专题十四 导数及其应用 选择100题 含解析

专题十四导数及其应用选择100题
满分：100
学校 __________ 班级 __________ 学生 __________
一、选择题( 本大题共100小题每题1 分)
1、函数y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为( )
A. (1,1)
B. (－1,－
1) C. (1,1) 或 (－1,－
1) D. (1,－1)
参考答案：C
解析：解析：设点P的坐标为(x0,y0),
,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3x02,由题意得3x02=3,∴x0=±1.∴点P的坐标为(1,1)或(－1,－1).
答案：C
2、在曲线y=x2上的点__________处切线的倾斜角为.( )
A. (0,0)
B.
(2,4) C. (,
) D. (,)
参考答案：D
解析：解析：切线的倾斜角为,∴切线的斜率为1.
.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x,令2x=1得.代入y=x2得点(,).
答案：D
3、已知曲线在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l 的方程为( )
A. 4x－y＋9=0或4x－y＋25=0
B. 4x－y＋9=0
C. 4x＋y＋9=0或4x＋y－25=0
D. 以上都不正确
参考答案：C
解析：解析：,
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于－4,
∴f′(1)=－4.
故曲线在x=1处的切线方程为y－4=－4(x－1),即4x＋y－8=0.设所求直线方程为4x＋y＋c=0,
则,∴c=9或c=－25.
从而所求方程为4x＋y＋9=0或4x＋y－25=0.
答案：C
4、设a＞0,f (x)=ax2＋bx＋c,曲线y=f (x)在点P(x0,f (x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0, ］,则P到曲线y=f (x)对称轴距离的取值范围为( )
A.［0,］
B.［0,］
C.［0,
］ D.［0,］
参考答案：B
解析：解析：∵切线倾斜角的取值范围是［0,］,
∴其斜率的取值范围是［0,1］.
Δy=a(x0＋Δx)2＋b(x0＋Δx)＋c－ax02－bx0－c=2ax0Δx＋a(Δx)2＋bΔx=
(2ax0＋b)Δx＋a(Δx)2,
= 2ax0＋b＋aΔx,
∴,即2ax0＋b∈［0,1］.
∴.
答案：B
5、设f (x)在x0处可导,则等于( )
A.－f′(x0)
B. f′(－
x
) C.
f′(x
) D. 2f′(x0)
参考答案：A
解析：解析：利用导数的定义,注意Δx可正、可负.
∴
=－f′(x0).
6、下列式子成立的是( )
A.［f (x)＋g(x)］′=f′(x)＋g′(x)
B.［f (x)－g(x)］′=f′(x)－g′(x)
C.［C f (x)］′=C f′(x) (C为常数)
D. (x n)′=n x n－1(n∈N*)
参考答案：D
解析：解析：因为没有明确f′(x)和g′(x)的存在性,所以A、B、C项不成立.
答案：D
7、函数y=x2(x－1)2在区间(0,1)内( )
A.单调递增
B.单调递减
C.有增有减
D.不增不减
参考答案：C
解析：解析：y=x4－2x3＋x2,
y′=4x3－6x2＋2x
= 2x(x－1) (2x－1).
∴当0＜x＜时,y′＞0,函数y在(0,)上递增；当＜x＜1时,y′＜0,函数y在(,1)上递减.
∴函数y在区间(0,1)内有增有减.
8、已知函数f (x)是(－∞,0)∪(0,＋∞)上的偶函数,且在(－∞,0)上其导函
数f′(x)＞0恒成立.则满足f (x) ≤ f (2)的实数x的取值范围是( ) A. x ≤ 2 B. x ≥－2 C. –2 ≤ x ≤ 2 D. x ≤－2或x ≥ 2
参考答案：D
解析：解析：∵f (x)是(－∞,0)∪(0,＋∞)上的偶函数,在(－∞,0)上f′(x)＞0即f (x)在(－∞,0)上是增函数.
∴f (x)在(0,＋∞)上是减函数.
∴当x＞0时,f (x) ≤ f (2)x ≥ 2；
当x＜0时,f (x) ≤ f (2)f (x) ≤ f (－2).
∴x ≤－2.故x ≤－2或x ≥ 2.
