高中数学精品复习：复习(三)——立体几何

专题复习(三)-—立体几何（一）知识梳理
1。

多面体的结构特征
(1）⎧⎨
⎩底面：互相平行
棱柱
侧面：都是四边形，且每相邻两个侧面的公共边都平行且相等.
(2)⎧⎨
⎩底面：是多边形
棱锥
侧面：都是有一个公共顶点的三角形.
（3）棱台:棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．
2。

旋转体的形成
3。

直观图
(1）画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°（或135°），z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
4．三视图
(1）几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求:长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
侧面
展开图
侧面积公
式S圆柱侧＝
2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π（r
＋r′)l
6。

空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋V＝S底h
7。

几个与球有关的切、接常用结论
（1）正方体的棱长为a,球的半径为R,
①正方体的外接球，则2R＝3a;
②正方体的内切球，则2R＝a;
③球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.
(3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
8．平面的基本性质
（1）公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2）公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面．
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

(4）公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．9．空间中两直线的位置关系
（1）位置关系的分类⎧⎧
⎨
⎪
⎨⎩
⎪
⎩
平行
共面直线
相交
异面直线：不同在任何一个平面内
(2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b,把a′与b′所成的锐角（或直角) 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
②范围：错误!
(3)平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
10．空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系
图形语言符号语
言
公共
点
直线与平面
相交a∩α＝A1个平行a∥α0 个在平面内a⊂α
无数
个
平面
与平
平行α∥β0个
面
相交α∩β＝l 无数个
11．直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件a∩α＝∅
a⊂α，
b⊄α，a∥b
a∥α
a∥α，
a⊂β，
α∩β＝b
结论a∥αb∥αa∩α＝
∅
a∥b
12.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件α∩β＝∅a⊂β,b⊂β，
a∩b＝P,
a∥α，b∥α
α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b
α∥β，
a⊂β
结论α∥βα∥βa∥b a∥α
13．直线与平面垂直的判定与性质
图形条件结论
判定a⊥b，b⊂α（b为α内
的任意直线)
a⊥αa⊥m，a⊥n,m、
n⊂α,m∩n＝O
a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α
性质a⊥α，b⊂αa⊥b a⊥α，b⊥αa∥b
14。

平面与平面垂直的判定与性质
文字语言图形语言符号语言
判定如果一个平面
经过另一个平
面的一条垂线,
那么这两个平
面互相垂直
｝
l⊂β
l⊥α
⇒α⊥β
性质如果两个平面
垂直,那么在一
个平面内垂直
于它们交
线的直线垂直
于另一个平面
错误!
⇒
l⊥α
15。

直线与平面所成的角
（1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
（2)线面角θ的范围：θ∈错误!。

16．二面角的有关概念
(1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角。

17．空间向量的有关概念
18。

共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量, （≠0），∥ 存在唯一的实数λ，使得＝λ.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量p与向量，共面⇔存在惟一的有序实数对（x，y）,使p＝x＋y.
(3）空间向量基本定理:如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x,y,z｝，使得p＝x＋y＋z,把｛，，}叫做空间的一个基底．
19．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角:已知两个非零向量,，在空间任取一点O，作错误!＝,
错误!＝，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作〈，〉，其范围是0≤〈，〉≤π，若〈,〉＝错误!，则称与互相垂直，记作⊥.
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量,，则||｜｜cos〈,〉叫做向量,的数量积，记作·，即·＝|｜|｜cos〈，>．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：(λ）·＝λ（·)；
②交换律：·＝·；
③分配律：·（＋）＝·＋·。

20．空间向量的坐标表示及其应用
设＝(a1，a2，a3）,＝（b1，b2，b3）。

21．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2）平面的法向量可利用方程组求出:设，是平面α内两不共线向量，为平面α
的法向量，则求法向量的方程组为00
n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.
22．用向量证明空间中的平行关系
(1）设直线l 1和l 2的方向向量分别为1
v 和2
v ，则l 1∥l 2（或l 1与l 2重合）
⇔ 1
v ∥2
v .
(2）设直线l 的方向向量为，与平面α共面的两个不共线向量为1
v 和
2v ，则l∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使＝x 1
v ＋y 2
v 。

