2020秋高三期中考试数学(文)模拟试题+参考答案+评分标准 (3)

2020秋高三年级第一学期期中模拟测试
数学(文)试题
第I 卷 选择题(共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1.已知复数)3(3
i i z -=，则=z A. 1+3i B. 1-3i
C.-1 + 3i
D.-1-3i
2.已知集合 A= {-2，-1,0,1，},B={04|2
≤-x x }，则=B A I A. {-1，0，1，2}
B. { 0,1,2}
C. { -1,0,1}
D. {-2，-1，0，1，2}
3.产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3 件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为 A.
53 B. 103 C. 52 D. 32
4.已知向量b a ,满足2||,1==⋅b b a ，则=⋅-b b a )23(
A.5
B.-5
C.6
D.6
5.函数1||+=x y 的图象与圆4)1(2
2
=-+y x 所围成图形较小部分的面积是 A.
4π B. 2π
C. 34π
D.
π
6.已知方程
12
262
2=+++m y m x 表示焦点在x 轴的双曲线，则m 的取值范围是 A. -2<m<-1 B.-3<m< -2 C. 1<m<2 D. 2<m<3
7.已知n m l ,,是三条不重合的直线,其中命题“若l //m 且l 丄n 则m 丄n”是真命题.若把
n m l ,,中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个
数是
A.0
B.1
C.2
D.3
8. 如图所示的程序框图，若输入x 的数值是19，则输出的y 值为
A.-124
B.124
C.26
D.0 9.已知1ln )(+=x x f 0<a<b,若
))()((2
1
),2(
),(b f a f n b a f m ab f l +=+==，则关于n m l ,,的关系式中，正确的是
A. m = n<l
B. m = n ＞l
C. l = n<m
D. l = n ＞m
10.已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列说法正确的个数是
(1) 如 a ，b ，c 成等差数列，则c b a 1
,1,1能构成等差数列 (2) 如 a ，b ，c 成等差数列，则c b a 1
,1,1不可能构成等比数列
(3) 如果a ，b ，c 成等比数列，则c b a 1
,1,1能构成等比数列
(4) 如a ，b ，c 成等比数列，则c
b a 1
,1,1不可能构成等差数列
A. 1个
B. 2个
C.3个
D.4个
11. 在△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“cos C = 2sinAsinB”的 A.必要不充分
B.充要
C.充分不必要
D.既不充分也不必要
12. 已知函数⎩
⎨⎧-≤-=4＞,)4(4
,4)(2x x x x x f ，且函数)(x g 满足5)4()(=-+x f x g ，则函数
)()(x g x f y -=的零点个数为
A.0
B.4
C.3
D.2
第Ⅱ卷 选择题(共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.某金属零件的三视图，如图所示（单位：m)，则该零件的体积为
14.已知实数m 是区间[0,4]上的随机数，则方程03332
=-++m x x 有异号两根的概率为
15.已知函数1cos sin 2
1
sin 21)(2++=x x x x f ，则)(x f 的最小正周期是 ，最小值是 .
16.某制药厂生产A ，B 两种药品均需用甲，乙两种原料.已知生产1吨每种药品所需原料及每天 原料的可用限额，如下表所示.如果生产1吨A ，B 产品可获利润分别为4万元，5万元，则该制药厂每天可获最大利润为
万元.
A
$ 原料限制 甲（吨） 4 3 15 乙（吨） 2
3
10
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17 — 21 题为必做题，每个试题考生必须作答，第22,23题为选做题，考生根据要求作答.) (一）必做题：共60分
17.(本小题满分12分)某电信运营公司为响应国家5G 网络建设政策，拟实行5G 网络流量阶梯定价.每人月用流量中不超过k GB(一种流量计算单位）的部分按2元/GB 收费；超出k GB 的部分按4元/GB 收费.从用户群中随机调查了 10 000位用户，获得了他们某月的流量使用 数据.整理得到如下的频率分布直方图：
(I)若k 为整数，
依据本次调查，为使80;以上用户
在该月的流量价格为2元/GB ，k 至少定为多少？
(n)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当k=3时，试估计用户该月的人均流量费。