答案：D
9、函数y=2－x2－x3的极值情况是( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
参考答案：D
解析：
D
10、已知函数y=ax3－15x2＋36x－24在x=3处有极值,则函数的递减区间为( )
A. (－∞,1),(5,＋∞)
B. (1,5)
C. (2,3)
D. (－∞,2),(3,＋∞)
参考答案：C
解析：解析：由题意f′(3)=0,解得a=2.
∴y=2x3－15x2＋36x－24,
y′=6x2－30x＋36=6(x－2) (x－3).
故递减区间为(2,3).
答案：C
11、函数f (x)=x3－3x＋1在闭区间［－3,0］上的最大值,最小值分别是( )
A. 1,－1
B. 1,－
17 C. 3,－
17 D. 9,－19
参考答案：C
解析：解析：令f′(x)=3x2－3=0,得x=±1,f (－1)=3；f (1)=－1；f (－
3)=－17；f (0)=1,
所以最大值为3,最小值为－17.
答案：C
12、已知曲线y =x2上一点M处的切线与直线y=3－x垂直,则切线方程只能是( )
A. 5x＋5y－4=0
B. 5x－5y－4=0
C. 5x－5y＋4=0
D. 4x－4y－5=0
参考答案：D
解析：解析：设M (x0,y0),y′ =x,
由题意,切线斜率为1,所以x0=1.
所以x0 =,y0 =.
所求切线方程为y－= x－,
即4x－4y－5=0.
答案：D
13、函数y=x5在x=a处与x=b处( a ≠ b )的导数相等,则( )
A. a ＞b
B. a ＜
b C. a=－b D.以上都不对
参考答案：C
解析：解析：y′=5x4,由f ′(a)=f ′(b)得5a4=5b4.
∴a=± b.
又a ≠ b,∴a=－b.
答案：C
14、对于R上可导的任意函数f (x),若满足(x－1) f ′(x) ≥ 0,则必有( )
A. f (0)＋f (2)＜2f (1)
B. f (0)＋f (2) ≤ 2f (1)
C. f (0)＋f (2) ≥ 2f (1)
D. f (0)＋f (2)＞2f (1)
参考答案：C
解析：解析：若函数为常数函数,则A、D不对.
若f (x)不为常数函数,由(x－1) f ′(x) ≥ 0,得或,则x＞1时,f (x)单调递增,x＜1时,f (x)单调递减.
∴x=1时,f (1)为极小值点.
∴f (0) ≥ f (1),f (2) ≥ f (1).
两式相加,得f (0)＋f (2) ≥ 2f (1).
答案：C
15、函数y = x|x(x－3)|＋1的极值情况是( )
A.极大值为f (2) = 5,极小值为f (0) = 1
B.极大值为f (2) = 5,极小值为f (3) = 1
C.极大值为f (2) = 5,极小值为f (0) = f (3) = 1
D.极大值为f (2) = 5,极小值为f (3) = 1,f (－1) =－3
参考答案：B
解析：解析：y=
=
图象为
由图知f (2)与f (3)是极值,
且极大值f (2) = 5,极小值f (3) = 1.
答案：B
16、已知函数y=f (x) (x∈R)上任一点(x0,f (x0))处的切线斜率k=(x0－2)(x0＋1)2,则该函数的单调递减区间为( )
A.［－1,＋∞)
B. (－∞,2］
C. (－∞,－1),(1,2)
D.［2,＋∞)
参考答案：B
解析：解析：令k=(x0－2) (x0＋1)2 ＜ 0,得x0 ＜ 2.
又f (x)在x=2有定义且f ′(2)=0,
∴递减区间为(－∞,2］.
答案：B
17、已知函数在点x=1处连续,则a等于( )
A.1
B.4
C.13
D.
参考答案：B
解析：解析:
f(1)=12+1+3=5,
函数在x=1处连续,则有
∴a+1=5,a=4.
答案:B
18、若在(-∞,+∞)上处处连续，则常数a等于( )
A.0
B.1
C.2
D.-2
参考答案：C
解析：解析:
∵f(x)在x=0处连续,
∴a=2.
