高中沪教版高一年级第二学期领航者第六章6.3函数的图像与性质(1)

沪教版高一年级第二学期领航者第六章6.3函数的图像与性
质（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、双空题
1．函数1sin 23y x =
的最小正周期为________________，值域_________________ .
二、填空题
2．函数3sin 2y x =的图像可由sin y x =的图像上所有点的横坐标_______________（选填“伸长”或“缩短”）到原来的____________________，纵坐标______________（选填“伸长”或“缩短”）到原来的__________________得到.
3．若将函数sin y x =的图像向右平移3
π个单位，所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则可得到函数______的图像．
4．若函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的振幅为3，最小正周期为
27π，初相为6π，则它的解析式是___________________.
5．函数πsin()(0,0,)2
y A ax b A a b =+>><的图像在同一周期内有一个最高点的坐标是,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，最低点的坐标是7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则这个函数的解析式是_______________________.
三、单选题
6．把2sin 2)y x x =-的图像作适当的移动得sin 2y x =的图像，则这样的移动可以是（ ）
A ．向右平移38π个单位
B ．向左平移38
π个单位 C ．向右平移34
π个单位 D ．向左平移34π个单位 7．将()sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝⎭的图像向左平移3
π个单位，再将图像上各点的横坐标压缩为
原来的12
，那么所得图像的函数表达式为（ ） A ．()sin f x x = B ．2()sin 43f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 8．已知下图是函数πsin(),0,0,2y A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>><
⎪⎝⎭
的一部分图像，此函数（ ）
A ．2sin 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ B ．2sin 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
C ．2sin 28x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ D ．2sin 28x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
四、解答题 9．函数y=()f x 的图像是函数y=(-1)+2f x 经过怎样的变换得到的？
10．求函数2cos cos 244y x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值域和最小正周期. 11．利用函数的图像，求出3sin 224x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
在[2,2]x ππ∈-内的解的个数. 12．半圆O 的直径2MN =，点A 在直径MN 的延长线上，且1NA =，B 是半圆弧上的一点，以AB 为边作等边三角形ABC ，使点C 与O 在直线AB 的两侧.设AOB α∠=.求四边形AOBC 的面积S 的最大值，并求使AOBC 面积取得最大值时α的大小.
参考答案
1．π 11,33
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】
根据三角函数最小正周期的计算公式以及值域的求法，求得函数的最小正周期和值域.
【详解】 依题意，函数的最小正周期为2ππ2T =
=.由于1sin 21x -≤≤，所以111sin 2333x -≤≤，故函数的值域为11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 故填：（1）π；（2）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查三角函数最小正周期和值域的计算，属于基础题.
2．缩短
12 伸长 3倍 【分析】
根据三角函数图像变换的知识填写出正确答案.
【详解】
由sin y x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的
12，得到sin 2y x =，纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2y x =.
故填：(1) 缩短；(2)
12；(3)伸长；(4)3倍. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换，主要是伸缩变换，属于基础题.
3．1sin 2
3y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ 【分析】
由题意结合三角函数的图象变换即可得解.
【详解】
将函数sin y x =的图象向右平移3π个单位可得到函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象， 再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数1πsin 2
3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故答案为：1sin 23y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题考查了三角函数的图象变换，解题关键是牢记三角函数图象变换的法则，属于基础题. 4．3sin 76y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ 【分析】
根据振幅求得A ，根据最小正周期求得ω，根据初相求得ϕ，由此求得函数解析式.
【详解】
由于函数振幅为3，故3A =，由函数的最小正周期得2π2π,77T ωω=
==，初相即π6ϕ=，所以函数的解析式为3sin 76y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. 故填：3sin 76y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
. 【点睛】 本小题主要考查sin()y A x ωϕ=+的振幅、最小正周期和初相等知识，属于基础题. 5．2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ 【分析】
根据函数的最高点和最低点的坐标，依次求得,,A a b 的值，由此求得函数解析式.
