2020年甘肃省庆阳市八年级(下)期中数学试卷

八年级（下）期中数学试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列二次根式中的取值范围是x≥3的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（
）
A. ∠ABD=∠BDC
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. ∠BAD=∠BCD
5.已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（ ）
A.
13 B. C. 13或 D. 不能确定
6.三角形的三边为a，b，c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A. a：b：c=8：16：17
B. a2-b2=c2
C. a2=（b+c）（b-c）
D. a：b：c=13：5：12
7.如图，已知，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将
此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE
的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D.
8.矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行
B. 对角线相等
C. 对角线互相平行
D. 对角线互相垂直
9.如图，在▱ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. AB=CD
D. ∠BAD=∠BCD
10.正方形ABCD的对角线AC的长是12cm，则边长AB的长是（ ）
A. 6
B. 2
C. 6
D. 8
11.如图，要想证明平行四边形ABCD是菱形，下列条件中不能添加的是（ ）
A. ∠ABD=∠ADB
B. AC⊥BD
C. AB=BC
D. AC=BD
12.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线a的距离分别是1，2，
则正方形ABCD的面积是（ ）
A. 8
B. 4
C. 4
D. 5
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
13.要使式子有意义，则x的取值是______．
14.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的
下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为______m．
15.若=2-x，则x的取值范围是______．
16.一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，则此三角形的面积为______．
17.直角三角形的两条直角边长分别为cm，cm，则这个直角三角形的斜边上的中
线长为______cm．
18.如果+（b-3）2=0，则的值为______．
19.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC
外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积．若
S1=81，S2=225，则S3=______．
20.菱形的周长是16cm，相邻内角度数之比是1：2，则较长的对角
线长是______cm．
21.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的
中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=______cm．
22.观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将
第n（n≥1）个等式写出来______．
三、计算题（本大题共3小题，共29.0分）
23.计算：
（1）×-（+）（）；
（2）÷-×+．
24.已知x=，y=，求下列各式的值．
①x2-y2
②x3y+y3x
25.如图，矩形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为
8cm，长BC为10cm，当沿AE折叠时，顶点D落在BC 边上的点F处，试求CE的长．
四、解答题（本大题共5小题，共55.0分）
26.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长
．
27.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线
AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF．
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
28.一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m
．求这块试验田的面积．
29.如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，
这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端
沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
30.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB
的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数为非负数．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数分别计算出x的取值范围，进而得到答案．
【解答】
解：A.3-x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B.6+2x≥0，解得x≥-3，故此选项错误；
C.2x-6≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D.x-3＞0，解得x＞3，故此选项错误；
故选：C．
2.【答案】A
【解析】解：=，因此该选项不是最简二次根式．
故选：A．
由于A选项的被开方数中含有小数，因此A选项不是最简二次根式
此题主要考查了最简二次根式的概念，是中考的常考点．简单的说：最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．
3.【答案】B
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、-=2-=，故本选项正确；
C、=，故本选项错误；
D、=-2，故本选项错误．
故选：B．
根据二次根式的加减法则对各选项进行分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，OA=OC，OB=OD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选：B．
由平行四边形的性质容易得出结论．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当12是斜边时，第三边长==；
当12是直角边时，第三边长==13；
故第三边的长为：或13．
故选：C．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
6.【答案】A
【解析】解：A、因为82+162≠172，所以不是直角三角形；
B、因为a2-b2=c2即c2+b2=a2，所以是直角三角形；
C、因为a2=（b+c）（b-c），即a2+c2=b2，所以是直角三角形；
D、因为52+122=132，所以是直角三角形．
故选：A．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
7.【答案】B
【解析】解：∵矩形ABCD折叠点B与点D重合，
∴BE=ED，
设AE=x，则ED=9-x，BE=9-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=（9-x）2，
解得x=4，
∴AE的长是4；
故选：B．
根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE 的长的方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：B．
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对边相等，对角相
等）故C、D正确．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，
∠1=∠2，故A正确，
故选：B．
根据平行四边形的对边平行和平行线的性质即可一一判断．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对边平行，属于基础题，中考常考题型．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正方形的性质，解题的关键是根据勾股定理求出AB的长度，本题属于基础题型．
根据正方形的性质即可求出其边长AB的长度．
【解答】
解：在正方形ABCD中，
AB=BC，
∴由勾股定理可知：AB2+BC2=AC2，
∴x=6，
故选：A．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定定理的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
根据菱形的判定判断即可．
【解答】
解：A.∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意；
B.∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意；
