湘教版数学八上.3命题的证明课件(共18张)
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求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”
“有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，
我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.证
明：∠A＝∠D.
证明：因为∠AGB=∠2（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以 ∠1=∠AGB（等量代换）,
所以CE∥BF（同位角相等,两直线平行）.
所以∠C=∠BFD(两直线平行，同位角相等).
因为∠B=∠C,
所以∠B=∠BFD(等量代换),
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE
=2×180°=360°.
总结归纳
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
第二步
第三步
根据题意
画出图形
根据命题的条件和结论，结合图形
通过分析，找出证明的途径
写出已知、求证
写出证明的过程
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA
的延长线上，射线AE平分∠DAC.
1.证明的一般步骤
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是
△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：如图，
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2，
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).
∵∠1+∠2+∠3=180°
(三角形内角和定理)，
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
2.反证法
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
所以AB∥CD（内错角相等,两直线平行）,
所以∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）.
A
E
B
1
H
2
C
F
G
D
4.求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
（4）与客观事实矛盾.
随堂训练
1. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），
∴
∠A+∠C=∠B+∠D.
第2章
三角形
2.2 命题与证明
第3课时 命题的证明
学习目标
1.知道证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写
格式;（重点）
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难点）
新课导入
视察
思考
三角形的外角之和等于多少度.
剪拼的方法
度量的方法
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
如何来证明这
个结论呢？
知识讲授
即△ABC中不能有两个钝角．
课堂小结
直接证明
（画图）写出
已知、求证
写出证明过程
命题的
证明
反设结论
推理
反证法
导出矛盾
证得结论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结论，导出矛盾，肯定结论”.
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难;
(2) 直接证明需分成很多情况进行讨论;
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题；
(4) 结论为 “唯一”类命题.
用反正法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾;
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
2.已知：如图，∠1和∠互余，∠和∠互余．
求证： ∥ ．
证明：∵∠1和∠互余（已知）,
∴∠1+∠=90°（互余的定义）．
∵∠+∠互余（已知），
∴∠+∠=90°（互余的定义）．
∴∠1=∠（同角的余角相等）.
∴∥（内错角相等，两直线平行）.
3.如图，直线与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
总结归纳
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的
结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命
题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定
解析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”
“有两个” “有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，
我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C.证
明：∠A＝∠D.
证明：因为∠AGB=∠2（对顶角相等），
∠1=∠2（已知），
所以 ∠1=∠AGB（等量代换）,
所以CE∥BF（同位角相等,两直线平行）.
所以∠C=∠BFD(两直线平行，同位角相等).
因为∠B=∠C,
所以∠B=∠BFD(等量代换),
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE
=2×180°=360°.
总结归纳
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
第二步
第三步
根据题意
画出图形
根据命题的条件和结论，结合图形
通过分析，找出证明的途径
写出已知、求证
写出证明的过程
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA
的延长线上，射线AE平分∠DAC.
1.证明的一般步骤
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是
△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：如图，
∵ ∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2，
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).
∵∠1+∠2+∠3=180°
(三角形内角和定理)，
求证：AE∥BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理），
∠B=∠C（已知），
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）.
又∵AE平分∠DAC（已知），
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）
2.反证法
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
所以AB∥CD（内错角相等,两直线平行）,
所以∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等）.
A
E
B
1
H
2
C
F
G
D
4.求证：△ABC中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
（4）与客观事实矛盾.
随堂训练
1. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°
（三角形内角和等于180°），
∴
∠A+∠C=∠B+∠D.
第2章
三角形
2.2 命题与证明
第3课时 命题的证明
学习目标
1.知道证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写
格式;（重点）
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式；（难点）
新课导入
视察
思考
三角形的外角之和等于多少度.
剪拼的方法
度量的方法
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
如何来证明这
个结论呢？
知识讲授
即△ABC中不能有两个钝角．
课堂小结
直接证明
（画图）写出
已知、求证
写出证明过程
命题的
证明
反设结论
推理
反证法
导出矛盾
证得结论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结论，导出矛盾，肯定结论”.
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难;
(2) 直接证明需分成很多情况进行讨论;
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 的一类命题；
(4) 结论为 “唯一”类命题.
用反正法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾;
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
2.已知：如图，∠1和∠互余，∠和∠互余．
求证： ∥ ．
证明：∵∠1和∠互余（已知）,
∴∠1+∠=90°（互余的定义）．
∵∠+∠互余（已知），
∴∠+∠=90°（互余的定义）．
∴∠1=∠（同角的余角相等）.
∴∥（内错角相等，两直线平行）.
3.如图，直线与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
总结归纳
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的
结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命
题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定