(3）设直线l 的方向向量为,平面α的法向量为，则l∥α或l ⊂α⇔⊥。

(4)设平面α和β的法向量分别为1
u ，2
u ，则α∥β⇔ 1
u ∥2
u 。

23．用向量证明空间中的垂直关系
（1）设直线l 1和l 2的方向向量分别为1
v 和2
v ，则l 1⊥l 2⇔1
v ⊥2
v
⇔1v ·2
v ＝0。

（2）设直线l 的方向向量为,平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥。

（3)设平面α和β的法向量分别为1
u 和2
u ，则α⊥β⇔1
u ⊥2
u
⇔1u ·2u ＝
0。

24．两条异面直线所成角的求法
设，分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则
l 1与l 2所成的角θ
与的夹角β
范围 (0,错误!］
0,π]
求法
cos a b a b
θ⋅=
cos a b a b
β⋅=
25。

直线与平面所成角的求法
设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，直线l 与平面α所成的角为θ，与的夹角为β,则sin θ＝|cos β|＝a n a n
⋅，θ∈0，错误!］．
26．求二面角的大小
(1)如图①，AB ，CD 是二面角α。

l­β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小
θ＝〈错误!,错误!>．θ∈0，π］．
(2)如图②③,1
n ,2
n 分别是二面角α。

l.β的两个半平面α，β的法向量,
则二面角的大小θ满足
|cos θ｜＝｜cos 〈1
n ，2
n >|，二面角的平面角大小是向量1
n 与2
n 的夹
角(或其补角)．
27．利用空间向量求距离
（1）两点间的距离
设点A(x 1,y 1，z 1），点B(x 2，y 2，z 2)，则|AB|＝|错误!|＝错误!。

（2)点到平面的距离
如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段，为平
面α的法向量，
则B 到平面α的距离为AB n BO n
⋅=
.
(二）考点剖析
考点一：线面平行、面面平行的判定与性质
例1：如图，四边形ABCD 与四边形ADEF
为平行四边形,
M ,N ,G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．
(1）求证：BE ∥平面DMF ;
（2)求证：平面BDE ∥平面MNG 。

解：(1）证明：如图,连接AE ,则AE 必过DF 与GN 的交点O ,连接MO ，则MO 为△ABE
的中位线 ∴BE ∥MO
又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ∴
BE ∥
平面DMF 。

（2）证明：N ,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，
∴
DE ∥GN ，
又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ∴DE ∥平面MNG
又M 为AB 的中点 ∴MN 为△ABD 的中位线 ∴BD ∥MN 又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ∴BD ∥平面MNG 又
,DE BD BDE ⊂平面
∴平面BDE ∥平面MNG .
考点释疑：（1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．
(2)证明两个平面平行的方法有：①用判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；③借助“传递性"
来完
成：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； 考点二:线面垂直、面面垂直的判定与性质
例 2：如图，在四棱锥P .ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点． 求证：(1）PA ⊥底面ABCD ;（2)平面BEF ⊥平面PCD . 解： (1) 证明：平面PAD ⊥底面ABCD ,PAD
ABCD AD =平面平面
PA AD ⊥，PA PAD ⊂平面
∴PA ⊥底面ABCD .
（2） 证明:AB ⊥AD ，且四边形ABED 为平行四边形
BE ⊥CD ，AD ⊥CD
由(1)知PA ⊥底面ABCD 又CD ABCD ⊂平面 ∴PA ⊥CD
又PA ∩AD ＝A ,,PA AD PAD ⊂平面 ∴CD ⊥平面PAD 又
PD PAD ⊂平面
∴CD PD ⊥
又E ，F 分别是CD 和PC 的中点 EF ∴为
PCD 的中位线
∴PD ∥EF
∴
CD ⊥EF
又CD ⊥BE ，EF ∩BE ＝E ，,EF BE BEF ⊂平面 ∴CD ⊥平面BEF 又CD ⊂平面PCD ∴平面BEF ⊥平面PCD .
考点释疑:（1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质（a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);④面面垂直的性质．
（2）证明平面和平面垂直的方法:①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β,a ⊂α⇒α⊥β）．
（3)已知两平面垂直时,一般要用性质定理进行转化,在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直． 考点三:异面直线所成的角
例3:在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，
A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，求直线BM 与直线AN 所成角的余弦
值.
解：如图,以C 为原点,分别以1
,,CA CB CC 为
,,x y z 轴建立空
C xyz
设BC＝2，则B(0,2，0），A（2,0，0），M(1，1，2)，N（1，0，2），
∴错误!＝（1，－1,2)，错误!＝(－1，0，2)，
设直线BM与直线AN所成角为θ.
则cos θ=｜cos<错误!，错误!〉|=错误!＝错误!＝错误!.
∴直线BM与直线AN所成角的余弦值为3010。