18.(本小题满分12分）
已知等差数列{n a }和正项等比数列{n b }满足18423211,10,2a b b a a b a ==+==. (I)求数列{n a }{n b }的通项公式.
(II)设数列{n c }中n n n b a c +=，求和：12531...-++++n c c c c . 19.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC —A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，CC1的中点.
(I)证明：平面AMN)平面B1BCC1 ；
(II)若直线A1C 与平面A1ABB1所成的角为30°， 试求三棱锥 M —ANC 的体积.
20.(本小题满分12分)设椭圆与两坐标轴的交点分别为A(a ，0)，B (0，) (a>b>0)，点O 为坐标原点，点M 满足BM 2=，OM 所在直线的斜率为10
5. (I)试求椭圆的离心率e ；
(II)设点C 的坐标为（0，-b ），N 为线段AC 的中点，证明MN⊥AB. 21.(本小题满分12分）
已知函数x a x x f ln )()(+=，曲线)(x f y =在点(1，)1(f )处的切线与直线02=+y x 垂直. (I)求a 的值.
(II)令x e x x g 2
)(=，是否存在自然数n ,使得方程)()(x g x f =在)1,(+n n
内存在唯一的根？
如果存在，求出n ，如果不存在，请说明理由.
(二）选做题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4 —4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (23216⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+=为参数），以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为θρsin 34=. (I)写出⊙C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线(上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 23.(本小题满分10分)选修4 — 5 :不等式选讲
已知关于x 的不等式b a x ＜+的解集为{6＜x＜4|x }. (1)求实数b a ,的值；
(2)求bt at ++10的最大值.
高三文数参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.答案：C ，注意是求z 的共轭复数.
2.答案：D ，集合{}|22B x x =-≤≤，故{}2,1,0,1,2A B --=I
3.答案：B ，列举后容易知道，基本事件总数有10种，恰有2件检测过该成分含量的事件共有3种，所以所求概率为
310
4.答案：B ，2
(32)32385-=-=-=g
g a b b a b b 5.答案：D ，如下图，所围成的图形的面积21
24
S ππ=
⨯⨯=，
6.答案：B ，易知620
20m m +>⎧⎨+<⎩
即32m -<<-
7.答案：C ，①l 不变，有l ∥α且l ⊥β
α⊥β；②m 不变，有m ∥α且α⊥βm
⊥β；③n 不变，有α∥β且n ⊥αn ⊥β；分析知①，③正确.
8.答案：A ，3
(5)1124y =-+=-
9.答案：C ，由对数运算的性质知11
()1ln ln 122
l f ab ab a b ===
++，1111
(()())(ln 1ln 1)ln ln 12222
n f a f b a b a b =+=+++=++，
所以l =n ，又()f x 为增函数，0a b <<时，2
a b
ab +>m >l ,所以有l n m =<
10答案：C ，（1）错，（2）（3）（4）对
11.答案：A ，假设C 为钝角，则cos 0C <，2sin sin 0A B >，显然充分性不成立，又由cos 2sin sin C A B =可知cos()2sin sin A B A B -+=，即cos()0A B -=，此时有2
A B π
-=±
，即A 为钝角或B 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形，必要性成立
12.答案：D ，由()5(4)g x f x =--知()()()(4)5y f x g x f x f x =-=+--，令
()()(4)F x f x f x =+-，则(4)(4)()F x f x f x -=-+所以有(4)()F x F x -=，
即()F x 的图像关于直线2x =对称.当02x ≤≤时，
()()(4)44(4)4F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，
222
115
()()(4)4(44)4()24F x f x f x x x x x x =+-=++--=++=++。

作出
()F x 的图像可知，当()5F x =时，有两个零点.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.答案：
64
3π 14答案：1
4
5.
答案:π52
- 解析：由题意有: 2111cos 2sin 2()sin sin cos 11
2244
1525(sin 2cos 2)sin(2)44444
x x f x x x x x x x π-=++=++=-+=-+
故最小正周期为π,最小值为
52
4
-. 16. 答案：
553
解析：设每天生产A 药品x 吨，B 药品y 吨，利润45z x y =+，则有0043152310
x y x y x y >⎧⎪>⎪
⎨
+≤⎪⎪+≤⎩
作出可行域知，z 在点55(,)23处取得最大值
553
. 三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明。

