1.3.3直线方程的一般式2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

适用范围 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴、y轴的直线
不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线
@demon
三学理解
知识点 1：直线的一般式方程
共性:类似上述直线方程的四种形式都可以看成关于 x，y 的二元一次方程． 问题1:当直线 l 过点 P0 (x0，y0) 且斜率不存在，即倾斜角 α = 90°时，直线 l 的方程为 x − x0 = 0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程吗？
表示一条直线吗？
① 当B ≠ 0 时：
方程变形为
y AxC BB
，表示过点
(0，
C B
)，斜率为
A B
的直线；
② 当B = 0，A ≠ 0 时：
方程变形为 x C ，表示过点 ( C ，0)，且垂直于 x 轴的直线.
A
A
结论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0) 都表
@demon
作业布置
0号作业：背诵记忆直线方程的五种形式 1号作业：课本P16 1、2 2号作业：课本P26 A组4
1 m
(3)由(2)可知直线l的斜率为
1
m m
,
又倾斜角为 ,
4
所以由斜率与倾斜角的关系可得 m tan 1.
1 m
4
解得 m 1 .
2
@demon
检测总结
1.直线x3＋4y＝1 化成一般式方程为
A.y＝－43x＋4
√C.4x＋3y－12＝0
B.y＝－43(x－3) D.4x＋3y＝12
@demon
三学理解
复习回顾
名称
条件
点斜式 斜截式
一点P(x0,y0)和斜率k 斜率k，纵截距b
两点式 截距式
P1(x1,y1),P2(x2,y2) 横截距a和纵截距b
方程
y – y0 = k (x – x0)
y = kx +b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
可以；x − x0 = 0 可化为 x + 0·y − x0 = 0； 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示； 形式： Ax + By + C = 0 ( A、B 不同时为 0 ).
@demon
三学理解
问题2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 都
示一条直线．
@demon
三学理解
概念讲解 直线的一般式方程： 关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0)叫做直线方程的 一般式. 注意：对于直线的一般式方程，规定：① x 的系数为正；② x，y 的系数及 常数项一般不出现分数；③ 按含 x 项，含 y 项、常数项顺序排列.
2
令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2.
y
4
3B
2
1
A –3 –2 –1 O 1 x
–1
所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2,0)，B(0,3).
过点A，B作直线，即可得直线l.
画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就 可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点.
@demon
应用练习
故m的值为 1 .
2
@demon
应用练习
例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R.
(2)若直线l与y轴垂直，求m的值；(3)若直线l的倾斜角为
4
，求m的值.
解:(2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0.
所以直线l的方程可化为斜截式
y
m 1 m
x
1. m 1
由 m ，可得m=0.
2.在平面直角坐标系中，直线 x＋ 3y－3＝0 的倾斜角是
A.30°
B.60°
√C.150°
D.120°
@demon
检测总结
3.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是 ____3____. 由已知得2m2m－2－5m4＋2＝1，∴m＝3. m2－4≠0，
把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到 截距式 x y 1.
32
@demon
应用练习
例2:把直线l的方程3x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和：将原方程移项，得2y=3x+6.
方程的两边同时除以2，得到斜截式
y
3 2
x 3.
因此，直线l的斜率k= 3 ，它在y轴上的截距是3.
第一章 直线与圆 1.3.3 直线方程的一般式
励志专注
请同学们站立挺拔，右手紧握拳头，声音洪亮，目视前方，一起喊出我们的口号：
顽强拼搏，超越自我；不鸣则已，一鸣惊人！
@demon
和盘托出
1. 掌握并记忆直线方程的一般式，并会用它求直线的方程. 2. 掌握五种直线方程之间的关系，并会选择合适的形式求解直线方程.
@demon
强化记忆
1、背诵记忆直线方程的一般式方程及注意点 2、牢记直线一般方程斜率的参数式
@demon
应用练习
例1:已知直线经过点A(6，-2)，且斜率为
2 3
，求该直线方程的点斜式、
一般式和截距式.
解：经过点A(6，-2)，且斜率为 的直线方程的点斜式是
y 2 2x 6.
3
化成一般式，得2x+3y-6=0.
@demon
检测总结
4.若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足的条件是 ___a_≠__－__2___. 根据题意，由aa22＋ ＋52aa＋ ＝60＝ ，0，解得 a＝－2.要使方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y ＋1＝0 表示一条直线，则 a2＋5a＋6 和 a2＋2a 不能同时为零，所以 a≠－2.
例1:已知直线l的方程为mx+(m-1)y+1=0，m∈R. (1)若直线l在x轴上的截距为-2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为 ，求m的值.
4
解:(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(-2，0)， 所以-2m+(m-1)·0+1=0,解得 m 1 .
2