考点释疑：用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：
①选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;
②确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
③利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
④两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余
弦值的绝对值．
考点四：直线与平面所成的角
例4:如图，已知在六面体ABCDEF中，四边形ABCD与DBFE均
为菱形，且AB＝BD＝DF，AF＝CF. 求直线FA与平面FBC所成角
的余弦值．
解：如图，连接AC交BD于点O，连接FO
四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD
AF＝CF，O为AC的中点∴FO⊥AC
四边形DBFE是菱形，且BD＝DF∴△DBF为等边三角形
又O 为BD 的中点 ∴FO ⊥BD
又AC ∩BD ＝O ,,AC BD ABCD ⊂平面 ∴FO ⊥平面ABCD ∴OA ，
OB ,OF 两两垂直．
如图，以O 为原点，分别以,,OA OB OF 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
O xyz -
设AB ＝2，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝错误!
∴
O (0,0，0)，A (错误!，0,0)，B (0，1，0),C （－
3,0，0），F （0，0,错误!)，D (0,－1,0) ∴错误!＝
(错误!，1,0),错误!＝(0，－1,错误!）,错误!＝(错误!，0，－错误!） 设平面FBC 的一个法向量为1
1
1
(,,)n x y z =
则1111
11113
300303033x y x y n CB n BF y z z y
⎧=-⎪⎧⎧+=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨
⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎪⎩⎩=⎪⎩
，取(3,3,3)n =- 设直线FA 与平面FBC 所成的角为θ。

则30310
sin cos 5
303393
FA n FA
n FA n
θ⋅-+-=<>=
=
=++++， 又0°≤θ≤90° ∴221015cos 1sin 1(
)55
θθ=
-=-=.
考点释疑：利用向量法求线面角的方法：
①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．
考点五：二面角
例5:如图，在斜三棱柱ABC
A 1
B 1
C 1中,
侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形,∠ACC 1
＝
∠CC 1B 1＝60°，AC ＝2， AB 1＝错误!,求二面角C -AB 1-A 1的余弦值． 解:连接AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1的中点O ，连接OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1 又
1OA OB O =，11,OA OB OAB ⊂平面∴
CC 1⊥平面
OAB 1
又
11AB OAB ⊂平面
∴CC 1⊥AB 1
又OA ＝OB 1＝
22
21-=错误!，且AB 1＝错误!
∴22211+OA OB AB =
∴OA ⊥OB 1 ∴1
1
,,OB OC OA 两两垂直
如图,以O 为原点，分别以1
1
,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
O xyz -。

则C (0，－1,0),B 1（3,0,0），A （0，0，错误!),A 1(0，2，错误!)
∴错误!＝（0，－1，－错误!），错误!＝（错误!，0，－错误!)， 错误!＝(0，
2，0）
设平面CAB 1的一个法向量为(,,)n x y z =
则11111111130030330y z n AC y z x z n AB x z ⎧⎧⎧--=⋅==-⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅=-=⎪
⎪⎪⎩⎩⎩，取(1,3,1)n =-
设平面A 1AB 1的法向量为2
2
2
(,,)m x y z =
则122
22221033020200m AB x z x z y y m AA ⎧⎧⋅==⎧-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎪⎩⎪⎩⎩，取(1,0,1)m =
10110cos ,5131101
m n m n m n
⋅++∴<>=
=
=++⋅++ 由图可知，该二面角C —AB 1—A 1为钝角 ∴二面角C -AB 1-A 1的余弦值为－错误!.
考点释疑：二面角问题一般有两种方法，方法一：定义法——构造出二面角的平面角，通过解三角形计算；方法二：坐标法——建立恰当坐标系，求出两个平面
的法向量n 1,n 2，利用 cos <n 1,n 2>＝错误!求出．（结合
图形取
“±”号）
考点六：点到平面的距离
例6：如图，在正三棱柱ABC 。