答案:C
19、已知函数则下列结论正确的是( )
A.f(x)在点x=1处不连续，在点x=2处连续
B.f(x)在点x=1和x=2处都不连续
C.f(x)在点x=1处连续，在点x=2处不连续
D.f(x)在点x=1和x=2处都连续
参考答案：D
解析：解析:
答案:D
20、设函数在区间［0，+∞)上连续，则实数a的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.0 参考答案：B
解析：解析:
又f(x)在［0，+∞)上连续，
答案:B
21、如图显示物体甲、乙在时间0到t
1
范围内路程的变化情况,下列说法正确的是( )
A.在0到t
范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t
范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t
0到t
1
范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t
0到t
1
范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
参考答案：C
解析：解析:从t
0到t
1
时,甲的平均速度为
故选C.
答案:C
22、曲线y=x3上一点(2,8)处的切线方程是( )
A.y=6x-12
B.y=12x-16
C.y=8x-
10 D.y=12x-32
参考答案：B
解析：解析:
∴y′|
=2=12,即曲线在点(2,8)处的切线斜率k=12.
x
∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16.
答案:B
23、设f(x)在点x处可导,a,b为非零常数,则等于( )
A.f′(x)
B.(a+b)f′(x)
C.(a-
b)f′(x) D.
参考答案：B
解析：解析:
=af′(x)+bf′(x)
=(a+b)f′(x).故选B.
答案:B
24、设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( )
A.1
B.
C.
D.-1
参考答案：A
解析：解析:∵y′=2ax,∴y′|
=2a,即y=ax2在点(1,a)处的切线斜率为2a.直
x=1
线2x-y-6=0的斜率为2.
∵这两直线平行,∴它们的斜率相等,即2a=2,解得a=1.故选A.
答案:A
25、函数y=cosx的图象在处的切线斜率为( )
A.1
B.-1
C.0
D.参考答案：B
解析：解析:故选B.
答案:B
26、若,则2x与3sinx的大小关系为( )
A.2x＞3sinx
B.2x＜3sinx
C.2x=3sinx
D.与x的取值有关 参考答案：D
解析：解法一:观察函数y
1=2x,y
2
=3sinx在内的图象可知2x与3sinx的
大小关系与x的取值有关.
解法二:令y=3sinx,则y′=3cosx.
∴0＜y′＜3,
即曲线y=3sinx上切线斜率范围为(0,3).
而直线y=2x斜率为2,故选D.
答案:D
27、已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：A
解析：解析:
答案:A
28、曲线在点()处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. B. C.
D.
参考答案：A
解析：解析:∵y′=x2+1,∴y′|
=2.
x=1
切线方程为.
由x=0得纵截距为,
由y=0得横截距为,
∴所求面积为.故选A.
答案:A
29、若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是( )
参考答案：A
解析：解析:∵f(x)的图象顶点在第四象限,
∴.∴b＜0.
又f′(x)=2x+b,
∴f′(x)的图象与y轴负半轴相交,结合斜率k=2,得图象A为所求.
答案:A
30、曲线y=x(x-1)(x-2)…(x-50)在原点处的切线方程为( )
A.y=1 275x
B.y=502x
C.y=100x
D.y=50!x
参考答案：D
解析：解析:y′=(x-1)(x-2)…(x-50)
+x(x-2)…(x-50)
+x(x-1)…(x-50)
+…
+x(x-1)(x-2)…(x-49),
=(-1)·(-2)…(-50)=50!.
∴y′｜
x=0
∴切线方程为y=50!x.
答案:D
31、的导数是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案：C
解析：解析:
答案:C
32、函数y=(3x-4)2的导数是( )
A.4(3x-2)
B.6x
C.6x(3x-
4) D.6(3x-4)
参考答案：D
解析：解析:令y=u2,u=3x-4,则y′=2u·(3x-4)′=2(3x-4)·3=6(3x-4). 答案:D
33、y=log
3
cos2x的导数是( )
A.-2log
3e·tanx B.2log
3
e·cotx C.-
2log
3
cosx D.
参考答案：A
解析：解析:
log
3
e·2cosx·(cosx)′
log
3
e·2cosx(-sinx)
=-2log
3
e·tanx.故选A.
答案:A
34、曲线在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B.4e2 C.2e2 D.e2
参考答案：D
解析：解析:
∴切线的斜率
∴切线方程为
∴横、纵截距分别为-e2、2.∴S=e2.故选D.
