2021-2022年高一下学期期末考试(理数)

2021年高一下学期期末考试（理数）
参考公式：球的体积公式V=,
其中R 是球的半径.
球的表面积公式S=, 其中R 是球的半径.
一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为
( )
A ．3x ＋4y ＋5＝0
B ．3x ＋4y －5＝0
C ．－3x ＋4y －5＝0
D ．－3x ＋4y ＋5＝0
（2）原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为
( ) A ．1 B.3 C ．2 D. 5 （3）已知x ,y 满足约束条件 ，则的最大值是
A ．
B ．
C ．2
D ．4 （4）若直线a ∥直线b ，且a ∥平面，则b 与平面的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 （5）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （A ） （B ） （C ） （D ）
（6）如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
（7）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长( )
A. 3 B ． 2 C. 6 D ．2 3
（8）若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )
A ．点在圆上
B ．点在圆内
C ．点在圆外
D ．不能确定 （9）如图长方体中，AB=AD=2，CC 1=，则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）
Ａ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
（10）判断每个图下面的方程哪个是图中曲线的方程
A B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
（11）已知 、是不重合的两个平面，、是直线，下列命题中不正确的是（ ） A ．若∥，，则 B ．若，，则 C ．若，，则∥ D ．若∥，，则∥
（12）.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①②
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （13）若实数x ,y 满足的最大值是 ．
A B C D
1A 1
B
1
C 1
D P ① ③ ④ ②
（14）若两圆x2+y2－10x-10y=0与x2+y2－6x+2y-40=0相交于两点，则它们的公共弦所在直线的方程是。

（15）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .
（16）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。

三、解答题：本大题共6小题，共70分.
（17）（本小题满分10分）求经过点A（－1，4）、B（3，2）且圆心在y轴上的圆的方程。

（18）（本小题满分12分）求过点A(3,4)与圆C: (x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程（19）（本小题满分12分）P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ．
（20）（本小题满分12分）已知曲线C：y＝1－x2与直线l：y＝2x＋k，当k为何值时，l与C：①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．
（21）（本小题满分12分）如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
（22）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是
∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使
平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.
（附加题）（本小题满分15分）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. （1）证明AD ⊥D 1F; （2）求AE 与D 1F 所成的角; （3）证明面AED ⊥面A 1FD 1;
（4）111112ED A F V ED A F AA --=的体积，求三棱锥设．
赤峰二中xx---201高一下期末考试理科数学答案
第1卷（共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
D
B
D
D
B
D
C
A
C
D
A
（13）．（14）。

（15）②④（16）20
三、解答题：本大题共6小题，共70分. （17）（本小题满分10分）、求经过点A （－1，4）、B （3，2）且圆心在y 轴上的圆的方程
解：设圆的方程为x 2+(y －b)2=r 2 ∵圆经过A 、B 两点， ∴ 解得
所以所求圆的方程为x 2+(y －1)2=10
（18）（本小题满分12分） 求过点A(3,4)与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1相切的直线方程
解:设所求方程为y-4=k(x-3) 即kx-y+4-3k=0 由=1得 k=
所以切线方程为4x-3y=0
当过A(3,4)向圆可作两条切线,另一条为x=3 所求切线方程为4x-3y=0或x=3
（19）（本小题满分12分）证明：如图，连结AC 交BD 于O
∵ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC
连结OQ，则OQ平面BDQ，
且OQ是△APC的中位线
∴PC∥OQ，又PC在平面BDQ外
∴PC∥平面BDQ．
（20）（本小题满分12分）已知曲线C：y＝1－x2与直线l：y＝2x＋k，当k为何值时，l与C：①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点．
解析：曲线C：y＝1－x2(|x|≤1)．如图所示．
若直线l与曲线C相切，则
|k|
＝1，所以k＝±5(舍去负值)；
5
若直线l过点A(1,0)，则0＝2·1＋k，
所以k＝－2；
若直线l过点B(－1,0)，则0＝2·(－1)＋k，所以k＝2.
结合图可知，
①当－2≤k＜2或k＝5时，l与C有一个公共点；
②当2≤k＜5时，l与C有两个公共点；
③当k＜－2或k＞5时，l与C无公共点．
（21）（本小题满分12分）如图所示，已知PA
⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
证明（1）连接AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，
在Rt△PAC中，N为PC中点，
∴AN=PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN=PC.
∴AN=BN，
∴△ABN为等腰三角形，
又M为底边的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
（2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.
∵四边形ABCD为矩形.
∴AD=BC，∴PA=BC.
又∵M为AB的中点，∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,
∴MN⊥平面PCD.
（22）如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所
在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.
（1）证明在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BG⊥平面PAD.
（2）证明连接PG，因为△PAD为正三角形，
G为AD的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD，
PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G，
所以AD⊥平面PGB，因为PB平面PGB，
所以AD⊥PB.
（3）解当F为PC的中点时，
满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：
取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，
GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF，
EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB，
因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG
又因为PG⊥AD，AD∩BG=G，
∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
（附加题）（本小题满分15分）
解法一:（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1. 又D1F面DC1，∴AD⊥D1F.
（2）取AB中点G,连结A1G，FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1
平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角，
因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，
∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.
（3）由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.
（4）连结GE，GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1，
∵AA1=2,面积S△A
1
GE=S□ABB1A1－2S△A1AG－S△GBE=
又
解法二：利用用向量求解
解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）∵,，得，∴AD⊥D1F;
（2）又，得∴AE与D1F所成的角为90°
（3）由题意：，
设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，
由
由
得
∴面AED⊥面A1FD1.
（4）∵AA1=2，，
平面A1FD1的法向量为
，∴E到平面A1FD1的距离，
．
E
F
A
B C
D x
y z
A1
B1C1
D1
E。