陕西省西安市交通大学附属中学高三数学上学期第六次诊断考试试题 理

交大附中2015～2016学年第一学期高三第六次诊断考试数学（理科）
试题
一 、选择题：四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分） 1. 复数111-++-=
i
i
z ，在复平面内z 所对应的点在
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
2. 如图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是
（A
（B ）
（C
（D ） 83
3. 在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
（A ）0
6030或 （B ）0
6045或 （C ）0
60120或 （D ）0
15030或
4. 一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差为10°，最小角100°，则边数n 等于 （A ）8 （B ）8或9 （C ）9 （D ） 6
5. 当α变动时，满足22
sin cos 1x y αα+=的点P （x,y ）不可能．．．
表示的曲线是 （A ） 焦点在y 轴上的椭圆 （B)抛物线 （C ）焦点在x 轴上的双曲线 （D ） 圆 6. 定义行列式运算
12212
1
21b a b a b b a a -=，将函数x
x
x f cos 1sin 3)(=
的图象向左平移
)0(>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为
（A ）
6π （B ）3π （C ）65π （D ）3
2π
7、设2
(),1(1)2,2(1)4,f x ax bx f f =+≤-≤≤≤且以a 为横坐标，b 为纵坐标，用用线性规划或其他的方法可以求出(2)f -的取值范围是
俯视图
（A ）[5,8] （B) [7,10] （C ）[5,10]
8.若输入数据 1236,2, 2.4, 1.6,n a a a ==-=-=4 5.2,a =执行下面如图所示的算法程序，则输出结果为 （A ） 0.6 （B) 0.7 C 0.8 D 0.9
9.设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合 的直线，给出下列四个命题： ①若γβγα⊥⊥,，则βα//；
②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ；
④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m //. 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
10.已知函数6(3)3,7,
(),7,
x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{a n }满足*()()n a f n n N =∈，且{a n }是递
增数列，则实数a 的取值范围是
（A ） 9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
（B) （
9
4
，3） （C ）（2，3） （D ）（1，3）
11. 已知三棱锥P ABC -的各顶点在同一球面上，平面PAC ⊥平面ABC ，侧棱
PA PC ==1AB BC ==，90ABC ∠=o ,则该球的表面积为
（A ） 8
3π （B)
27 （C ） 163π （D ） 27
12. .数学家黎曼曾经定义过一个“奇怪”的函数（黎曼函数）：
1
,,0()0,q x p q p p p f x x ⎧>⎪
=⎨⎪⎩
当为有理数时（为整数且互质，）当为无理数时
例如63120
()0,(0.6)(
)(),(2)()1,(0)()1,105511
f f f f f f f f f π-=====-==== 71
( 1.75)(
),44
f f --==等。

则下列四个选项中，对黎曼函数的性质描述中，错误的是 （A ） ()f x 是偶函数，不是奇函数 （B) ()f x 在任何连续的闭区间上都不具有单调性 （C ）()f x 的值域为区间[0,1]的子集 （D ）()f x 不是周期函数 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从5件产品（其中含2件次品）中任取3件，其中含有次品的抽法有 种（填数字）
14.若等比数列}{n a 的首项为3
2
，且⎰+=4 1 4)21(dx x a ，则公比q 等于 .
15. 一个物体受到三个力的作用，三个力的大小分别为1，2，3（单位：N ），三个力两两之间的夹角均为60°，则物体所受的合力大小为 （N ） 16. 如图所示，一个圆柱形兵乓球筒，高为10厘米，底面半径为1厘米。

球桶的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切 （球筒和乒乓球厚度均忽略不计）。

一个平面与两个乒乓球均相切，则 此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆。

此椭圆的离心率为 三．解答题：17. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和2
12n S n n =-
（1）数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}
n a 的前n 项和n T 。

18. （本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． （1）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
（2）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．
19. （本小题满分12分） A 、B 两个口袋，A 袋中有6张卡片，其中1张写0，2张写1，3张写有2；B 袋中7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2，从A 袋中取1张卡片，B 袋中取2张卡片，共3张卡片， 求：（1）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（2）取出的3张卡片数字之积X 的分布列和数字期望.
20. （本小题满分12分）已知抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C
A
B
C D
E F
a )x (f ≥|a -x ||2
5
-x |f(x)+=相交于A
，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；
(2)设FA →·FB →＝8
9
，求∠DBK 的平分线与y 轴的交点坐标．
21. （本小题满分12分） 已知向量m ＝(e x
，ln x ＋k )，n ＝(1，f (x ))，m ∥n (k 为常数，
e 是
自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，F (x )＝x e x
f ′(x )． (1)求k 的值及F (x )的单调区间；
(2)已知函数g (x )＝－x 2
＋2ax (a 为正实数)，
若对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)，求实数a 的取值范围．
选做题：从下列题中选一个做，多选按22题记分，共10分。