答案:D
35、函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则( )
A.0＜b＜1
B.b＜1
C.b＞
0 D.
参考答案：A
解析：解析:由f′(x)=3x2-3b=0〔因f(x)有极小值,故f′(x)=0有解〕,得
且当
又∵f(x)在(0,1)内有极小值,
答案:A
36、设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是( )
A.(a,b)
B.(a,c)
C.(b,c)
D.(a+b,c)
参考答案：A
解析：解析:f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知1、-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根, b=0,故选A.
答案:A
37、已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在［-2,2］上有最大值3,那么此函数在［-2,2］上的最小值为( )
A.-37
B.-29
C.-5
D.-11
参考答案：A
解析：解析:f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),令f′(x)=0得x=0或2.
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
由上表可知,f(0)=m是最大值.
∴m=3.
∵f(-2)=-37,f(2)=-5,
∴最小值为-37.
答案:A
38、已知函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f′(x)＞0,那么f(x)在［a,b］上( )
A.有最大值f(b),最小值f(a)
B.有最小值f(b),最大值f(a)
C.不一定有最小值,但有最大值f(b)
D.不一定有最小值,也不一定有最大值
参考答案：A
解析：解析:函数在［a,b］上连续且单调时,其最值在端点处取得.
由f′(x)＞0,得f(x)在(a,b)内单调递增,于是f(x)
max =f(b),f(x)
min
=f(a).
答案:A
39、给出下面四个命题,其中正确的命题有( )
①函数y=x2-5x+4(-1≤x≤1)的最大值为10,最小值为
②函数y=2x2-4x+1(2＜x＜4)的最大值为17,最小值为1
③函数y=x3-12x(-3＜x＜3)的最大值为16,最小值为-16
④函数y=x3-12x(-2＜x＜2)无最大值,也无最小值
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
参考答案：B
解析：解析:①∵y′=2x-5,当-1≤x≤1时,y′＜0,函数单调递减,
∴y
max =10,y
min
=0.
②由y′=4x-4=0,得x=1.当2＜x＜4时,f′(x)＞0,函数单调递增,
∴函数既无最大值,也无最小值.
③y′=3x2-12=3(x-2)(x+2)=0,x=±2.
当-3＜x＜-2或2＜x＜3时,y′＞0,函数单调递增；
当-2＜x＜2时,y′＜0,函数单调递减.
∴函数在x=-2时取得最大值f(-2)=16, 函数在x=2时取得最小值f(2)=-16.
④由y′=3x2-12=0,得x=±2.当-2＜x＜2时,有y′＜0,函数单调递减,
∴函数既无最大值,也无最小值.③④正确.
答案:B
40、曲线y=e x在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A. B.2e2 C.e2 D.
参考答案：D
=e2=k.
解析：解析：y′=e x,y′|
x=2
∴切线为y-e2=e2(x-2).
∴y=e2x-e2,y= e2x- e2的图象与坐标轴围成的图形如图所示.
∵OA=1,OB=e2,
∴S
△AOB
答案：D
41、下图是y=f(x)的导数的图象，则正确的判断是( )
①f(x)在（-3，1）上是增函数
②x=-1是f(x)的极小值点
③f(x)在（2，4）上是减函数，在（-1,2)上是增函数
④x=2是f(x)的极小值点
A.①②③
B.②③
C.③④
D.①③④
参考答案：B
解析：解析：∵x=-1时，f′(x)=0;x＜-1时,f′(x)＜0;-1＜x＜2时,f′(x)＞0,
∴x=-1是f(x)的极小值点.故②正确.
又∵当2＜x＜4时，f′(x)＜0，故③正确.
答案：B
42、f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如下图所示，则f(x)的图象只可能是下面四个选项中的（）
参考答案：D
解析：解析：由f′(a)=0,f′(b)=0,知只能选D.
答案：D
43、函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如下图所示,则函数
f(x)( )
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
参考答案：C
解析：解析:设f′(x)与x轴的4个交点,
从左至右依次为x
1、x
2
、x
3
、x
4
,
当x＜x
1
时,f′(x)＞0,f(x)为增函数,
当x
1＜x＜x
2
时,f′(x)＜0,f(x)为减函数,
则x=x
1
为极大值点,
同理,x=x
3
为极大值点,
x=x
2,x=x
4
为极小值点,故选C.
