江西初三初中数学中考模拟带答案解析

江西初三初中数学中考模拟
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.的倒数是（）.
A．2B．﹣2C．D．
2.下面几何体的左视图是（）.
A．B．C．D．
3.下列运算中正确的是（）.
A．3a+2a=5a2
B．（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2
C．2a2•a3=2a6
D．（2a+b）2=4a2+b2
4.如图，△ABC中，∠BAC=70°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，得到△DEC，点A的对应点为D，ED
过点A，则旋转角的度数为（）.
A．30°B．35°C．40°D．45°
5.抛物线y=x2+2x+2﹣m与x轴有两个交点，则下列m的值符合题意的是（）.
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
6.如图，将一个正方形纸片（图1），切去四个角上同样大小的小正方形，翻折粘合成一个无盖的长方体（图2），若图1中原正方形纸片的边长为6，图2中长方体的长为a，高为b，则下列说法错误的是（）.
A．a＜6
B．a+2b=6
C．a=2时，图2为正方体
D．长方体的所有棱长之和是个定值
二、填空题
1.36的算术平方根是 ．
2.今年4月份中国汽车工业协会公布的统计数据显示，第一季度全国乘用车共销售566.90万辆，将566.90万用科学记数法可表示为 ．
3.已知一组数据2，4，x ，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是 ．
4.如图，直线l 1∥l 2，两直线之间的距离为2，A ，B 是直线l 2上两点，AB=4，点P 直线l 1上一个动点，则∠APB 的最大值为 ．
5.如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，AB=2，AD=3，点P 是⊙O 上任一点，则sin ∠APB 的值
为 ．
6.一次函数y=kx+2的图象过点A （2，4），且与x 轴相交于点B ，若点P 是坐标轴上一点，∠APB=90°，则点P 的坐标为 ．
三、计算题
（1）计算：（）﹣1﹣﹣（）0+|﹣1|
（2）先化简，再求值：（x+2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，其中x=﹣．
四、解答题
1.如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点D 在AB 上，连接AC ，求证：△AOC ≌△BOD ．
2.求不等式组的解集，并判断x=是否为该不等式组的一个解．
3.如图，反比例函数y=的图象过点A （1，3），请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画图．
（1）在图1中取一点B ，使其坐标为（﹣1，﹣3）；
（2）在图2中，在（1）中画图的基础上，画一个平行四边形
ACBD ．
4.已知x 1，x 2是方程x 2﹣2x+a=0的两个实数根，且x 1+2x 2=﹣1，求x 1，x 2和a 的值．
5.某艺术剧院门票价格如表所示：某团体准备了700元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张．
门票价格一览表
（1）有多少种购票方案？列举所有可能结果；
（2）如果从上述方案中选中一种总票张数最少的情况，将所购的票的票面朝下随意叠放在一起，随机抽两张，求
正好抽出一张指定日普通票和一张平日优惠票的概率．
6.如图1所示旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，图1中四边形ABCD形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F为AD的中点，EF∥CD，现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端靠在墙上点D处，O为墙角，图2为箱子打
开后的示意图，若箱子厚度AD=30cm，宽度AB=50cm．
（1）图2中，EC= cm，当点D与点O重合时，AO的长为 cm．
（2）若∠CDO=60°，求AO的长（结果取整数值）
（参考数据：sin60°=0.87，cos60°=0.5，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）
7.某校九年级（1）班数学学习小组对某次测试“满分值为6分的一道解答题的得分”情况进行了统计，绘制成下表（学生得分均为整数）：
已知全班同学此题的平均得分为4分，结合表格解决下列问题：
（1）完成表格，并求该班学生总数；
（2）根据表中提供的数据，补全条形统计图；若将“该班同学本道题的得分情况”绘制成扇形统计图，求“此题得0分”的人数所对应的圆心角的度数．
（3）若本年级学生共有540人，请你估计整个年级中此题得满分的学生人数．
8.如图，▱ABCD的顶点A、C、D都在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，BC与⊙O交于点E，设∠OCD=α，
∠BAD=β．
（1）求证：AB=AE；
（2）试探究α与β之间的数量关系．
9.如图1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A、D重合），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E，在P点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？
特例求解
当E为AB的中点，且AP＞AE时，求证：PE=PC．
深入探究
当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范
围．
10.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上（点A 与点B 不重合），我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
（1）在图1中，抛物线：L 1：y=﹣x 2+4x ﹣3与L 2：y=a （x ﹣4）2﹣3互为“伴随抛物线”，则点A 的坐标为 ，a 的值为 ； （2）在图2中，已知抛物线L 3：y=2x 2﹣8x+4，它的“伴随抛物线”为L 4，若L 3与y 轴交于点C ，点C 关于L 3的对称轴对称的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 4的解析式；
（3）若抛物线y=a 1（x ﹣m ）2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a 2（x ﹣h ）2+k ，请写出a 1与a 2的关系式，并说明理由．
江西初三初中数学中考模拟答案及解析
一、选择题
1.的倒数是（ ）.