A 1B 1C 1中,若AB ＝AA 1＝4，
点D 是AA 1的中点，求点A 1到平面 DBC 1的距离．
解：过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，
以AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵正三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝4,点
D 是
AA 1的中点
∴错误!＝(2错误!，2，－2），错误!＝(0，4,2），错误!＝（0,0,2)， 设平面BDC 1的一个法向量为(,,)n x y z =
1022042020n DB y z x y z z y n DC ⎧⎧⎧⋅=+-==⎪⎪
⎪⇒⇒⎨
⎨⎨+==-⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩
,取(3,1,2)n =-- ∴点A 1到平面DBC 1
的距离1
03n DA d n
⋅+=
=
=+即点A 1到平面DBC 1的距离为 2.
考点释疑:求点到平面的距离一般有以下三种方法：①作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离;②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．
（三）历年高考真题训练
1、(2011年高考全国卷Ⅰ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
60
DAB ∠=，
2AB AD
=，
PD ABCD ⊥底面。

（Ⅰ)证明:PA BD ⊥；
（Ⅱ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值.
2、（2012年高考全国卷Ⅰ）如图，直三棱
柱点,1
DC
BD ⊥.
111ABC A B C -中,11
2
AC BC AA ==
，D 是棱1AA 的中
(Ⅰ）证明：1
DC
BC ⊥;
（Ⅱ）求二面角1
1
A BD C -- 的大小.
3、(2013年高考全国卷Ⅰ）如图,三棱柱11
1
ABC A B C -中，CA CB =，1
AB AA =，1
60BAA ∠=.
（Ⅰ)证明:1
AB A C ⊥; (Ⅱ）若11
ABC AA B B ⊥平面平面,AB CB =,求直线1
A C 与
1
1
BB C C 平面所成角的正弦值．
B 1
C 1
A 1
D
C A
B
4、（2014年高考全国卷Ⅰ）如图三棱柱11
1
ABC A B C -中，侧面1
1
BB C C 为菱
形，1
AB B C ⊥.
（Ⅰ）证明：1
AC AB =；
（Ⅱ）若1
AC AB ⊥,o 1
60CBB
∠=，AB BC =,求二
面角11
1
A A
B
C --的余弦值.
5、（2015年高考全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为菱形,120ABC ∠=，,E F 是平面
ABCD
同一侧的两点，BE ABCD
⊥平面，
DF ABCD
⊥平面，
2BE DF =,AE EC ⊥.
（Ⅰ）证明:AEC AFC ⊥平面平面;
(Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。

6、（2016年高考全国卷Ⅰ）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面C BE F --都是60．
（Ⅰ)证明：ABEF EFDC ⊥平面平面； （Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．
7、（2017年高考全国卷Ⅰ）如图，在四棱锥
P ABCD -中,//AB CD ,且90
BAP CDP ∠=∠=。

(Ⅰ）证明：PAB PAD ⊥平面平面；
(Ⅱ)若PA PD AB DC ===，90APD ∠=，求二面角A PB C --的余弦值。

A
B
C
D
E F
历年高考真题训练参考答案
1、解：（Ⅰ)
60,2DAB AB AD ∠=︒=，
由余弦定理得
2222221
2cos6042232
BD AD AB AD AB AD AD AD AD AD =+-⋅=+-⋅⨯=
BD ∴=，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥
又PD ABCD ⊥底面，ABCD BD ⊂底面 ∴BD PD ⊥
又AD PD D =，AD,PD AD P ⊂平面 ∴BD PAD ⊥平面
又
A PA P D ⊂平面
∴PA BD ⊥
（Ⅱ）由（Ⅰ)知,BD AD ⊥ 又 PD ABCD ⊥底面
∴,,AD BD PD 两两垂
直
如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标
系D xyz -。

设
1
AD =，则
()1,0,0A ,()
03,0B ，,()1,3,0
C -,()0,0,1P
∴(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的一个法向量为
111(,,)n x y z =，
则11111111
30300303y z z y n PB n AB x y x y ⎧⎧⎧-==⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=-+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩,取(3,1,3)n =
设平面PBC 的一个法向量为2
2
2
(,,)m x y z =
则2222220303000m PB y z z y x x m BC ⎧⎧⎧⋅=-==⎪⎪
⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，取(0,1,3)m =
301133427
cos ,731301327
m n m n m n
⋅⨯+⨯+⨯∴<>=
=
==++⋅++.
由图可知，该二面角为钝角。