答案:C
44、过曲线y=x3+x-2上的点P
0的切线平行于直线y=4x-1,则切点P
的坐标为
（）
A.(0,-1)或(1,0)
B.(1,0)或(-1,-4)
C.(-1,-4)或(0,-
2) D.(1,0)或(2,8)
参考答案：B
解析：解析：设P
0（x
,y
）,由y′=3x2+1得y′|
x=x0
=3x
2+1,由题意得3x
2+1=4，
∴x
02=1，即x
=±1.
当x
0=1时，y
=0；当x
=-1时，y
=-4,
故P
坐标为（1，0）或(-1,-4).故选B.
答案：B
45、已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数在R上有极值,则a与b的夹角范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：C
解析：解析:∵f′(x)=x2+|a|x+a·b,
∴f′(x)=0的Δ=|a|2-4a·b＞0,cos〈a,b〉又
y=cosθ在(0,π)上是递减的,∴〈a,b〉
故选C.
答案:C
46、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈［-2,2］表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为f(x)= x3-4, x∈［-2,2］;②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x) 的最大值与最小值之和等于0,其中正确的结论有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
参考答案：C
解析：解析：∵f(0)=0,∴c=0.∵f′(x)=3x2+2ax+b,
∴a=0,b=-4.∴f(x)=x3-4x.
∴f′(x)=3x2-4.
令f′(x)=0得
∴极值点有两个.∵f(x)为奇函数,
∴f(x)
max +f(x)
min
=0.
答案:C
47、设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( )
A.2
B.
C.
D.-2
参考答案：D
解析：解析:在点(3,2)处的切线的斜率为
∴-a=2,a=-2.故选D.
答案:D
48、若对可导函数f(x)、g(x),当x∈［0,1］时恒有f′(x)g(x)＜f(x)g′(x),
若已知α、β是一锐角三角形的两个内角,且α≠β,记
则下列不等式正确的是( )
A.F(cosα)＞F(cosβ)
B.F(sinα)＞F(sinβ)
C.F(sinα)＜F(cosβ)
D.F(cosα)＜F(sinβ)
参考答案：C
解析：解析:据条件可知,当x∈［0,1］时,
即函数F(x)在［0,1］上为减函数,由于且α、β为一锐角
三角形的两内角,则必有由于y=sinx在上为增函数,故
从而F(sinα)＜F(cosβ).
答案:C
49、函数y＝(2+x3)2的导数为（）
A．6x5+12x2B．4+2x3
C．2(2+x3)2D．2(2+x2)·3x
参考答案：A
解析：解析：y＝(2+x3)2＝4+4x3+x6，y′＝12x2+6x5.
答案：A
50、函数f(x)＝ln x－ax(a＞0)是增函数的区间为（）
A．B． C．(0，+∞) D．(0，a)
参考答案：A
解析：解析：令，∵a＞0，
∴(ax－1)x＜0.∴.
答案：A
51、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是（）
参考答案：A
解析：解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的，故选A.
答案：A
52、若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为（）
A．2 B．4
C．18 D．20
参考答案：D
解析：解析：令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1，又x∈[0,3]，∴x ＝1.
则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.
又f(0)＝－a，f（1）＝－2－a，f（3）＝18－a.
∴M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20.
答案：D
53、用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去
一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒
容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（）
A．6 cm B．8
cm C．10
cm D．12 cm
参考答案：B
解析：解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3.由题意，
得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，
V′＝12(x－24)(x－8)，令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)．当x∈(0,8)时，V′＞0；当x∈(8,24)时，V′＜0.
∴当x＝8时，V取得最大值．
答案：B
54、下列函数中，在(0，+∞)内为增函数的是…（）
A．y＝sin2x B．y＝x e x
C．y＝x3－x D．y＝－x+ln x
参考答案：B
解析：解析：由y＝x e x得y′＝e x+x e x＝e x(1+x)＞0.