【详解】
根据函数最高点和最低点的纵坐标可知2A =.根据函数最高点和最低点的横坐标可知π7πππ212122
T a ==-=，故2a =，所以()2sin 2y x b =+，当π12x =时，π2sin 26y b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，πsin 16b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于π2b <，所以πππ,623b b +==.所以
2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. 故填：2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭. 【点睛】
本小题主要考查根据三角函数的最高点和最低点的坐标求三角函数的解析式，属于基础题. 6．A
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，然后根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】 依题意3πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，其向右平移38
π个单位得到3π3πsin 2sin 284y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦. 故选A .
【点睛】
本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
7．C
【分析】
先求得函数()f x 图像向左平移3
π个单位得到的函数解析式，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的
12
，求得最终变换所得函数解析式. 【详解】 依题意()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图像向左平移3π个单位得到πππsin 2sin 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将图像上各点的横坐标压缩为原来的12得到πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像变换的知识，主要是平移变换和伸缩变换，属于基础题. 8．C
【分析】
根据函数图像上最低点的纵坐标求得A ，根据函数的四分之三周期求得ω，根据函数图像上最低点的坐标求得ϕ，由此得出正确选项.
【详解】
根据函数图像上最低点的纵坐标为2-可知2A =，根据图像可知
332π11ππ4444T ω⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭，解得12ω=，所以2sin 2x y ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
.函数图像上最低点的坐标为11π,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故111π11π2sin 2sin 2248ϕϕ⎛⎫⎛⎫⨯+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于π2ϕ<，所以11π3π82ϕ+=，解得π8ϕ=.所以函数解析式为2sin 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. 故选C.
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数解析式，属于基础题.
9．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
【分析】
根据函数图像变换的知识，求得()12y f x =-+变换为()y f x =的过程.
【详解】
由()12y f x =-+函数图像向下平移2个单位得到()1y f x =-的函数图像，再向左平移1个单位，得到()()11y f x f x =+-=的图像.
【点睛】
本小题主要考查函数图像变换的知识，主要是平移变换，属于基础题.
10．值域[2,2]T π-=，
【分析】
利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由此求得函数的值域和最小正周期.
【详解】
依题意2cos cos 244y x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
π
2cos sin 2442x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos sin 244x x x ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=π
sin 222x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.由于[]πsin 21,16x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故[]π2sin 22,26y x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝
⎭，即函数的值域为[]22-,.函数的最小正周期为2ππ2T =
=. 【点睛】
本小题主要考查利用诱导公式、二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数值域和最小正周期的求法，属于基础题.
11．8个
【分析】 画出函数3sin 2,[2,2]4y x x πππ⎛
⎫=+∈- ⎪⎝⎭
的图像和2y =的图像，根据两个函数图像交点的个数，判断出方程3sin 224x π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭在[2,2]x ππ∈-内的解的个数. 【详解】 画出3sin 2,[2,2]4y x x πππ⎛
⎫=+∈- ⎪⎝⎭
与2y =的图像如下图所示，由图可知3sin 2 2 4x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭在[2,2]x ππ∈-内共有8个解.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像的画法，考查方程的解与函数图像交点个数关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12．最大值为256
πα=. 【分析】
将四边形AOBC 转化为两个三角形,AOB ABC ∆∆，利用三角形面积公式求得两个三角形的面积，由此求得四边形AOBC 面积的表达式，利用辅助角公式进行化简，根据三角函数最大值的求法，求得四边形AOBC 面积的最大值和此时α的值.
【详解】
依题意得
O A BC AOB ABC S S S =+21sin 24OA OB AB α=⋅⋅+sin 4cos )αα=+-
2sin 3πα⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.所以四边形AOBC 面积最大值为2ππ5,326
παα-==. 【点睛】
本小题主要考查四边形面积的最大值的求法，考查辅助角公式、三角形面积公式，考查三角
函数最大值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.。