A ．2
B ．﹣2
C ．
D ．
【答案】B.
【解析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，∵﹣2×（﹣）=1，∴﹣的倒数是﹣2．故选B ．
【考点】倒数的定义.
2.下面几何体的左视图是（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A.
【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，此图从左边看左侧是两个小正方形，右侧是一个小正方形，故选：A ．
【考点】简单组合体的三视图．
3.下列运算中正确的是（ ）.
A ．3a+2a=5a 2
B ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2﹣b 2
C．2a2•a3=2a6
D．（2a+b）2=4a2+b2
【答案】B.
【解析】根据合并同类项法则，A选项错误，应该为3a+2a=5a；根据平方差公式，B选项（2a+b）（2a﹣b）
=4a2﹣b2，正确；根据同底数幂的乘法，C选项错误，应该为2a2•a3=2a5；根据完全平方公式展开式是三项，D选
项错误，应该为（2a+b）2=4a2+4ab+b2．故选B．
【考点】1.平方差公式；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.完全平方公式．
4.如图，△ABC中，∠BAC=70°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，得到△DEC，点A的对应点为D，ED
过点A，则旋转角的度数为（）.
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】C.
【解析】此题求出∠ACD的度数是解题的关键，根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到AC=CD，
∠D=∠BAC=∠DAC=70°，然后根据三角形的内角和即可算出．∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到
△DEC，∴AC=CD，∠D=∠BAC=∠DAC=70°，∴∠ACD=180°﹣∠D﹣∠CAD=180°﹣70°-70°=40°，故选C．【考点】旋转的性质．
5.抛物线y=x2+2x+2﹣m与x轴有两个交点，则下列m的值符合题意的是（）.
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
【答案】D.
【解析】抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．∵抛物线y=x2+2x+2﹣m与x轴
有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，即22﹣4×1×（2﹣m）＞0，解得：m＞1，所以D符合题意，故选D．
【考点】抛物线与x轴的交点．
6.如图，将一个正方形纸片（图1），切去四个角上同样大小的小正方形，翻折粘合成一个无盖的长方体（图2），若图1中原正方形纸片的边长为6，图2中长方体的长为a，高为b，则下列说法错误的是（）.
A．a＜6
B．a+2b=6
C．a=2时，图2为正方体
D．长方体的所有棱长之和是个定值
【答案】D.
【解析】根据图形的剪拼，A选项原正方形纸片的边长为6，切去四个角上同样大小的小正方形，所以a＜6，正确；B选项根据题意得出a+2b=6，正确；C选项当a=2时，b=2，所以图2为正方体，正确；D选项长方体的所
有棱长之和不是定值，错误；故选D．
【考点】图形的剪拼．
二、填空题
1.36的算术平方根是．
【答案】6．
【解析】根据算术平方根的定义，36的算术平方根是6．故答案为：6．
【考点】算术平方根．
2.今年4月份中国汽车工业协会公布的统计数据显示，第一季度全国乘用车共销售566.90万辆，将566.90万用科学记数法可表示为 ． 【答案】5.669×106． 【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．将566.90万用科学记数法可表示为5.669×106，故答案为：5.669×106．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
3.已知一组数据2，4，x ，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是 ．
【答案】3．
【解析】根据众数和中位数的概念，∵数据2，4，x ，3，5，3，2的众数是2，∴x=2，则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，2，2，3，3，4，5，则中位数为3．故答案为：3．
【考点】1.众数；2.中位数．
4.如图，直线l 1∥l 2，两直线之间的距离为2，A ，B 是直线l 2上两点，AB=4，点P 直线l 1上一个动点，则∠APB 的最大值为 ．
【答案】90°．
【解析】结合已知条件作图如下，
“以线段AB 为直径作圆，圆与直线l 1交于点P ，在l 1上任找一点P′（与点P 不重合），连接AP′交圆于点C ，连接BC”，根据线段AB 为直径可得出∠APB=∠ACB=90°，再结合三角形外角的性质即可得出∠APB ＞∠AP′B ，由此即可得出结论．∵AB=4，直线l 1∥l 2，两直线之间的距离为2，∴以线段AB 为直径作圆，圆与直线l 1交于点P ，在l 1上任找一点P′（与点P 不重合），连接AP′交圆于点C ，连接BC ，如上图所示．∵线段AB 为直径，
∴∠APB=∠ACB=90°，∵∠ACB=∠AP′B+∠CBP′，∴∠APB=∠ACB ＞∠AP′B ．∴当点P 在线段AB 的垂直平分线上时，∠APB 最大，最大值为90°．故答案为：90°．
【考点】1.平行线的性质；2.圆的有关性质.