答案：B
55、若在(－1，+∞)上是减函数，则b的取值范围是（）
A．[－1，+∞)
B．(－1，+∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1)
参考答案：C
解析：解析：∵，
由已知f(x)在(－1，+∞)上是减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，+∞)恒成立．
∴在(－1，+∞)上恒成立．
∴b≤[x(x+2)]min．
∴b≤－1．
答案：C
56、设a∈R，若函数y＝e ax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＞－3 B．a＜－3
C．D．
参考答案：B
解析：解析：令y′＝a e ax+3＝0，∴．
设x＝x0为大于0的极值点，∴．
∴a＜0，ax0＜0．
∴0＜e ax0＜1，即．∴a＜－3．
答案：B
57、设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分的符号（）A．一定是正的
B．一定是负的
C．当0＜a＜b时是正的，当a＜b＜0时是负的
D．以上结论都不对
参考答案：A
解析：A
58、下列求导运算正确的是（）
A．B．
e D．(x2cos x)′＝－2x sin x
C．(3x)′＝3x·log
3
参考答案：B
解析：解析：，所以A不正确；
(3x)′＝3x ln3，所以C不正确；
(x2cos x)′＝2x cos x+x2·(－sin x)，
所以D不正确；
，所以B对．
答案：B
59、的值是（）
A．0 B．C．2 D．4
参考答案：C
解析：解析：因为(－cos x+sin x)′＝sin x+cos x，
所以．
答案：C
60、若，则y′等于（）
A．B． C．D．
参考答案：B
解析：B
61、曲线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为…（）
A．5x－y+4＝0
B．x－y－4＝0
C．x－y+4＝0或x－y－4＝0
D．5x－y+4＝0或5x－y－4＝0
参考答案：D
解析：解析：∵，∴x0＝±1.∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y+4＝0或5x－y－4＝0. 答案：D
62、质点沿直线运动的路程和时间的关系是，则质点在t＝4时的速度为（）
A．B． C．D．
参考答案：B
解析：解析：∵.
答案：B
63、曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）
A．1 B．2 C ．3 D．4
参考答案：C
解析：解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.
答案：C
64、设f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0等于（）
A．e2B．e C．
D．ln2
参考答案：B
解析：解析：∵f(x)＝x ln x，
∴.
又∵f′(x0)＝2，∴1+ln x0＝2.
∴ln x0＝1.∴x0＝e.
答案：B
65、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是（）
参考答案：A
解析：解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的，故选A.
答案：A
66、函数f(x)＝x3－3x(－1＜x＜1)（）
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
参考答案：D
解析：解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x+1)(x－1)．
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(－1,1)上单调递减．
∴函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．
答案：D
67、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)（）
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有一个极大值点，两个极小值点
参考答案：C
解析：解析：导函数f′(x)的图象共有四个变号零点，故函数f(x)有四个极值点．其中从左侧起第一个和第三个变号零点两侧都是由正到负，则在这两点处函数f(x)取得极大值；第二个和第四个变号零点两侧都是由负到正，则在这两点处函数f(x)取得极小值．
答案：C
68、函数f(x)＝x3+ax2+3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a的值为（）
A．2 B．3 C．4
D．5
参考答案：D
解析：解析：f′(x)＝3x2+2ax+3，f′(－3)＝0得a＝5，验证知，a＝5符合题意．
答案：D
69、在函数y＝x3－8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）
A．3 B．2 C．1
D．0
参考答案：A
解析：解析：y′＝3x2－8，令y′＜1，则x2＜3，.又x∈Z，故x ＝－1、0、1，选A.
答案：A
70、在曲线y＝x2+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δx,2+Δy)，则为（）
A．
B．
C．Δx+2
D．
参考答案：C
解析：解析：即为(1,2)与(1+Δx,2+Δy)两点连线的斜
率．．
答案：C
71、设f(x)＝ax+4，若f′（1）＝2，则a等于（）
A．2 B．－
2 C．
3 D．不确定
参考答案：A
解析：解析：∵，
又f′（1）＝2，所以a＝2．
答案：A
72、已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2+8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程是（）
