《线性代数(理)》课程综合复习资料(适用于2019年4月份考试)[090103线性代数(理)-18.doc]

《线性代数（理）》综合复习资料
一、填空题
1、已知行列式1
112
223334a b c a b c a b c =，则11
11
22223333
222a b c b a b c b a b c b ++=+ （ ）。

2、2阶方阵1123A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的逆矩阵为1
A -=（ ）。

3、设1231000,2,0003ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭，则111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
用
123,,ααα线性表示的表达式为α=（ ）。

4、行列式
001
020300004
D =
= （ ）。

5、设
1
, 22
A B ==，T B 表示B 的转置，则1T B A -=（ ）。

6、已知1
200
3220
A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
，齐次方程组0Ax =有非零解，则t =（ ）。

7、若1
112
223331a b c a b c a b c =，则111
1
2
2223333
424242a b c c a b c c a b c c --=-（ ）。

8、行列式100010
001x x x a b c d
---的第4行第3列元素c 的代数余子式43A =（ ）。

9、若12, ξξ是线性方程组Ax b =的两个解，则12()A ξξ+=（ ）。

10、设1112
22333a b c a b c a a b c =，则11
1
222333
222222222a b c a b c a b c = （ ）。

11、设1
11
2
2233
3
a b c a b c a a b c =，则
1
112
22333
0021
11
a a
b
c a b c a b c =（ ）。

12、齐次方程组123101001100000x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭的通解（即所有解）可表示为（ ）。

二、选择题
1、假设,A B 皆为n 阶可逆方阵，则下列式子不成立的是（ ）。

A ．1
11()AB B A ---=
B ．1
11()AB A B ---=
C ．
AB A B =
D ．
0AB ≠
2、设4阶方阵A 的秩为3，则下列说法正确的是（ ）。

A ．A 的所有3阶子式都为零
B ．A 的所有3阶子式都不为零
C ．
0A ≠
D ．
0A =，但至少有一个3阶子式不为零
3、设方阵A 与B 相似，则下列说法不正确的是（ ）。

A ．
A B =
B ．A 与B 有相同的特征值
C ．存在可逆矩阵P ，使得T
A P BP =，T P 表示转置
D ．存在可逆矩阵P ，使得1A P BP -=
4、设A 为n 阶可逆方阵，则A 的秩r 必定满足（ ）。

A ．r
n =
B ． 1r n =-
C ．r n <
D ． 1r n <-
5、设,A B 为n 阶方阵，则下列等式成立的是（ ）。

A ．AB BA =
B ．
A B A B +=+ C ．若AB O =则A O =或B O =
D ．若
AB =则
0A =或
B =
6、设3维向量组123,,ααα线性相关，则下列说法不正确的是（ ）。

A ．其中的任意两个向量都线性相关
B ．对于任意一个3维向量β，向量组123,,,βααα必线性相关
C ．
123,,ααα中必有一个向量可以用其余两个线性表示
D ．存在不全为零的
123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=
7、矩阵111122223333⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为（ ）。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8、若A 为n 阶方阵，且
0A =，则下列说法正确的是（ ）。

A ．A 必有一列（或一行）元素全为零
B ．A 必有两列（或两行）元素对应成比例
C ．A 的任一列向量都可由其余列向量线性表示
D ．A 中必有一个列向量可由其余列向量线性表示
9、设A 为m n ⨯阶矩阵，则线性方程组Ax b =有解的充分必要条件为（ ）。

A ．()R A m =
B ．()R A n =
C ．(,)R A b m =
D ．(,)()R A b R A =
这里(), (,)R A R A b 分别表示矩阵A ，增广矩阵(,)A b 的秩
10、设A 是n 阶可逆矩阵，A *
是伴随矩阵，则下列等式成立的是（ ）。

A ．A A *
= B ．1n A A -*= C ．
n
A A
*
=
D ．
1
A
A
-*
=
11、设A 是n 阶方阵，则它的n 个列向量12,,...,n ααα线性无关的充分必要条件为（ ）。

A ．列向量组中任何一个向量都不能由其余的1n -个向量线性表示 B ．
12,,...,n ααα均不为零向量
C ．列向量组中任何两个向量的对应分量不成比例
D ．
A =
三、计算题
1、计算行列式2
4114
31100240013
D -=
2、已知12410052130, 1, 136130A ξξ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1）求12, A A ξξ； （2）给出分别与12, ξξ对应的特征值12, λλ。

3、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得()A E X E +=。

4、已知向量组123410311,3,0,142140αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， （1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个最大无关组。

5、计算行列式
3330220210110
1
11
D =
6、已知1111111111111
1
1
1A ---⎛⎫
⎪
---
⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭
，求10A 。

