2022-2023学年山西省太原三十八中九年级(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)

2022-2023学年山西省太原三十八中九年级（上）月考数学试卷
（10月份）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.方程(x−2)(x+3)=0的解是( )
A. x=2
B. x=−3
C. x1=−2，x2=3
D. x1=2，x2=−3
2.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0
B. x2+4x−1=0
C. 2x2−4x+3=0
D. 3x2=5x−2
3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟
定的方案，其中正确的方案是( )
A. 测量其中三个角是否为直角
B. 测量两组对边是否相等
C. 测量对角线是否相互平分
D. 测量对角线是否相等
4.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=−1，则2013−a+b的
值是( )
A. 2012
B. 2014
C. 2016
D. 2018
5.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发
明”.小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张，放回摇匀，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
A. 2
3B. 1
2
C. 1
6
D. 1
8
6.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”敦厚可爱，深受大家欢迎，某生产厂家1月份平均日产量为20000个，随着冬奥会的举行，“冰墩墩”一路走红，供不应求，为满足市场需求，工厂决定扩大产能，3月份平均日产量达到33800个，设1至3月份冰墩墩日产量的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 20000(1+2x)2=33800
B. 20000(1+x)2=33800
C. 20000(1−x)2=33800
D. 20000(1+2x)=33800
7.如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，若矩形ABCD
的周长为30cm，则AB的长为( )
A. 5cm
B. 10cm
C. 15cm
D. 7.5cm
8.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，
且DE//CA，DF//BA.下列四种说法，其中正确的有个( )
①四边形AEDF是平行四边形：
②如果∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形：
③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：
④如果AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是菱形，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=√6，D是BC的中点，
E是AB上的一点，且BE=1
4
AB，则DE的长是( )
A. √3
2
B. √6
2
C. √3
4
D. √6
4
10.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上．四边形EFGB也
为正方形，设△AFC的面积为S，则( )
A. S=2
B. S=2.4
C. S=4
D. S与BE长度有关
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11.一元二次方程x2=2的解为______．
12.若把代数式x2−2x−3化为(x+m)2+k的形式，其中m，k为常数，则k=______．
13.在一个不透明的袋子里装有若干个红球和9个黄球，这些球除颜色外都相同．小明通过多
次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则估计袋子中红球的个数是______个．
14.如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正
方形和两个全等的矩形(阴影部分)，剩余部分可制成底面积是6cm2
的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为x cm，则根据题
意可列方程______．
15.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线
上，且BE=DF，连接BF交边AD于点G.过点A作AN⊥BF，垂足为点M，
交边CD于点N.若BE=5，CN=8，则线段AN的长为______．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题10.0分)
解方程：
(1)x2+2x−2=0；
(2)3x(2x+1)=2(2x+1)．
17.(本小题10.0分)
太原是国家历史文化名城，有很多旅游的好去处，周末哥哥计划带弟弟出去玩，放假前他收
集了太原动物园、晋祠公园、森林公园、汾河湿地公园四个景点的旅游宣传卡片，如图所示这些卡片的大小、形状及背面完全相同，分别用A.B.C.D表示．把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟从中随机抽取一张，作好记录后，将卡片不放回再洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到的是动物园和森林公园的概率．
18.(本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F．
(2)问题解决：连接AF，CE，判断四边形AECF的形状，并进行证明．
19.(本小题10.0分)
超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件，为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价2元平均每天可多售出3件．
(1)当一件商品降价4元时，每天销售量可达到______件，每天共盈利______元；
(2)上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到1800元？
20.(本小题12.0分)
综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与E′F的数量关系并加以证明；