选做题：从下列题中选一个做，多选按22题记分，共10分。

22.设函数 ,（1）求证：当a
=⑵关于x 的不等式 在R 上恒成立，求实数a 的最大值. 23.如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B,C 两点，且A C ,作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 于点D,己知圆E 的半径为2，EBC ∠ =30.
(1)求AF 的长. ⑵求证：AD=3E D.
24.已知直线l 的参数方程是)(242
2
22
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()4
π
ρθ=+
．（1）判断直线l 与曲线C
的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值．
F H
G E
M
D
C
B
A
278数学（理科）试题答案
一．选择题： BCDCB CCABC AD 二．填空题 13.9；14.3；15. 16.0.25 三．解答题
17，a n =13-2n,n ≤6,Tn=12-n 2,n>6,Tn =72-12n+n 2
18. 解（1） 证法一：取CE 的中点G ，连FG BG 、．
∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1
2
GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又1
2
AB DE =
，∴GF AB =． ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．
证法二：取DE 的中点M ，连AM FM 、． ∵F 为CD 的中点，∴//FM CE ．
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//DE AB ． 又1
2
AB DE ME =
=， ∴四边形ABEM 为平行四边形，则//AM BE ． ∵FM AM ⊄、平面BCE ，CE BE ⊂、平面BCE ， ∴//FM 平面BCE ，//AM 平面BCE ． 又FM
AM M =，∴平面//AFM 平面BCE ．
∵AF ⊂平面AFM ， ∴//AF 平面BCE ．
（2）证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥． ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CD
DE D =，故AF ⊥平面CDE ．
∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ． ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．
（3）平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ，∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角
设22AD DE AB a ===，则2sin 452
FH CF
a ==
2BF a ==，
Rt FHB ∆中，sin 4
FH FBH BF ∠=
=
∴直线BF 和平面BCF 所成角的正弦值为
4
19. （本题小满分12分）
解：（1）设事件B 表示：“取出的3张卡片数字之积是4”
211
212
22
77C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=
（3）设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ，则ξ可取0，2，4，8
2327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=； 1112
2
7C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 111
2
1222
C C C 234(4)6C 6C 63
P ξ==⋅+⋅=； 222
C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263
E ξ=⋅+⋅+⋅=
20\(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (－x 1，y 1)，l 的方程为y ＝kx －1，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
x 2
＝4y 得x 2
－4kx ＋4＝0，
x ＝2k ±2k 2－1
从而x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝4. 直线BD 的方程为y －y 1＝y 2－y 1
x 2＋x 1
(x ＋x 1)， 即y －x 21
4＝
x 2－x 14
(x ＋x 1)，
令x ＝0，得y ＝
x 1x 2
4
＝1，所以点F 在直线BD 上．
(2)解 因为FA →·FB →
＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝8－4k 2
， 故8－4k 2
＝89，解得k ＝±43
，
所以l 的方程为4x －3y －3＝0,4x ＋3y ＋3＝0. 又由(1)得x 2－x 1＝±16k 2
－16＝±437，
故直线BD 的斜率为
x 2－x 1
4
＝±
73
， 因而直线BD 的方程为7x －3y ＋3＝0，7x ＋3y －3＝0. 设∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M (0，t )，
则M (0，t )到l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|
4，
由
3|t ＋1|5＝3|t －1|4，得t ＝1
9
或t ＝9(舍去)， 所以∠DBK 的平分线与y 轴的交点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，19.
21解 (1)由已知可得：f (x )＝ln x ＋k
e x
， ∴f ′(x )＝1
x
－ln x －k
e
x
， 由已知，f ′(1)＝1－k
e
＝0，∴k ＝1，
∴F (x )＝x e x
f ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
－ln x －1＝1－x ln x －x ，
∴F ′(x )＝－ln x －2，
由F ′(x )＝－ln x －2≥0⇒0<x ≤1
e 2，
由F ′(x )＝－ln x －2≤0⇒x ≥1
e
2.
∴F (x )的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e 2，减区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1e 2，＋∞. (2)∵对于任意x 2∈[0,1]，总存在x 1∈(0，＋∞)，使得g (x 2)<F (x 1)， ∴g (x )max <F (x )max .
由(1)知，当x ＝1e 2时，F (x )取得最大值F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1＋1e 2. 对于g (x )＝－x 2
＋2ax ，其对称轴为x ＝a ， 当0<a ≤1时，g (x )max ＝g (a )＝a 2
， ∴a 2
<1＋1e 2，从而0<a ≤1.
当a >1时，g (x )max ＝g (1)＝2a －1， ∴2a －1<1＋1e 2，从而1<a <1＋1
2e 2.
综上可知：0<a <1＋1
2e 2.
22解析 (1) 延长BE 交圆E 于点M ，连结CM ，则90BCM ∠=，
又24BM BE ==，30EBC ∠=︒，所以BC =
又13AB AC =
，可知1
2
AB BC ==
所以根据切割线定理2
9AF AB AC =⋅==，即3AF =. (5分) (2) 过E 作EH BC ⊥于H ，则EDH ∆与ADF ∆相似，
从而有
1
3
ED EH AD AF ==，因此3AD ED =. (10分)
【解析】（1）直线l 方程：y x =+
4cos()4
π
ρθθθ=+=-，
∴2
cos sin ρθθ=-，
∴圆C
的直角坐标方程为220x y +-+=
，即22
((4x y -++=
∴圆心到直线l 的距离为62d =>，故直线与圆相离． （5分） （2）解法一：直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为
== ∴直线l 上的点向圆C
（10分） 解法二：直线l
的参数方程化为普通方程为0x y -+=，
则圆心C 到直线l
6=，
∴直线l 上的点向圆C
=. （10分）
24解 (1) 证明：由51()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧
-+ <-⎪⎪
⎪
= -≤≤⎨⎪
⎪
- >⎪⎩
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立. (5分)
(2) 由绝对值的性质得555
()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-+-≥---=-，
所以()f x 最小值为5||2a -，从而5||2
a a -≥，解得54a ≤，因此a 的最大值为5
4.。