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x+3
参考答案：A
解析：解析：由题知2f(2－x)－f(x)＝x2－8x+8，
令2－x代替x得2f(x)－f(2－x)＝(2－x)2－8(2－x)+8，
由以上两式可得f(x)＝x2，则f′（1）＝2．
又f（1）＝1，故所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1．故选A．
答案：A
73、下列运算中正确的是（）
A．(ax2+bx+c)′＝a(x2)′+b(x)′
B．(cos x－2x2)＝(cos x)′－2′(x2)′
C．
D．
参考答案：A
解析：解析：由导数四则运算法则可知，A正确．
答案：A
74、下列四组函数中导数相等的是（）
A．f(x)＝2与g(x)＝2x
B．f(x)＝－sin x与g(x)＝cos x
C．f(x)＝2－cos x与g(x)＝－sin x
D．f(x)＝1－2x2与g(x)＝－2x2+4
参考答案：D
解析：解析：D中，f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，g′(x)＝(－2x2+4)′＝－4x．答案：D
75、设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于
（）
A．1 B． C．
D．－1
参考答案：A
解析：解析：令y＝f(x)，
∵y′＝f′(x)＝2ax，
∴f′（1）＝2a，
即y＝ax2在点(1，a)处的切线斜率为2a．
又直线2x－y－6＝0的斜率为2，
∴2a＝2．∴a＝1．
答案：A
76、设a∈R，若函数y＝e ax+3x，x∈R有大于零的极值点，则（）
A．a＞－3 B．a＜－3
C．D．
参考答案：B
解析：解析：令y′＝a e ax+3＝0，∴．
设x＝x0为大于0的极值点，∴．
∴a＜0，ax0＜0．
∴0＜e ax0＜1，即．∴a＜－3．
答案：B
77、设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）
A．B．C．D．
参考答案：C
解析：解析：设底面边长为x，
则表面积(x＞0)，，
令S′＝0，得唯一极值点．
答案：C
78、下列定积分值等于1的积分是（）
A．B．
C．D．
参考答案：C
解析：解析：∵x′＝1，
∴．
答案：C
79、已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t从1到2时，物体下落的距离为（）
A． B．g C．D．2g
参考答案：C
解析：解析：物体下落的距离，
则有．
答案：C
80、函数在点处的切线方程是（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：B
解析：解析：因为，
所以所求切线的斜率为．所以切线方程为，
即．
答案：B
81、的值是（）
A．0 B．C．2 D．4
参考答案：C
解析：解析：因为(－cos x+sin x)′＝sin x+cos x，
所以．
答案：C
82、设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )
A.成正比，比例系数为
c B.成正比，比例系数为2c
C.成反比，比例系数为
c D.成反比，比例系数为2c
参考答案：D
解析：D
解析:,V′=4πR2(t)·R′(t)=c,
S=4πR2(t),S′=8πR(t)·R′(t)=,故选D.
83、已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为（）
A.1
B.2
C.-
1 D.-2
参考答案：B
解析：B
解析：设切点为(x
0,y
),则y
=x
+1,y
=ln(x
+a),
即x
0+1=ln(x
+a).
∵.
∴,即x
+a=1.
+1=ln1=0.
∴x
=-1.∴a=2.
∴x
84、曲线在点（1,1)处的切线方程为( )
A.x-y-2=0
B.x+y-
2=0 C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0
参考答案：B
解析：B
解析:∵,
∴y′|
=-1.
x=1
∴切线的斜率k=-1.
∴切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.故选B.
85、等于( )
A.π
B.2
C.π-
2 D.π+2
参考答案：D
解析：D
解析:.
86、若函数y=的导函数在区间［a,b］上是增函数，则函数y=在区间［a,b］上的图象可能是( )
参考答案：A
解析：A
解析：∵y=的导函数在区间［a,b］上是增函数,则函数图象上的点的切线斜率是递增的,故选A.
87、已知函数,其中g(x)是定义域为R的函数,则函数f(x)在下面哪个区间内必有零点
A.(3,5)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(9,10)
参考答案：B
解析：B
解析：∵∴f(0)f(1)＜0,∴f(x)在区间(0,1)内有零点.
88、已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x),则当a＞0时,f(a)和e a f(0)的大小关系为
A.f(a)<E a f(0)
B.f(a)＞e a f(0)
C.f(a)=e a f(0)
D.f(a)≤e a f(0)
参考答案：B
解析：B
解析：本题考查导数的应用.令g(x)=e-x f(x),则g′(x)=e-x［f′(x)－f(x)］＞0,所以g(0)＜g(a),即有e-a f(a)＞f(0),∴f(a)＞f(0)e a,故选B.
89、设函数f(x)=x sin x在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
a
,a2,…,a n,…,则对任意正整数n必有
1
A. B.
C. D.
参考答案：C
解析：C
解析：本题考查的是函数导数的运用，是一道创新题.令
,g(x)=－x,h(x)=tan x的图象如图,可知其
交点就是相应的极值点,从图象可知任意两点之间的距离的取值范围是,
故选C.
