高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第一章 集合与常用逻辑用语 课时跟踪训练3 Word版含解析

课时跟踪训练(三)
[基础巩固]
一、选择题
1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1>0
C ．∃x ∈R ，lg x <1
D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2
[解析] 对于D 选项，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x ＋π4≤ 2，故D 错，易得A 、B 、C 正确．
[答案] D
2．命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为( ) A ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≤3 B ．∀x ∈N ，x 2＋2x ≤3
C ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0<3
D ．∀x ∈N ，x 2＋2x <3
[解析] 命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为“∀x ∈N ，x 2＋
2x <3”．故选D.
[答案] D
3．(2017·云南玉溪一中第四次月考)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A ．p 真q 假
B ．p 假q 真
C ．p ∨q 为假
D ．p ∧q 为真
[解析] 在△ABC 中，若C >B ，根据大角对大边，可得c >b ，再
由正弦定理边角互化，可得sin C >sin B ，反之也成立．所以在△ABC 中，C >B 是sin C >sin B 的充要条件，故命题p 是假命题．由a >b ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不一定成立，但若ac 2>bc 2成立，则a >b 成立，所以a >b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件，故命题q 是假命题．所以p ∨q 为假．故选C.
[答案] C
4．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( )
A ．(－4,0)
B ．(－4,0]
C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)
D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)
[解析] 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．
[答案] B
5．(2018·河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4
x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4
x 的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(綈q )，綈p ∨(綈q )是真命题，故选C.
[答案] C
6．(2017·安徽蚌埠质检)给出以下命题：①∀a ∈R ，函数y ＝x 3
＋ax 2＋1不是偶函数；②∃a ∈R ，函数y ＝ax 2－x ＋1是奇函数；③∀m >0，函数g (x )＝mx |x |在R 上单调递增；④∃m >0，函数g (x )＝mx 2
＋2x －1在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞上单调递减．其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④
D ．②④
[解析] 显然，命题①为真，命题②为假．对于命题③，由于y
＝mx |x |＝⎩⎨⎧
mx 2，x ≥0，
－mx 2
，x <0，
所以当m >0时，y ＝mx |x |在R 上单调递增，
命题为真；对于命题④，若y ＝mx 2
＋2x －1在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞上单调递减，必有⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，
－1m ≤1
2，
解得m ≤－2，故命题为假．综上可得，正确命题
为①③.
[答案] A
7．(2017·福建福州外国语学校期中)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )
C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)
[解析] ∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题．故选C.
[答案] C 二、填空题
8．(2017·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为____________________．
[解析] 写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量
词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x
2
－ax ＋1≥0.
[答案] ∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0
9．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0
＋1
2≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2
＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－1
2，不满足题意；当a ≠0时，
要使不等式恒成立，则有⎩⎨
⎧
a >0，
Δ<0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，1－4×12×a <0，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a >0，a >12，
所以a >1
2，即实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 10．(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2
＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．
[解析] 当命题p 为真命题时，m ＋1≤0，解得m ≤－1.当命题q 为真命题时，Δ＝m 2－4×1×1<0，解得－2<m <2.当命题p ∧q 为真命
题时，则有⎩⎨
⎧
m ≤－1，
－2<m <2
⇒－2<m ≤－1.所以命题p ∧q 为假命题时，
m 的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．
[答案] (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
[能力提升]
11．(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1<f (x 0)≤2”的否定形式是( )
A ．∀x ∈R,1<f (x )≤2
B ．∃x ∈R,1<f (x )≤2
C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2
D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2
[解析] 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．故选D.
[答案] D
12．(2017·安徽安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1
x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是() A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
[解析]对于命题p，当x0＝4时，x0＋1
x0＝17
4>3，故命题p为真
命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.
[答案] A
13．(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论：
①若x>0，则x>sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．
其中正确结论的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y ＝x－sin x在R上递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；对于③，命题
p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.
[答案] C
14．(2017·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，52，使函数
g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．
[解析] 因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2
＋2x －2)有意义等价于∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使
tx 2
＋2x －2>0成立，即∃x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立．令h (x )＝2x 2－2x ，
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，则∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2
x 成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，所以当1x ＝1
2，即x ＝2时，h (x )min ＝－12，所以t >－1
2.
[答案]
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞ 15．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．
[解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.
因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.
因此，命题q 为真时，m ≤1.
∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧
1≤m ≤2，m >1
得1<m ≤2；
当p 假q 真时，由⎩⎨
⎧
m <1或m >2，
m ≤1，
得m <1.
综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．
[延伸拓展]
(2017·皖南名校4月联考)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，3]
B ．(－∞，－2]∪[2,3)
C ．(2,3]
D ．[3，＋∞)
[解析] 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，
则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题
意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨
⎧
a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p
假q 真时，⎩⎨
⎧
a <3，
a ≥2或a ≤－2，
则a ≤－2或2≤a <3.综上所述，a ∈(－
∞，－2]∪[2,3)．故选B.
[答案] B。