11.1.2-11.1.3 三角形的高、中线与角平分线、三角形的稳定性教案

11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性
一、教学目标
1．了解三角形的高、中线与角平分线、高的概念以及三角形稳定性的知识．
2．经历探索与三角形有关的线段的过程，感受三角形稳定性的内涵，发展学生的空间观念．
二、教学重难点
重点：理解三角形的高、中线与角平分线的概念，学会画“三线”．
难点：画钝角三角形的高．
教学过程
一、情境引入
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高．如教材图11.1－3，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC 的边BC上的高．
用同样的方法，能画出△ABC的另外两条边上的高吗？
【操作1】你能画出任意一个三角形的高吗？试一试．
学生活动：动手画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，再分别画出它们的高．
教师多媒体演示：
锐角三角形直角三角形钝角三角形
【引导1】观察锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的三条高能否交于同一点？这个交点的位置有何不同？
从图中可以看出：三角形的三条高线一定会相交于一点，但锐角三角形的三条高线的交点在锐角三角形内部，直角三角形的三条高线的交点在直角顶点处，钝角三角形的三条高线的交点在钝角三角形的外部．
我们再来看两种与三角形有关的线段．
二、互动新授
【操作2】画一个锐角三角形，取它们各边的中点，连接每一个顶点与它对边的中点，观察这三条线段是否交于同一点？
学生活动：动手画图、观察、讨论、寻求结论．
教师总结：如教材图11.1－4(1)：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．
如教材图11.1－4(2)，三角形的三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
说明：取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心．
如教材图11.1－5，画∠A的平分线AD，交∠A所对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC 的角平分线．画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
【操作3】在一张薄纸上任意画一个三角形，通过折纸的方法试一试，你能设法画出一个三角形的内角平分线吗？
学生活动：画任意三角形，对折一个内角，折痕就是所要求作的一个内角的平分线．教师提问：一个三角形角平分线有几条？这几条角平分线是否能交在同
一个点上？请你动手画一画．
学生活动：折叠三个内角，可以很容易发现，三角形的三条角平分线相
交于一点．(如右图所示)
【引导2】工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架(教材图11.1－6(1))，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(教材图11.1－6(2))．为什么要这样做呢？
【探究】如教材图11.1－7(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如教材图11.1－7(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如教材图11.1－7(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？
教师拿出教具，动手操作，学生观察．
教师总结：从以上的探究和操作中可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变．这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性．还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形．
因此屋顶钢架通常采用三角形结构，木工师傅为防止窗框变形，常常先在窗框上斜钉一根木条．三角形稳定性和四边形不稳定性都有广泛的应用．请同学们观察教材P7的例子．
三、课堂小结
四、板书设计
11．1与三角形有关的线段
11．1.2三角形的高、中线与角平分线
11．1.3三角形的稳定性
1．三角形的高
2．三角形的中线
3．三角形的角平分线
4．三角形的稳定性
五、教学反思
本节课主要通过实践操作活动来学习三角形的“三线”．在学生画三角形的高线时，要让学生明确：三角形的高有三条，三条高是交于同一点，三角形的高不一定在三角形的内部．钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，而直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点．三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点都在三角形的内部，这是学生易混淆的地方，教师在教学中，应加以说明．另外，学生还可能认为三角形的稳定性都是有益的，而四边形的不稳定性都是不利的，在这一点上，教师都要举例加以说明，让学生正确看待三角形的稳定性和四边形的不稳定性．
导学方案
一、学法点津
学生通过动手画图、折纸、观察等活动，掌握三角形“三线”的概念及画法，明确三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线都会分别相交于一点，所不同的是三角形三条高线的交点不一定在三角形的内部，而三角形三条中线的交点和三角形三条角平分线的交点一定在三角形内部．学生还可以通过实际生活的例子，了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性．二、学点归纳总结
（一）知识要点总结
1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，所得线段叫做三角形的高．
2．三角形的中线：三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
3．三角形的角平分线：平分三角形的一个内角且与它的对边相交的线段就是三角形的一条角平分线．
（二）规律方法总结
1．三角形的三条高交于一点，锐角三角形三条高的交点在三角形的内部，钝角三角形三条高的交点在三角形的外部，直角三角形三条高的交点就是直角的顶点．2．三角形的三条中线相交于一点，这个交点在三角形的内部．三角形的一条中线可以将一个三角形分成两个等底同高的三角形，故这两个三角形的面积相等．
3．三角形的三条角平分线相交于一点，这个交点在三角形内部．三角形的角平分线与角的平分线不同，三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．
课时作业设计
一、选择题
1．如右图所示，在建筑工地上我们常可看见用木条EF固定矩形门框ABCD的情
形．这种做法根据( )．
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形稳定性 D．矩形的四个角都是直角2．下列各图中，正确画出AC边上高的是( )．
A B C D
3．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )．
A ．BA ＝2BF
B ．∠ACE ＝12
∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE 二、填空题
4．如图，当________＝________时，AD 是△ABC 的中线，当∠________＝∠________时，AD 是△ABC 的角平分线．
5．如图，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，CD 是中线，CE 平分∠ACB ，则DB ＝________cm ，∠ACE ＝________度．
6．如图，AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 的面积的大小关系是________．
第3题图第4题图第5题图第6题图三、解答题
7．如右图，△ABC中，AB＝AC，AC边上的高BD＝10，求AB边上的高CE的长．
8．如右图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝13
AD ，S △ACE ＝4cm 2，求S △ABC .
【参考答案】
1．C 2．C 3．C
4．BD CD BAD CAD 5．2.5 45 6．相等
7．解：S △ABC ＝12AB ·CE ＝12
AC ·BD.因为AB ＝AC ，所以CE ＝BD ＝10. 8．解：因为在△ACE 与△ACD 中，AE 边上的高与AD 边上的高相等，又因为AE ＝13
AD ， S △ACE ＝4cm 2，所以S △ACD ＝3S △ACE ＝12cm 2，又因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12cm 2
，所以S △ABC
＝S △ABD ＋S △ACD ＝12＋12＝24(cm 2)．。