C.四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不合题意；
D.根据四边形ABCD是平行四边形和AC=BD，得出四边形ABCD是矩形，不能推出四边形是菱形，故本选项符合题意；
故选：D．
12.【答案】D
【解析】解：如图设AE⊥EF于E，CF⊥EF于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF=1，EB=CF=2，
∴AB2=AE2+EB2=12+22=，
∴正方形ABCD面积=AB2=5．
故选：D．
首先证明△ABE≌△BCF，推出AE=BF，EB=CF，再利用勾股定理求出AB2，即可解决问题．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活应用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】x≥3
【解析】解：由题意得，x-3≥0，
解得，x≥3，
故答案为：x≥3．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数、分式分母不为0是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（
x+1）m．
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴x2+52=（x+1）2，
解得x=12，
∴AB=12．
∴旗杆的高12m．
故答案是：12．
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，难度不大．
15.【答案】x≤2
【解析】解：∵=2-x，
∴x-2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
根据已知得出x-2≤0，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，=-a．
16.【答案】84cm2
【解析】解：∵72+242=252
∴该三角形是直角三角形
∴此三角形的面积为：×7×24=84（cm2），
故答案为：84cm2．
根据勾股定理的逆定理可推出这是一个直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，斜边==2（cm），
所以，这个直角三角形斜边上的中线长为=（cm）．
故答案为：．
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：∵+（b-3）2=0，
∴a-b=0且b-3=0，
则a=b=3，
∴==，
故答案为：．
根据非负数的性质求得a、b的值，再代入求解可得．
本题考查了非负数的性质：算术平方根、偶次方，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
19.【答案】144
【解析】解：根据题意得：AB2=225，AC2=81，
∵∠ACB=90°，
∴BC2=AB2-AC2=225-81=144，
则S3=BC2=144．
故答案为：144．
根据勾股定理求出BC2=AB2-AC2=144，即可得出结果．
考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出BC的平方是解决问题的关键．
20.【答案】4
【解析】解：如图所示：
∵菱形的周长为16cm，
∴菱形的边长为4cm，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
∴∠ABO=30°，AB=4cm，
∵最长边为BD，BO=AB•cos∠ABO=4×=2（cm）
∴BD=2BO=4（cm）．
故答案为：4．
根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，求出x的值，画出其图形，根据三角函数，可以得到其中较长的对角线的长．
本题考查了菱形的对角线互相垂直且平分各角以及锐角三角形等知识，正确得出BO的长是解题关键．
21.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．
先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．【解答】
解：在Rt△ABC中，AC==10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=
cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为9．
22.【答案】
【解析】解：=（1+1）=2，
=（2+1）=3，
=（3+1）=4，
…
，
故答案为：．
根据所给例子，找到规律，即可解答．
本题考查了实数平方根，解决本题的关键是找到规律．
23.【答案】解：（1）原式=-（5-3）
=3-2
=1；
（2）原式=-+2
=4-+2
=4+．
【解析】（1）根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次
根式的乘除运算，再合并即可．
24.【答案】解：①∵x=，y=，
∴x+y=2，x-y=2，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=2×2=4；
②∵x=，y=，
∴x+y=2，xy=1，
x3y+y3x=xy（x2+y2）=xy[（x+y）2-2xy]=1×[（2）2-2×1]=1×（12-2）=1×10=10．
【解析】①根据平方差公式可以解答本题；
②先分解因式，再根据x、y的值即可解答本题．
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．25.【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，
∵沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF===6，
∴CF=BC-BF=10-6=4，
设CE=x，则DE=EF=8-x，
在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，
∴42+x2=（8-x）2，解得x=3，
即CE的长为3．
【解析】先根据矩形的性质得到AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，则可利用勾股定理计算出BF，从而得到CF的长，设CE=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，从而解方程求出x即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是教授出CF和用CE表示EF．
26.【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
【解析】根据菱形的性质可以判定O为BD的中点，结合E是AB的中点可知EO是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理可知AD的长，于是可求出四边形ABCD的周长．
本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是证明EO是△ABD的中位线，此题难度不大．
27.【答案】（1）证明：如图：∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
28.【答案】解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，
又AB=4，BC=3，
∴根据勾股定理得：AC=5，
又AD=12，CD=13，
∴AD2=122=144，AD2+AC2=122+52=144+25=169
，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACAD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•AD=36．
【解析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握定理及逆定理是解本题的关键．
29.【答案】解；在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BC=0.7m，
则AC==2.4m，
∵AC=AA1+CA1
∴CA1=2m，
∵在直角△A1B1C中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1==1.5m，
∴BB1=CB1-CB=1.5-0.7=0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
【解析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC=AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB=A1B1，CA1即可
求得CB1的长度，根据BB1=CB1-CB即可求得BB1的长度．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求CB1的长度是解题的关键．
30.【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四边形AECF是矩形．
（3）解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF会是正方形，
理由：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四边形AECF是正方形．
【解析】（1）利用角平分线的性质的得出，∠1=∠2，进而得出，∠3=∠2，即可得出OE 与OF的大小关系；
（2）首先的很粗四边形AECF是平行四边形，进而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，进而得出AC⊥MN，即可得出答案．
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，正确区分它们的定义是解题关键．。