5.如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，AB=2，AD=3，点P 是⊙O 上任一点，则sin ∠APB 的值
为 ．
【答案】．
【解析】连接BD ，先根据勾股定理求出BD 的长，再由锐角三角函数的定义得出sin ∠ADB 的度数，根据圆周角定理即可得出结论．如图，连接BD ，
∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB=2，AD=3，
∴BD===，∴sin ∠ADB===
，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠APB=∠ADB ，∴sin ∠APB= sin ∠ADB=．故答案为：
． 【考点】1.圆周角定理；2.矩形的性质．
6.一次函数y=kx+2的图象过点A （2，4），且与x 轴相交于点B ，若点P 是坐标轴上一点，∠APB=90°，则点P 的坐标为 ．
【答案】（2，0），（0，2+2），（0，2﹣2）
【解析】根据已知条件，由于y=kx+2的图象过点A（2，4），将点A代入一次函数可得函数解析式；
该函数式与x轴交于点B，设B（x，0），再将其代入函数解析式，求得B点坐标；P点在坐标轴上有两种可能，P点在x轴上或P点在y轴上，根据勾股定理可求出P点坐标．∵一次函数y=kx+2的图象过点A（2，4），
∴4=2k+2，∴k=1，∴一次函数解析式为y=x+2，∵一次函数y=x+2与x轴交于B，∴0=x+2，∴x=﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，0）；P在坐标轴上分两种情况讨论：
① p在x轴上，设点P为（x，0）如图一
∵∠APB=90°，∴AP⊥x轴，∴x=2，点P坐标为（2，0）；②若P在y轴上，设P（0，y），如图二、图三
∵∠APB=90°，∴PB2+PA2=AB2，∵PB2=（﹣2）2+y2，PA2=22+（y﹣4）2，AB2=42+42，∴（﹣2）2+y2+22+（y ﹣4）2=42+42，解得：y=2±2，P点坐标为（0，2+2），（0，2﹣2）．综上所述点P的坐标为（2，0），（0，2+2），（0，2﹣2）.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
三、计算题
（1）计算：（）﹣1﹣﹣（）0+|﹣1|
（2）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2，其中x=﹣．
【答案】（1）﹣；（2）﹣6．
【解析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
试题解析：（1）利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，原式=﹣2﹣1+1=﹣；（2）利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，原式=x2﹣4﹣x2+2x﹣1=2x﹣5，当x=﹣时，原式=﹣1﹣5=﹣6．
【考点】1.整式的化简求值；2.实数的运算；3零指数幂；4.负整数指数幂.
四、解答题
1.如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点D 在AB 上，连接AC ，求证：△AOC ≌△BOD ．
【答案】证明参见解析.
【解析】根据等腰直角三角形得出OA=OB ，OC=OD ，∠AOC=∠BOD ，根据SAS 推出全等即可．
试题解析：∵△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OA=OB ，OC=OD ，∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD ，在△AOC 和△BOD 中，
，∴△AOC ≌△BOD （SAS ）．
【考点】1.全等三角形的判定；2.等腰三角形.
2.求不等式组
的解集，并判断x=是否为该不等式组的一个解． 【答案】1≤x ＜3，是.
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，判断x=是否在该解集内即可．
试题解析：解不等式x ﹣1≥1﹣x ，得：x≥1，解不等式x+8＞4x ﹣1，得：x ＜3，∴不等式组的解集为：1≤x ＜3，∵＜＜，∴1＜x=＜3，∴x=是该不等式组的一个解．
【考点】1.解一元一次不等式组；2.求不等式的解集.