∴二面角
A —P
B —
C 的余弦值为2
77
-。

2、解：(Ⅰ）在Rt DAC ∆中,AD AC = ∴45ADC ︒
∠= 同理1
1
114590A DC
CDC DC DC ︒︒∠=⇒∠=⇒⊥
又1DC BD ⊥，BD DC D =，,BD DC BDC ⊂平面
∴1
DC
BDC ⊥平面
又
BC BDC ⊂平面
∴1
DC
BC ⊥
(Ⅱ）由(Ⅰ)知，1
DC BC ⊥
又1CC BC ⊥，1111111,,DC CC C DC CC ACC A =⊂平面 ∴11
BC ACC A ⊥平面
又
11AC ACC A ⊂平面
∴BC AC ⊥ ∴1
,,AC BC CC 两两垂直.
如图，以C 原点，分别以1
,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
C xyz -。

设1AC =，则1
(1,0,2)A ，(0,1,0)B ，(1,0,1)D ，
1(0,0,2)C
∴1(1,1,2)A B =--,(1,1,1)BD =-,1(0,1,2)BC =-
设平面1
A BD 的一个法向量为111
(,,)n x y z =
则11111
11111200000
x y z x y n A B x y z z n BD ⎧-+-==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩，取(1,1,0)n =
设平面1
BDC 的一个法向量为222
(,,)m x y z =
则2222222221002020x y z x z m BD y z y z m BC ⎧-+==⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨
⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩，取(1,2,1)m =
12033cos ,211014123
m n m n m n
⋅++∴<>=
=
==
++⋅++。

由图可知，该二面角为锐角
∴二面角11C BD A --的大小为30︒。

3、解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，1
OA ，1
A B .
CA CB =
∴OC AB ⊥
1AB AA =，1
60BAA ∠=
∴1AA B 为等边三角形 ∴1
OA AB ⊥
又1OC
OA O =，11
,OC OA AOC ⊂平面 ∴1AB A OC ⊥平面
又11AC AOC ⊂平面 ∴1
AB A C ⊥
（Ⅱ）解：由(Ⅰ)知，OC AB ⊥,1
OA AB ⊥
又
11ABC AA B B ⊥平面平面，11=ABC
AA B B AB 平面平面，OC ABC ⊂平面
∴11OC AA B B ⊥平面 ∴1
,,OA OA OC 两两垂直。

1
如图,以O 为坐标原点,分别以1
,
,OA OA OC 为,,x y z 轴建立空间直角坐
标系O xyz
-.
设2
AB =，则(1,0,0)A ，1
A ，C ，(1,0,0)
B -
∴1
(0,AC =，11(1BB AA ==
-
，BC
= 设1
1
BB C C 平面的一个法向量为111
(,,)n x y z =
则1111111110000y x x n BB n BC x z x ⎧=⎪⎧⎧-=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨
⋅==⎪⎪⎪⎩⎩
=⎪⎩
，取(3,1,1)n =- 设直线1
A C 与1
1
BB C C 平面所成角为
则11
1
sin cos ,3n AC n
AC n AC θ⋅=
<>=
=
=
= ∴直线1A C
与11BB C C 平面
4、（Ⅰ)证明: 侧面1
1
BB C C 为菱形，令1
1BC
B C O =∴11BC B C ⊥
又1AB B
C ⊥， 1AB BC B =，11,AB BC ABC ⊂
平面
1
1
B C ABC ∴⊥平面
又1AO ABC ⊂平面
1
AO B C ∴⊥
又O 为1B C 的中点
∴1
AC AB =
(Ⅱ）
1AC AB ⊥,且O 为1B C 的中点 ∴AO CO =
又
,(AB BC BO BO ==公共边) ()BOA BOC SSS ∴≅
90
AOB COB ∴∠=∠= 即OA
OB ⊥ 1
,,OA OB OB
∴两两垂直
如图,以O 为原点，分别以1
,,OB
OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
O xyz
-。

设1AC =，则
(0,0,
2A
，2B ,1(0,2B
，1(,0,0)2
C - 1(0,22AB ∴=-，116(22
A B AB ==-
11
62(,,0)22
B C =-
- 设11
AA B 平面的一个法向量为1
1
1
(,,)n x y z =
则11
11111111122
00223062
0322
y z y z n AB x z n A B x z ⎧
=⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪
⎪⇒⇒⎨⎨
⎨=⋅=⎪⎪
⎪⎩-=⎩⎪⎩
，取(1,3,3)n = 设11
1
A B C 平面的一个法向量为2
2
2
(,,)m x y z =
则2211221122
2262003220623022x z m A B z x m B C y x x y ⎧-=⎪⎧⎧⋅==⎪⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⋅==-⎪⎪⎪⎩⎩--=⎪⎩，取(1,3,3)m =- 1331
cos ,7
133133n m n m n m
⋅-+∴<>=
=
=++⋅++
由图可知,该二面角为锐角。

