能取值为2.又，故当时，，当时，.
即不一定为空集.
考点：不等式恒成立，绝对值不等式．
22. （本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p＞0)于点P，M关于点P 的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）由已知得M(0,t)，P().
又N为M关于点P的对称点，故N()，ON的方程为，代入y2=2px整理得px2-2t2x=0，解得x1=0，，因此H().
所以N为OH的中点，即.
（Ⅱ）直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：
直线MH的方程为，即.代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0，解得y1=y2=2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.。