3.如图，反比例函数y=的图象过点A （1，3），请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画图．
（1）在图1中取一点B ，使其坐标为（﹣1，﹣3）；
（2）在图2中，在（1）中画图的基础上，画一个平行四边形
ACBD ．
【答案】作图参见解析.
【解析】（1）作直线OA 交反比例函数图象于另一点B ，则点B 与点A 关于原点对称，所以B （﹣1，﹣3）；
（2）在反比例函数图象上任取一点C ，作直线OC 交反比例函数图象于点D ，则OA=OB 、OC=OD ，所以四边形ACBD 为平行四边形．
试题解析：（1）如图1，作直线OA 交反比例函数图象于另一点B ，则点B 与点A 关于原点对称，点B 即为（﹣1，﹣3）；
（2）如上图2，在反比例函数图象上任取一点C ，作直线OC 交反比例函数图象于点D ，则OA=OB 、OC=OD ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断四边形ACBD 为所求．
【考点】1.复杂作图；2.反比例函数的性质，3.平行四边形的判定.
4.已知x 1，x 2是方程x 2﹣2x+a=0的两个实数根，且x 1+2x 2=﹣1，求x 1，x 2和a 的值．
【答案】x 1=5，x 2=﹣3，a=﹣15．
【解析】根据根与系数关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=a ，再将x 1+2x 2=﹣1左边式子变形，求出x 2的值，然后进一步求出x 1和a 的值.
试题解析：根据题意得x 1+x 2=2，x 1x 2=a ，而x 1+2x 2=﹣1，即x 1+x 2+ x 2=﹣1，因为x 1+x 2=2，所以x 2=﹣3，进一步求出x 1=5，所以a=5×（﹣3）=﹣15．故答案为x 1=5，x 2=﹣3，a=﹣15．
【考点】根与系数的关系．
5.某艺术剧院门票价格如表所示：某团体准备了700元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张．
门票价格一览表
（1）有多少种购票方案？列举所有可能结果；
（2）如果从上述方案中选中一种总票张数最少的情况，将所购的票的票面朝下随意叠放在一起，随机抽两张，求正好抽出一张指定日普通票和一张平日优惠票的概率．
【答案】（1）3种；（2）.
【解析】（1）设购买指定日普通票x 张，平日优惠票y 张，根据题意列方程200x+100y=700，即2x+y=7，然后讨论二元一次方程的正整数解即可；（2）总票张数最少的情况为购买指定日普通票3张，平日优惠票1张，用A 表示普通票，用B 表示优惠票，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出正好抽出一张指定日普通票和一张平日优惠票的结果数，然后根据概率公式求解．
试题解析：（1）设购买指定日普通票x 张，平日优惠票y 张，根据题意得200x+100y=700，即2x+y=7，而x 、y 都为正整数，所以当x=1时，y=5；x=2时，y=3；x=3，y=1，所以有3种购票方案：购买指定日普通票1张，平日优惠票5张；购买指定日普通票2张，平日优惠票3张；购买指定日普通票3张，平日优惠票1张；（2）总票张数最少的情况为购买指定日普通票3张，平日优惠票1张，用A 表示普通票，用B 表示优惠票，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中正好抽出一张指定日普通票和一张平日优惠票的结果数为6，所以正好抽出一张指定日普通票和一张平日优惠票的概率==.
【考点】列表法与树状图法求随机事件的概率.
6.如图1所示旅行箱的箱盖和箱底两部分的厚度相同，图1中四边形ABCD 形如矩形的旅行箱一侧的示意图，F 为AD 的中点，EF ∥CD ，现将放置在地面上的箱子打开，使箱盖的一端靠在墙上点D 处，O 为墙角，图2为箱子打开后的示意图，若箱子厚度AD=30cm ，宽度AB=50cm ．
（1）图2中，EC= cm ，当点D 与点O 重合时，AO 的长为 cm ．
（2）若∠CDO=60°，求AO 的长（结果取整数值）
（参考数据：sin60°=0.87，cos60°=0.5，tan60°=≈1.73，可使用科学计算器）
【答案】（1）15，100；（2）101cm ．
【解析】（1）根据EC=BC=AD ，AO=AB+CD=2AB 即可解决问题；（2）过点C 作OA 的平行线，分别交BE 和OD 于H ，G ，根据∠CDO=60°，分别求出CG 、HC ，求出HG 的长，就求出了BO 的长，从而求出了AO 的长.