证明过程或者演算步骤。

第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17.解：（I ）由直方图可知，用户所用流量在区间
[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次是
0.1,0.15,0.2,0.25,0.15，········································································································3分
所以该月所用流量不超过3GB 的用户占85%，所用流量不超过2GB 的用户占45%，故k 至少定为3；
·····································································································································6分
（II ）由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为：
2×1×0.1+2×1.5×0.15+2×2×0.2+2×2.5×0.25+3×2×0.15+(3×2+0.5×4)×0.05+(3×2+1×4)×0.05+(3×2+1.5×4)×0.05=5.1
元······················································································12分
18.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为23+=10a a ，所以12310a d += 又12a =，所以d =2，即
2(1)22n a n n =+-⨯=，·························
······· ··································3分
设正项等比数列{}n b 的公比为q ，因为241836b b a ==即24
136b q ⋅=，由12b =，
0q >知q =
12n n b -=⋅·····························
····················································································6分 （II ）
122n n n n c a b n -=+=+⋅·······················
·······························································8分 设2113521n n S c c c c --=++++L ，则
1
323
1)31(22)]12(22[)3232322()]12(21062[]32)12(2[)3210()326()22(2121212-+=--+
-+=⨯++
⨯+⨯++-++++=⨯+-++⨯++⨯+++=---n n n n n n n n n n s ΛΛΛ
····································································································································12分
8.
解：（I ）证明:如图,由直三棱柱111ABC A B C -知
1AM BB ⊥，······························
················2分
又
M 为BC 的中点知AM ⊥BC,又
1BB BC B ⋂=,所以
11B BCC AM ⊥面····························
···········4分 又AM 平面AMN ,所以平面AMN ⊥平面B 1BCC 1·······································································6分 (II)如图：设AB 的中点为D ,连接A 1D,CD .因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB .由直三棱柱111ABC A B C -知CD ⊥AA 1.所以CD ⊥平面A 1ABB 1,所以∠CA 1D 为直线A 1C 与平面
A 1AB
B 1所成的角.即∠CA 1D =30°,···8分
所以A 1C =2CD =2×
42
=所以A 1D =6,在Rt △AA 1D 中，
AA 1
NC =
111
=22
AA ⨯······································································10分 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积,所以
V =21
11S =4)33423
AMC NC ⋅⨯
⨯⨯⨯V ···················································
················12分
20.解：（I ）由
()()()
,0,0,0A a B b a b >>，2BM MA =u u u u r u u u r
，知
21
(,)33
M a b ,······························
····2分
由
k OM =
10
知
2b a =······································································································4分
所
以
a =,
2c b
==,所以
e =
c a =.·································································6分 (II)证明:由
N 是AC 的中点知,点
N (,)22
a b -,所以
5(,)66
a b
NM =u u u u r ，····························
···················8分 又
=(,)
AB a b -u u u r
，所以
2222151(5-666
AB NM a b b a =-+=u u u r u u u u r g ）·····················································10分
由（I ）知a =，即22
5-=0b a ，所以AB NM u u u r u u u u r
g =0， 即MN ⊥
AB . ····················································································································12分
21.解:(I)易知切线的斜率为2,即(1)2f '=,又()ln 1a f x x x '=++,所以a =1; ················· ·············4分
(II)设2
()()g()(1)ln x x h x f x x x x e
=-=+-, 当(0,1]x ∈时,()0h x <.又2244(2)3ln 2ln80h e e
=-
=->所以存在0(1,2)x ∈,使得0()0h x =.······················································································································6分 又
1(2)()ln 1x
x x h x x x e -'=+++··························································································8分 所以当(1,2)x ∈时,
21(1)11()ln 110x x x h x x x e e e
-'=+++->->, 当∈x [2,∞+)时,()0h x '>即(1,)x ∈+∞时,()h x 为增函数,所以1n =时,方程()()f x g x =在(,1)n n +内存在唯一的
根. ···············································································································12分
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解: （I ）
由ρθ=
知2sin ρθ=
所以22x y +=所以⊙C 的直
角坐标方程
为220x y +-=··········································································································5分
(II)由(I)知⊙C
的标准方程为22(12x y +-=,
即圆心(0,C ,设P 点坐标
为1(6)2t +
，则||PC ==，所以当t =0时，|PC |有最小值，此时P 点坐标为(6,0).·····························································································································10分
23.解：（I ）由||x a b +<知b a x b a --<<-，所以46b a b a --=⎧⎨-=⎩
即51
a b =-⎧⎨=⎩；······························5分 （II ）依题意知
:
==≤==····························································8分
=即13t =时等号成立，
所以所求式子的最大值为
··························································································10分。