解决问题：
(3)如图①，若AB=15，CF=3，则DE=______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(x−2)(x+3)=0，
x−2=0，x+3=0，
x1=2，x2=−3，
故选：D．
根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了用因式分解法解一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
利用根的判别式△=b2−4ac分别进行判定即可．
【解答】
解：A.△=4>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
B.△=16+4=20>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
C.△=16−4×2×3=−8<0，没有实数根，故此选项符合题意；
D.△=25−4×3×2=25−24=1>0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=−1，
∴a−b+5=0，
∴a−b=−5，
∴2013−a+b=2013−(a−b)=2013+5=2018．
故选：D．
根据关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=−1，可以得到a−b的值，然后将所求式子变形，再将a−b的值代入，即可解答本题．
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．
5.【答案】D
【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种可能出现的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的有2种，
所以抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是2
16=1
8
，
故选：D．
用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法、树状图法，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．6.【答案】C
【解析】解：设1至3月份冰墩墩日产量的月平均增长率为x，
依题意得：20000(1+x)2=33800，
故选：C．
根据1月份及3月份生产的冰墩墩的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD=90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA=OD，∠DAO=45°，
所以∠BOA=∠BAO=45°，即BC=2AB，由矩形ABCD的周长为30cm得到，
30=2AB+2×2AB，
解得AB=5cm.故选A．
本题运用矩形的性质通过周长的计算方法求出矩形的边长．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
8.【答案】D
【解析】解：∵DE//CA，DF//BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
又∵DE//CA，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选：D．
先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE//CA，DF//BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD 平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：过点D作DF//AC交AB于F，
则∠BDF=∠ACB=90°，
∵DF//AC，D是BC的中点，
∴BF=1
2AB=√6
2
，
∵BE=1
4
AB，
∴BE=EF，
在Rt△BDF中，E是BF的中点，
∴DE=1
2BF=√6
4
，
故选：D．
过点D作DF//AC交AB于F，根据三角形中位线定理得到BF=1
2
AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中
线等于斜边长的一半是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：连接FB
∵四边形EFGB为正方形
∴∠FBA=∠BAC=45°，
∴FB//AC
∴△ABC与△AFC是同底等高的三角形
∵2S△ABC=S
，S正ABCD=2×2=4
正ABCD
∴S=2
故选：A．
连接FB，根据已知可得到⇒△ABC与△AFC是同底等高的三角形，由已知可求得△ABC的面积为大正方形面积的一半，从而不难求得S的值．
本题利用了正方形的性质，内错角相等，两直线平行的判定方法，及同底等高的三角形的面积相等的性质求解．
11.【答案】±√2
【解析】解：∵x2=2，
∴x1=√2，x2=−√2．
故答案为：±√2．
利用直接开平方法解方程得出答案．
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
12.【答案】−4
【解析】解：x2−2x−3=(x2−2x+1)−4=(x−1)2−4，
故k=−4．
故答案为：−4．
根据完全平方公式解答即可．
本题主要考查配方法的应用，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+
b2．
13.【答案】3
【解析】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得x
x+9
=0.25，
解得x=3，
∴估计袋子中红球的个数是3个．
故答案为：3．
设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14.【答案】(3−x)(5−2x)=6
【解析】解：设剪去的正方形的边长为x cm.则列出的方程是(3−x)(5−2x)=6，
故答案为：(3−x)(5−2x)=6．
根据底面矩形的面积公式可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意得到相等关系．
15.【答案】4√34
【解析】解：如图，连接AE，AF，EN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
{AB=AD
∠ABE=∠ADF BE=DF
，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠EAF=90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∵AN⊥EF，