试题解析：（1）∵EF ∥AB ∥CD ，DF=AF ，∴EC=EB=BC=AD=15cm ，当点D 与点O 重合时，
∵AB=B0=50，∴AO=50+50=100cm ．故答案为15，100；（2）过点C 作OA 的平行线，如图：
分别交BE和OD于H，G．∵EB⊥OA，OD⊥OA，∴HG=HC+CG=OB，∵∠ECD=90°，∠CDO=60°，
∴∠DCG=30°，∠ECH=60°，∵CD=50cm，EC=15cm，∴HC=EC=7.5cm，CG=CD•sin60°=50×0.87≈43.5cm，∴AO=AB+OB=AB+HC+CG=50+7.5+43.5=101cm.
【考点】解直角三角形的应用．
7.某校九年级（1）班数学学习小组对某次测试“满分值为6分的一道解答题的得分”情况进行了统计，绘制成下表（学生得分均为整数）：
已知全班同学此题的平均得分为4分，结合表格解决下列问题：
（1）完成表格，并求该班学生总数；
（2）根据表中提供的数据，补全条形统计图；若将“该班同学本道题的得分情况”绘制成扇形统计图，求“此题得0分”的人数所对应的圆心角的度数．
（3）若本年级学生共有540人，请你估计整个年级中此题得满分的学生人数．
【答案】（1）45人；（2）补图参见解析，24°；（3）132人．
【解析】（1）设该班得6分的学生为x人，然后根据“全班同学此题的平均得分为4分”列出方程求解即可；（2）
由（1）中x的值可补全条形图，用“此题得0分”的人数占总人数比例乘以360°可得；（3）利用本班中得满分的
学生占全班学生的比例即可求出整个年级有多少同学此题得满分．
试题解析：（1）设该班得6分的学生为x人，则根据题意得：1×1+2×5+3×7+4×8+5×10+6x=
（3+1+5+7+8+10+x）×4，化简得：114+6x=136+4x，解得：x=11，所以该班共有：3+1+5+7+8+10+11=45（人）；（2）根据该班得6分的有11人，补全条形统计图如下：
由统计表可知，得0分的有3人，所以“此题得0分”的人数所对应的圆心角的度数为：×360°=24°；（3）该班
得满分所占的比例是，所以
×540=132（人），估计整个年级中此题得满分的学生人数为132人．
【考点】1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．
8.如图，▱ABCD的顶点A、C、D都在⊙O上，AB与⊙O相切于点A，BC与⊙O交于点E，设∠OCD=α，
∠BAD=β．
（1）求证：AB=AE；
（2）试探究α与β之间的数量关系．
【答案】（1）证明参见解析；（2）β=135°﹣α．
【解析】（1）连接DE,先证明∠CED=∠ADE ，推出弧AE=弧CD ，进一步推出AE=CD ，因为AB=CD,由此即可证明；（2）延长AO 交CD 于F ，由β=90°+∠OAD ，∠OAD=∠FOD ，∠FOD=∠FOC=90°﹣α，由此即可解决问题.
试题解析：（1）连接DE ．先证明∠CED=∠ADE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB=CD ，
∴∠CED=∠ADE ，∴弧AE=弧CD ，∴AE=CD ，∵AB=CD,∴AB=AE ；（2）延长AO 交CD 于F ，∵AB 是⊙O 切线，∴AB ⊥AF ，∵AB ∥CD ，∴AF ⊥CD ，∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠COF=∠DOF=90°﹣α，∵∠OAD=∠ODA ，∴（90°﹣α），∴β=∠BAF+∠OAD=90°+∠OAD=90°+（90°﹣α）=135°﹣α．故α与β之间的数量关系为β=135°﹣α．
【考点】1.切线的性质；2.平行四边形的性质；3.圆周角定理.