∴二面角111A A B C --的余弦值为
17
. 5、解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF 在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由120ABC ∠=，可得3AG GC ==。

BE ABCD ⊥平面，AB BC =
∴AE EC =
又AE EC ⊥,AG CG =
3EG AG ∴==，EG AC ⊥
在
Rt EBG
中,
可得
22(3)12BE =-=
∴2
2
DF =。

在Rt FDG 中，可得2226
1(
)22
FG =+=
. 在直角梯形BDFE 中，由2BD =,2BE =，2
2
DF =
可得22232
2(2)22
EF =
+-
=
∴222EG FG EF +=
∴EG FG ⊥
又AC
FG G =，,AC FG AFC ⊂平面
EG AFC ∴⊥平面
又
EG AEC ⊂平面
∴AEC AFC ⊥平面平面
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 为,x y 轴建立空间直角坐标系G xyz -
由（Ⅰ)可得(0,3,0)A ,2)E ,3,0)C ,2()F - ∴(1,3,2)AE =，2(1,3,
)CF =- 设直线AE 与直线CF 所成角为 则1313cos cos ,3
1132132
AE CF AE CF AE CF
θ⋅--+=<>=
=
=
++⋅++
∴直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为
33。

6、解：
（Ⅰ)
ABEF
为正方形 ∴AF EF ⊥
90AFD ∠=
︒
∴AF DF ⊥
又DF EF F =，
,DF EF EFDC ⊂平面
AF EFDC ∴⊥平面
又
AF ABEF ⊂平面
ABEF EFDC ∴⊥平面
平面
(Ⅱ）由(Ⅰ)知60DFE CEF ∠=∠=
//AB EF ，AB EFDC ⊄平面,EF EFDC ⊂平面
∴//AB EFDC 平面
又=ABCD EFDC CD 平面平面，AB ABCD ⊂平面
∴//AB CD
∴//CD EF
∴四边形EFDC 为等腰梯形.
如图，以E 为原点，分别以,EF EB 为,x y 轴建立空间直角坐标系E xyz - 设1FD =，则(0,0,0)E ，(0,2,0)B ，13
(2
C ,(2,2,0)A 则(0,2,0)EB =，13
(,2,
22
BC =-，(2,0,0)BA = 设平面EBC 的一个法向量为1
1
1
(,,)n x y z =
则111111120
0013
320022
y y n EB x z x y z n BC =⎧=⎧⎧⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--+=⋅=⎪⎪⎪⎩⎩
⎩，取(3,0,1)n =- 设平面BCA 的一个法向量为2
2
2
(,,)m x y z =
则2222222
133********m BC x y z y z m BA x x ⎧⎧⎧⋅=-==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩
==⎩⎩，取(0,3,4)m = ∴219
cos ,193010316219
n m n m n m
⋅<>=
=
==++⋅++
由图可知,该二面角为钝角.
∴二面角E BC A --的余弦值为
19
19。

7、解：（Ⅰ）
90
BAP CDP ∠
=∠=
∴AB PA ⊥,CD PD ⊥
又//AB CD
AB PD ∴⊥
又PA PD P
=，
,PA PD PAD ⊂平面
∴AB PAD ⊥平面
又
AB PAB ⊂平面 ∴PAB PAD ⊥平面平面
（Ⅱ)如图，取AD 的中点F ，以F 为原点，分别以,FA FP 为,x z 轴建立空间直角坐标系F xyz -.
设2PA PD AB DC ====，则2)P ,2,0,0)A ，2,2,0)B ，(2,2,0)C
∴(2,0,2)AP =-，(2,2,2)PB =，(2,2,2)PC =-
设平面PAB 的一个法向量为1
1
1
(,,)n x y z =
11111
1110
00020y n AP x z n PB y ⎧⎧+==⋅=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨
=⋅=+-=⎩⎪⎩，取(1,0,1)n = 设平面PBC 的一个法向量为2
2
2
(,,)m x y z =
2222
2222202000202
x y m PB y z m PC y =⎧⎧+-=⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⋅=+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩，取(0,2,2)m =
∴cos ,31n m n m n m
⋅<>=
=
=
+ 由图可知,该二面角为钝角。

∴二面角E BC A --的余弦值为3
-
.。