x02-6函数的极值

s( t )
解
(1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
A
0.5公里
追击至射击的时间(分 ). 敌我相距函数 s( t )
B
2

4公里
s( t ) (0.5 t ) (4 2t )
2
( 2) 求s s( t )的最小值点 . 5t 7.5 . 2 2 s( t ) (0.5 t ) (4 2t )
时所产生误差平方和 ( x x1 ) 2 ( x x2 ) 2 ( x xn ) 2 最小．
f ( x) ( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn ) ( x xi )
2 2 2
n
2
f ( x) 2 ( x xi )
只要函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，它在 [a,b]上必有最大值和最小值。
y y y
o a
bx
o a
b x
o
a
b x
步骤
1.求临界点（驻点和不可导点）; 2.求区间端点及临界点的函数值,比较大小,那 个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
局部最大（小）值点（极值点）
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
o
x0
x
o
x0
x
定理(必要条件) 设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数, 且 在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ( x ) 0 的实根)叫
当h很小时f ( x0 h) f ( x0 )与f "( x0 )同号
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值. 解
f ( x ) 3 x 2 6 x 24 3( x 4)( x 2)
x2 2.
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4,
§2-6
函数的极大（小）值与最大（小）值
1.函数极大（小）值求法
定义
设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是 (a , b )内的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.
f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 证 (1) f ( x0 ) lim x 0 x
故由保号性f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
解 设房租为每月 x元，
x 180 租出去的房子有 50 套， 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10
x x 1 R( x ) 68 ( x 20) 70 5 10 10
i 1
n
f ( x) 0
i 1
得驻点
1 n x xi n i 1
f ( x) 2n 0
1 n x xi n i 1
2 ( x x ) i n
为最小．
i 1
例4 讨论方程 lnx=kx(k不等0)有几个根？(P128) 解：f(x)=lnx-kx f ’(x)=1/x –k=0 x=1/k K>0 (0,1/k) f’(x)>0 ↗ (1/k,∞) f’(x)<0 ↘ X=1/k是极大值点，f(1/k)为极大值 1)若f(1/k)=-lnk-1=0=> k=1/e只有一个根x=1/k=e 2）f(1/k)=-lnk-1<0 => k>1/e 无根。 3）f(1/k)=-lnk-1>0 => 0<k<1/e有两个根, 位于（0，1/k),(1/k,+ ∞ )；
ln x f ( x) lim x( k ) , lim f ( x) xlim x x x 0
4) k<0
f(1)=-k>0 至少有一个根位于（0，1)
f ’(x)=1/x –k>0 所以有唯一的一个根
例5罪犯乘汽车从河北岸A处以1千米/分钟速度向正北逃窜， 警车从河南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问警车 车何时射击最好（相距最近射击最好）？
o
A
y
T
B
P
C
x
解
设所求切点为P ( x0 , y0 ),
如图,
则切线 PT为 y y0 2 x0 ( x x0 ), 1 2 y0 x0 , A( x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0 x02 )
SAx0 ) 2 2
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.
350 最大收入为 R( x ) ( 350 20) 68 10 10890 (元)
例2
由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x 2 围
成一个曲边三角形，在 曲边 y x 2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
判别法2(第二充分条件) 设 f ( x ) 在x0 处具有二阶导数,
且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 '' (1)当 f ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值; '' f (2)当 ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x ) 在x0 处取得极小值.
f ( x ) 6 x 6, f ( 4) 18 0, f ( 2) 18 0,
故极大值 f ( 4) 60, 故极小值 f ( 2) 48.
f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 图形如下
3、最大（小）值的求法
16 4096 s( ) 为极大值. 3 27
16 4096 故 s( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
例3 对某个量 x 进行 n 次测量，得 n 个测量值： x1 , x2 , xn ．
x1 x 2 x n 试证：当 x 取这 n 个数的算术平均值 n
例1：求
f ( x ) ( x 5) x 2
3
在[-1,4]上的最值，
5( x 2) 33 x
解： f (x)在[-1,4]上连续， f ' ( x )
x=0处f (x)不存在，x=2为f (x)的驻点，
f (0) 0,
f ( 2) 33 4 ,
f (1) 6,
2 f ( x ) ( x 2 ) 3 3 1
2 3
( x 2)
当x 2时, f ( x )不存在. 但函数f ( x )在该点连续.
当x 2时， f ( x ) 0; 当x 2时， f ( x ) 0.
M
f ( 2) 1为f ( x )的极大值.
0
y
y
o
x0

x

x0
o
x
(是极值点情形)
y

y


o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
(2) 求临界点即（驻点和不可导点）
(3) 检查 f ( x) 在临界点左右的正负号, 判断极值点;
(4) 求极值.
例 解
求出函数 f ( x ) 1 ( x 2) 的极值.
2
( 0 x0 8 )
1 3 2 经整理得： S ( x0 32 x0 256 x0 ) 4 因此，
解得
1 2 S (3x0 64 x0 16 16) 0, 4 16 x0 , x0 16 (舍去). 3
16 s( ) 8 0. 3
x0 x0 x0
令f (x)=0, 得 x =1，f (1) (e x e x xe x ) | x 1 1 0, ∴ x=1为极大值点，极大值f(1) ∵ 在(-1，0)内， f (x)<0; 在(0, 1)内 , f (x)>0; ∴ x=0为极小值点，极小值 f (0)=0.
令s( t ) 0,
得唯一驻点
t 1.5.
故得我警从 B处发起追击后 1.5 分钟射击最好 .
例6 某人正处在森林地带中距公路2公里的A处，在公路右方8公 里处有一个车站B，假定此人在森林地带中每步行的速度为6公里 /小时，沿公路行走的速度为8公里/小时，为了近快赶到车站，他 选择A→C→B，问C应在公路右方多少？他最快能在多少时间内 到达B？ 解：设C点在公路右方x 公里处（0≤x≤8），则
f (4) 3 16 .
经比较知：f (x)的最大值为f(0)=0，最小值为f (-1)= -6。
x f ( x ) | x | e 例2 求 的极值，并求其在[-1,1]上的最值。
解
xe x f ( x) 0 x xe
x0 x 0, x0
e x xe x f ( x ) 不 可 导 x x e xe
做函数 f ( x ) 的驻点.
点, 注意: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 但函数的驻点却不一定 是极值点.
3 y x , y x 0 0, 例如,
但x 0不是极值点.
判别法1(第一充分条件)
设
x0 是可能的极值点，
(1)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) , x 处取得极大值. 有 f ' ( x ) 0 ，则 f ( x )在 (2)如果 x ( x0 , x0 ), 有 f ' ( x ) 0;而 x ( x0 , x0 ) ' f 有 ( x ) 0 ，则 f ( x )在x0 处取得极小值. ' (3)如果当 x ( x0 , x0 ) 及 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x ) 符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
又f ( 1) e, f (1) e 1与f (0) 0比 较, 得 最 大 值 f ( 1) e, 最 小 值 f (0) 0.
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻 点，则该点的函数 值即为所求的最（或最 小）值．
某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 例1 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
所以，函数 f ( x ) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
证明2
f "( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f '( x0 )h h o(h 2 ) 2 f "( x0 ) 2 f ( x0 ) h o( h 2 ) 2 f "( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) h o( h 2 ) 2 1 2o(h2 ) 2 ( f "( x0 ) )h 2 2 h