90、对于R上可导的任意函数f(x),若满足（x－1）f ′(x)≥0，则必有
A.f(0)+f(2)＜
2f(1) B.f(0)+f(2)＞2f(1)
C.f(0)+f(2)≤2f(1)
D.f(
0)+f(2)≥2f(1)
参考答案：D
解析：D
解析：本题考查导数的应用及单调性问题.由（x－1）·f′(x)≥0可得：当x －1＜0即x＜1时，f′(x)≤0，函数单调递减或为常数函数；当x－1＞0,即x ＞1时,f′(x)≥0,函数单调递增或为常数函数.所以
f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),f(0)+f(2)≥2f(1).
91、若函数f(x)=－x e x,则下列命题正确的是
A.,x∈R,f(x)＞a
B.,x∈R,f(x)＞a
C.,,f(x)＞a
D.,,f(x)＞a
参考答案：A
解析：A
解析：本题考查利用导数求函数最值及存在性命题与全称命题的理解与判断.由f′(x)=－e x(x+1),可知函数在(－∞,－1)递增,在(－1,+∞)递减,故
,故,x∈R,f(x)＞a.
92、已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,,则
的值为
A.－
1 B.0
C.1
D.2
参考答案：A
解析：A
解析：本题是一道导数问题．因为f(x)为R上的奇函数，∵ f(－1)＝1，
∴f(1)＝－1，
f(0)＝0，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以．可以大致画出此函数图象，如图所示，
从中可以看出f(1)＝－1，f(2)＝0，f(3)＝1，f(4)＝0，f(5)＝－1，f(6)＝0，f(7)＝1，f(8)＝0，…则f(1)＋f(2)＋ f(3)＋f(4)＝0，f(5)＋f(6)＋f(7)＋
f(8)＝0，…，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2009)＝f(2009)＝
f(1)＝－1，故选A．
对于抽象函数问题，一定要围绕奇偶性、单调性、周期性等性质入手，再结合
图象处理．
93、已知函数 ( )
A.4
B.3
C.2
D
参考答案：D
解析：D
解析：分段函数的定积分可转化为各段积分的和求解．据题意有
．
94、已知奇函数y=f (x)在区间(上的解析式为f (x)=x2+x，则切点横坐
标为1的切线方程是( )
A.x+y+1=0
B.x+y－1=0
C.3x－y－
1=0 D.3x－y+1=0
参考答案：B
解析：B
解析：本题可利用函数为奇函数确定其解析式．再利用导数的几何意义求
解．由已知易得：，此时，故，因此切点为(1，0)，故切线方程为y＝－(x－1)x＋y－1＝0．
95、函数y=f(x)在定义域(,3)内可导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x) ≤0的解集为( )
A.[,1]∪[2,3]
B.[－1,]∪[]
C.[,
]∪[1,2]
D.(,－1)∪[,]∪[,3]
参考答案：A
解析：A
解析：由图象可知当x∈[，1]及x∈[2，3)时函数f(x)单调递减，即得f’(x)≤ 0的解集为[，1] ∪ [2，3]，故选A．
96、已知函数的两个极值分别为、，若、分别在区间与内，则的取值范围是
A. B.
C.
D.
参考答案：C
解析：C 因为f’(x)=x2+ax+2b,
由题意可知，画出a,b满足的可行域如图中阴影部分（不包括边界）所示，表示可行域内的点与点D（1，2）的连线的斜率，
记为k，观察图形可知，k
CD <K<K
BD
,而k
CD
= = , k
BD
= ，其以<
97、
设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则
的值为
(A) (B)
(C) (D) 1
参考答案：B
解析：B 由y=x n+1,得y’=(n+1)x n,则在点(1,1)处切线的斜率k=y’|
x=1
=n+1,
切线方程为y－1=(n+1)(x－1),令y=0，得x
n
=
,∴log
2010x
1
+log
2010
x
2
+…+log
2010
x2
2009
=(x
1
·x
2
(x)
2009
)=log
2010
(××
×…×)=log
2010
=－1，故选B.
98、等于( )
A．1 B．e－
1 C．e D ．e＋1
参考答案：C
解析：
C
∵被积函数e x＋2x的原函数为e x＋x2，
∴＝(e1＋12)－(e0＋0)＝e.
99、函数f(x)在点x＝x0处有定义是f(x)在点x＝x0处连续的( )
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件。