《概率与统计》典型题(十四)docx

《概率与统计》典型题十四线性相关性，回归方程及应用
1.【17课标1】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16
，
18.439
≈，
16
1
()(8.5) 2.78
i
i
x x i
=
--=-
∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16
i=⋅⋅⋅．
（1）求(,)
i
x i(1,2,,16)
i=⋅⋅⋅的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25
r<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)
x s x s
-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学．科网是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在(3,3)
x s x s
-+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）
附：样本(,)
i i
x y(1,2,,)
i n
=⋅⋅⋅的相关系数
()()
n
i i
x x y y
r
--
=
∑
，
0.09
≈．
2. 【15福建】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家
7.5 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元 3. （14课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =-
ˆ
4.【15新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 ， =
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
i x i y i r u r u r 8
8
88
i w =w 8
1
i
i w
=∑11(,)u v 22(,)u v (,)n n u v v u αβ=+µ1
2
1
()()
=()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β
==---∑∑µµ=v u α
β-
5. 【16课标2】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（I ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （II ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：
，
，7≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
y t y
t 7
1
9.32i
i y
==∑7
1
40.17i i i t y ==∑0.55=()()
n
i
i
t t y y r --=
∑$$y a b =+$1
21
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--=-∑∑$，$a
y bt =-$。