囊谦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

囊谦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2 2．
与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A
． B
． C
．
D
．
3． 如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB 的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C 到AB 的距离是（ ）
A ．
2m B ．
2m C ．4 m D ．6 m
4． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则
216
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3 C
．2 D ．
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【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．
5． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两
个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2
﹣3x+4
与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）
A
．（﹣，﹣2]
B ．[﹣1，0]
C ．（﹣∞，﹣2]
D
．（﹣，+∞）
6． 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
7．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2015）=（）
A．2 B．﹣2 C．﹣D．
8．如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D﹣ABC中最长棱的长度为（）
A．B．2 C．D．3
9．函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（）
A．向左平移个单位得到B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到D．向左右平移个单位得到
10．函数y=的图象大致为（）
A．B．C．D．
11．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．3 D．4
12．函数y=x+xlnx的单调递增区间是（）
A．（0，e﹣2）B．（e﹣2，+∞）C．（﹣∞，e﹣2）D．（e﹣2，+∞）
二、填空题
13．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ．
14．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．
15．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．
16．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，俯视如图是一个圆，那么该几何体的体积是 ．
17．不等式的解为 ．
18．i 是虚数单位，化简：
= ．
三、解答题
19．求下列各式的值（不使用计算器）：
（1）
；
（2）lg2+lg5﹣log 21+log 39．
20．对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
21．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
22．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
23．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}．
（1）若p=，求A∩B；
（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．
24．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
囊谦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
2．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
3．【答案】A
【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），
将点（4，﹣4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x2=﹣4y，
设C（x，y）（y＞﹣6），则
由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，
∴tan∠BCA===，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥
∴t=2时，位置C对隧道底AB的张角最大，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan∠BCA，正确运用基本不等式是关键．
4．【答案】A
【解析】
5．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，
故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，
故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：分层抽样的抽取比例为=，
总体个数为3500+1500=5000，
∴样本容量n=5000×=100．
故选：A．
7．【答案】B
【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，
所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；
又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
即f（2015）=﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．
8．【答案】B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，
即AD•≥1，
因为2=AD+≥2=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+）]，
∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位得到y=sin（2x+），
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
10．【答案】D
【解析】解：令y=f（x）=，
∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函数y=为奇函数，
∴其图象关于原点对称，可排除A；
又当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x→+∞，y→0，故可排除C；
而D均满足以上分析．
故选D．
11．【答案】D
【解析】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，
∴a4•a5=2×5=10，
∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4
=4lg（a4•a5）=4lg10=4
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．
12．【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2
， ∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2
，+∞）
故选B ．
二、填空题
13．【答案】3 【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把y
x
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. 14．【答案】3
π 【解析】
3，故倾斜角为3
π. 考点：直线方程与倾斜角．
15．【答案】 3 ．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
16．【答案】
．
【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的正三角形，其底面半径为1，且其高为正三角形的高
由于此三角形的高为，故圆锥的高为
此圆锥的体积为=
故答案为
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．
17．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
18．【答案】﹣1+2i．
【解析】解：=
故答案为：﹣1+2i．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）
=4+1﹣﹣
=1；
（2）lg2+lg5﹣log21+log39
=1﹣0+2
=3．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
∵x2﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵，
∴当a=3时，n﹣m取最大值
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
22．【答案】
【解析】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R）．
由z+2i=x+（y+2）i为实数，得y+2=0，即y=﹣2．
由z﹣4=（x﹣4）+yi为纯虚数，得x=4．
∴z=4﹣2i．
（2）∵（z+mi）2=（﹣m2+4m+12）+8（m﹣2）i，
根据条件，可知
解得﹣2＜m＜2，
∴实数m的取值范围是（﹣2，2）．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、几何意义，属于基础题．23．【答案】
【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x≤}，
∴A∩B={x|2＜x≤}；
（2）当A∩B=B时，B⊆A；
令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意；
当p≤4时，应满足，
解得p不存在；
综上，实数p的取值范围p＞4．
24．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
⇒DN∥平面PMB．
（2）⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．。