7、已知
1
112
1334
4A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
，求1
A -。

8、已知向量组123411111,1,3,11111αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
（1）求向量组的秩；
（2）求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示。

9、计算行列式100010
001100D λλλλ
=
10、已知矩阵1211A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭与32a b B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可交换，即AB BA =，求, a b 。

11、已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2
A AX E O +-=，（1）求1A -；（2）求矩阵X 。

12、已知矩阵111112313371A --⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，（1）求A 的秩；（2）求A 的列向量组的一个最大无关组。

13、已知1001
0200
00311234
D -=-，
求其第4行元素的代数余子式之和，即求4142
4344A A A A +++。

14、已知010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求23
, 2A A A +。

15、已知012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，求1
A -。

16、已知矩阵11321326151103142A --⎛⎫
⎪--
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
， （1）求A 的秩；（2）求A 的列向量组的一个最大无关组。

《线性代数（理）》综合复习资料参考答案
一、填空题
1、答案：8
2、答案：3121-⎛⎫
⎪-⎝⎭
3、答案：1231123
ααα+
+ 4、答案：24- 5、答案：4 6、答案：83
-
7、答案：8 8、答案：2
x 9、答案：2b 10、答案：8a 11、答案：22a - 12、答案：(1,1,1)T
k -
二、选择题
三、计算题
1、解：24112411
43110531
00240024
00130013D ----==
531
2024013
---= 20=- 2、解：（1）11026A ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
2210A ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）1
112, 2A ξξλ=-∴=-
222, 1A ξξλ=∴=
3、解：1X
A E -=-
111100(,)121010113001A E ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
511001*********
1001022⎛⎫-- ⎪
⎪→- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
所以1
311221
001102
2X A E -⎛⎫-- ⎪
⎪
=-=- ⎪ ⎪-- ⎪
⎝⎭
4、解：1031103113010330421400224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
103101100002⎛⎫
⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭
所以，（1）向量组的秩为3
（2）124,,ααα（或134,,ααα）为其一个最大无关组 5、解：对行列式进行初等变换，然后展开化为3阶行列式
33301011
22020220
10110303
01110111
D -==-
- 220303111
-=-- 6、解：2111111114000111111110400111111110040111111110004A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪
==
⎪⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4E =
所以，10
2510()2A
A E ==
7、解：111100111100(,)213010011210344001011301A E ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
10040111101022251100122
2⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪→ ⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭
所以1
80211112511A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
-⎝⎭
8、解：111111111131022211110002⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
所以，向量组的秩为3
124,,ααα为其一个最大无关组
继续初等行变换得111110201131011011110001⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
， 由此，3
122ααα=-
9、解：利用性质进行行变换后再展开，化为3阶行列式
2
10001
0010010
001001
10010
0D λλλλλλλλ
-==
2
101001
λλλ-=-41λ=-
10、解：6432a b AB
a b ++⎛⎫= ⎪--⎝⎭
254a b a b BA +-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
比较，得35, 24a b -=-=，所以8, 6a b ==
11、解：（1）111100(,)011010001001A E -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 100112010011001001--⎛⎫
⎪→ ⎪
⎪-⎝⎭
所以，1
112011001A ---⎛⎫
⎪= ⎪
⎪-⎝⎭ （2）1
021000000X A A ---⎛⎫ ⎪=-= ⎪
⎪⎝⎭
12、解：111111111231032233710644A ----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111103220000--⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭
所以，A 的秩为2
A 的任意两列都是列向量组的一个最大无关组
13、解：41424344A A A A +++1
0010
20000311111
-=
-2101
2031111
-=
-按第行展开
14= 14、解：2
010010101101101020010010101A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
30101010201010202022010101020A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以3
2A
A O +=
15、解：
012100114010 (,)114010012100 210001210001 A E
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=→
⎪ ⎪
⎪ ⎪--
⎝⎭⎝⎭
100211
010421
31
0011
22
⎛⎫
⎪
-
⎪
→-
⎪
⎪
--
⎪
⎝⎭
所以，1211 421 31
1
22
A-
⎛⎫ ⎪
-
⎪
=-
⎪ ⎪
--
⎪⎝⎭
16、解：
11321132
13260214
1511006412
31420458 A
----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪=→
⎪ ⎪
--
⎪ ⎪
-
⎝⎭⎝⎭1132
0214
0010
0000
--
⎛⎫
⎪
---
⎪
→
⎪
⎪
⎝⎭
所以，（1）A的秩为3；
（2）第1,2,3列（或第1,3,4列）为列向量组的一个最大无关组。