9.如图1，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，P 是线段AD 边上的一动点（不与端点A 、D 重合），连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于点E ，在P 点运动过程中，图中各角和线段之间是否存在的某种关系和规律？ 特例求解
当E 为AB 的中点，且AP ＞AE 时，求证：PE=PC ．
深入探究
当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求整个运动过程中BE 的取值范
围．
【答案】（1）证明参见解析；（2）≤BE ＜2．
【解析】(1)特例求解：当E 为AB 的中点，设AP=x ，证明△APE ∽△DCP ，根据相似三角形的性质得到比例式，解一元二次方程求出x 的值，再证明△APE ≌△DCP 即可；(2)深入探究：设AP=x ，AE=y ，证明△APE ∽△DCP ，根据相似三角形的性质得到比例式，计算出x 值，建立y 与x 的二次函数关系，讨论最值问题即可．
试题解析：(1)特例求解，∵PE ⊥PC ，∴∠APE+∠DPC=90°，∵∠D=90°，∴∠DCP+∠DPC=90°，
∴∠APE=∠DCP ，又∠A=∠D=90°，∴△APE ∽△DCP ，∴，设AP=x ，则DP=3﹣x ，又当E 为AB 的中点，即AE=BE=1，∴x （3﹣x ）=1×2，整理得x 2﹣3x+2=0，解得，x 1=2，x 2=1，∵AP ＞AE ，∴AP=CD=2，AE=PD=1，∴△APE ≌△DCP ，∴PE=PC ；(2)深入探究,设AP=x ，AE=y ，∵△APE ∽△DCP ，∴
，即x （3﹣x ）=2y ，∴y=x （3﹣x ）=﹣x 2+x=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，y 的最大值为，∵AE=y 取最大值时，BE 取最小值为2﹣=，∴BE 的取值范围为≤BE ＜2．
【考点】1.四边形综合题；2.三角形相似的判定与性质；2.三角形全等的判定与性质.
10.如图1，若抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上（点A 与点B 不重合），我们把这样的两抛物线L 1、L 2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
（1）在图1中，抛物线：L 1：y=﹣x 2+4x ﹣3与L 2：y=a （x ﹣4）2﹣3互为“伴随抛物线”，则点A 的坐标为 ，a 的值为 ；
（2）在图2中，已知抛物线L 3：y=2x 2﹣8x+4，它的“伴随抛物线”为L 4，若L 3与y 轴交于点C ，点C 关于L 3的对称轴对称的对称点为D ，请求出以点D 为顶点的L 4的解析式；
（3）若抛物线y=a 1（x ﹣m ）2+n 的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=a 2（x ﹣h ）2+k ，请写出a 1与a 2的关系式，并说明理由．
【答案】（1）A （2，1），a 为1；（2）y=﹣2（x ﹣4）2+4；（3）a 1=﹣a 2，理由参见解析.
【解析】（1）根据点A 是抛物线L 1的顶点，可得点A 的坐标，再把点A 坐标代入抛物线L 2中求得a 的值；（2）由L 3解析式可知点C 坐标，进而知道点C 关于对称轴的对称点D 的坐标，设L 4解析式：y=a （x ﹣h ）2+k ，将顶点D 的坐标及L 3顶点坐标代入，求出系数a ，得到以点D 为顶点的L 3的“伴随抛物线”L 4的解析式，于是求出L 4的解析式；（3）根据抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得：（a 1+a 2）（m ﹣h ）2=0，可得a 1=﹣a 2．
试题解析：（1）∵点A 是抛物线L 1的顶点，抛物线L 1：y=﹣x 2+4x ﹣3=-（x-2）2+1，∴此抛物线的顶点坐标为A （2，1），∵抛物线L 2过点A （2，1），∴把点A 坐标代入抛物线L 2中，1=a （2﹣4）2﹣3，∴a=1，故答案为A （2，1），a=1；（2）由L 3解析式：y=2x 2﹣8x+4化成顶点式，得y=2（x ﹣2）2﹣4，∵L 3与y 轴交于点C ，∴C （0，4），对称轴为直线x=2，顶点坐标（2，﹣4）．∴点C 关于对称轴x=2的对称点D （4，4），设L 4：y=a （x ﹣h ）2+k ，将顶点D （4，4）代入得，y=a （x ﹣4）2+4，再将点（2，﹣4）代入得，﹣4=4a+4，解得：a=﹣2，所以L 3的伴随抛物线L 4的解析式为：y=﹣2（x ﹣4）2+4；（3）a 1=﹣a 2，理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，∴可以列出两个方程
，①+②得：（a 1+a 2）（m ﹣h ）2=0，∵伴随抛物线的顶点不重合，∴a 1=﹣a 2
【考点】1.二次函数综合题；2.阅读理解题.。