∴EM=FM，∠EAM=∠FAM=45°，
∴△AEM≌△AFM(SAS)，△EMN≌△FMN(SAS)，
∴EN=FN，
设DN=x，
∵BE=DF=5，CN=8，
∴CD=CN+DN=x+8，
∴EN=FN=DN+DF=x+5，CE=BC−BE=CD−BE=x+8−5=x+3，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得：
CN2+CE2=EN2，
即82+(x+3)2=(x+5)2，
解得：x=12，
∴DN=12，AD=BC=BE+CE=5+x+3=20，
∴AN=√AD2+DN2=√202+122=4√34，
故答案为：4√34．
连接AE，AF，EN，由正方形的性质可得AB=AD，BC=CD，∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，可证得△ABE≌△ADF(SAS)，可得∠BAE=∠DAF，AE=AF，从而可得∠EAF=90°，根据等腰三角形三线合一可得点M为EF中点，由AN⊥EF可证得△AEM≌△AFM(SAS)，△EMN≌△
FMN(SAS)，可得EN=FN，设DN=x，则EN=FN=x+5，CE=x+3，由勾股定理解得x=12，可得DN=12，AD=BC=20，由勾股定理即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
16.【答案】解：(1)x 2+2x −2=0，
x 2+2x =2，
x 2+2x +1=2+1，即(x +1)2=3，
∴x +1=±√3， ∴x 1=1+√3，x 2=1−√3；
(2)3x(2x +1)=2(2x +1)，
3x(2x +1)−2(2x +1)=0，
(2x +1)(3x −2)=0，
∴2x +1=0或3x −2=0，
∴x 1=−12，x 2=23
．
【解析】(1)利用配方法求解即可；
(2)因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．
17.【答案】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中两人抽到的是动物园A 和森林公园C 的有2种，
所以两人抽到的是动物园和森林公园的概率是2
12=1
6
． 【解析】用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法、树状图法，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示直线EF 即为所求；
(2)四边形AECF 是菱形；
理由：连接AF ，CE ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，AE=CE，AF=CF，在△AOE和△COF中，
{∠AEO=∠CFO ∠EAO=∠FCO AO=CO
，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】(1)利用尺规作图−线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
(2)利用矩形的性质求证∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，由线段的垂直平分线得出AO=CO，即可证明△AOE≌△COF，进而得出AE=CF．
本题考查了作图−基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
19.【答案】361656
【解析】解：(1)降价4元，销售量达到30+3×4
2
=36(件)，
当天盈利：(50−4)×36=1656(元)；
故答案为：36，1656；
(2)设每件商品降价x元，
根据题意，得(50−x)×(30+3×x
2
)=1800，
整理，得x2−30x+200=0．解得x=20或x=10，
∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达1800元．
(1)降价2元，可多售出3件，降价4元，可多售出2×3件，盈利的钱数=原来的盈利−降低的钱数；
(2)根据日盈利=每件商品盈利的钱数×(原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数)，列出方程求解即可
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
20.【答案】3√17
【解析】解：(1)结论：四边形BE′FE是正方形，
理由：如图1中，
∵△CBE′是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，
∴∠CE′B=∠AEB=90°，∠EBE′=90°，
又∵∠BEF+∠AEB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴四边形BE′FE是矩形，
由旋转可知：BE=BE′，
∴四边形BE′FE是正方形；
(2)结论：CF=E′F．
证明：如图2中，过点D作DH⊥AE于点H，
则∠AHD=90°，∠DAH+∠ADH=90°，
∵DA=DE，
∴AH=EH=1
2
AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，
在△ADH和△BAE中，
{∠AHD=∠BEA=90°∠ADH=∠BAE
AD=AB
，
∴△ADH≌△BAE(AAS)，
∴AH=BE，
由旋转可知：AE=CE′，
由(1)可知：四边形BE′FE是正方形，∴BE=E′F，
∴E′F=AH=1
2AE=1
2
CE′，
∴CF=E′F；
(3)如图1，过点D作DH⊥AE于点H．
∵△ADH≌△BAE，
∴AH=BE=E′F，
∵CF=3，
∴DH=AE=CE′=CF+E′F=3+E′F=3+BE，
在Rt△ABE中，AB=15，
根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴(3+BE)2+BE2=152，
∴BE=9或BE=−12(舍去)，
∴DH=3+BE=12，
在Rt△DEH中，
DE=√DH2+EH2=√122+32=3√17．
故答案为：3√17．
(1)根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
(2)过点D作DH⊥AE于点H，则∠AHD=90°，∠DAH+∠ADH=90°，证明△ADH≌△BAE(AAS)，由全等三角形的性质可得结论；
(3)过点D作DH⊥AE于点H.由△ADH≌△BAE，推出AH=BE=E′F，DH=AE=CE′=3+BE，利用勾股定理求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．。