南京师范大学04-06年考研试卷(高代)

南京师范大学2004年硕士研究生招生入学初试试卷
高等代数
一、 选择题（每小题5分，共20分）
1． 设线性方程组()I 的导出组为()II ，必有( ).
（A ） 当()I 有唯一解，则()II 只有零解； （B ） ()I 有解的充要条件是()II 有解； （C ） ()I 有非零解则()II 有无穷多解；
（D ）
()II 有非零解，则()I 有无穷多解.
2． 设V 是数域P 上33⨯对称阵组成的线性空间，则dim V =( ). （A ）3， （B ）4， （C ）6， （D ）9.
3．按矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算，下列集合( )构成P 上的线性空间.（多项选
择）
（A ）P 上全体n 级反对称方阵的集合； （B ）P 上全体n 级下三角方阵的集合；
（C ）P 上全体主对角线元素为零的n 级方阵的集合； （D ）{()1,,,1,2,
,}ij n n ij ij n
M
a a a i j n ⨯==∈P =.
4．若A 是欧氏空间的一个对称变换，则下面( )成立.
（A ） 属于同一特征值的两特征向量必正交； （B ）属于不同特征值的两特征向量正交； （C ）属于同一特征值的两特征向量不正交； （D ）属于不同特征值的两特征向量不正交. 二、（10分）设12,,,t p p p t 是个不同的素数.
是无理数（1n
>）.
三、（10分）设21
2
1
111211
1
1
1
1()1
n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=
，
其中121,,,n a a a -是互不相同的数.
(1) 由行列式定义，说明()P x 是(1)n -次多项式. (2) 由行列式性质，求()P x 的根.
四、（10分）设向量组
12,,,(1)s ααα的秩为r
，在(1)中任取
m 个向量
1
2
,,,(2)m
i i i ααα，证明向量组(2)的秩r m s ≥+-.
五、（10分）设(),()ij k m ij k n A a B b ⨯⨯==，而
11
11111
1
(,)m m k km
k kn a a b b C A B a a b b ⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
，
若,A B 的秩分别为r 和s ，
试证C 的秩不大于r s +.
六、（10分）设A 为一个n 阶实对称阵，且
0A <，证明：必存在实n 维向量0X ≠，
使0X AX '<.
七、（10分）在线性空间3
P 中，
1．证明向量组1
23(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)ααα===与向量组
123(3,1,4),(5,2,1),(1,1,6)βββ===-是3P 的两个基.
3． 求3
P 中向量α在这两个基下的坐标的关系. 八、（10分）设
12(,,,)n f x x x 是一个秩为n 的二次型，
证明：有n
的一个
1
()2
n s -维子空间1V 存在（其中s 为符号差）
，使对任一121(,,,)n x x x V ∈，有12(,,,)0n f x x x =.
九、（15分）设A 是n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，AW 表示由W 中
向量的象组成的子空间. 证明： 维（AW ）＋维（1
(0)A W -⋂）＝维（W ）.
十、（15分）设()A λ是一个五阶λ
-矩阵，秩为4，初等因子为2,,λλ
23,1,1,1,(1),λλλλλ--++ 试求()A λ的标准形.
十一、（15分）证明：1）欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的.
2）利用上述结果，证明有限维欧氏空间都有标准正交基.
十二、（15分）用正交线性替换化下面二次型为标准形
22
123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--.
南京师范大学2005年硕士研究生招生入学初试试卷 高等代数
1、 (15分) 计算行列式5
3
12
12133215
31121
024
1210
--=D 2、 (15分) 已知(1))(),(x h x f 为有理系数多项式；(2) )(),(x h x f 有公共根； (3) )(x h 在
有理数域上不可约。

证明: )()(x h x f
3、（15分）已知321,,ααα可由21,ββ线性表示, 证明321,,ααα线性相关.
4、（30分）已知54321,,,,ααααα为欧氏空间V 的一组标正基，
}0{321=++++=c b a c b a W ααα，
（1）证明：W 是V 的子空间。

（2）求W 的一组基及维数。

（3）求W 的正交补。

5、（15分）计算行列式 4
4
4
4
22221111
d c b a d c b a d c b a D =
6、（30分）用正交变换将二次型替换下面二次型为标准型：
3231212
32
22232144822),,(x x x x x x x x x x x x f +---+=
7、（30分）某实验生产线每年一月份进行熟练工也非熟练工的人数统计，然后将61
熟练工支持其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老熟练工经过培训及实践至年终考核有52
成为熟练工，设第n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为n x 和
n y ，记成向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n y x ，
（1）求⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++11n n y x 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y x 的关系式并写成矩阵形式：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++n n n n y x A y x 11； （2）验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141η，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=112η是A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。

（3）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212111y x 时，求⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++11n n y x 。