河北省黄骅市高二数学上学期期中试题 理

2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷第1至2页, 第Ⅱ卷第3至4页,共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（客观题 共 60分）
注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.某学院A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用 分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为( ) A ．30 B ．40 C ．50 D ．60
2.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从中 任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.
51 B. 5
3 C. 52 D. 54
3.已知双曲线2
2
1y x m
-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是（ ） A ．4 B ．
41
C ．4
1- D ． 4- 4.如果在一次实验中，测得(x ,y )的四组数值分别是A (1, 3),B (2, 3.8),C (3, 5.2),D (4,
6),则y 与x 之间的回归直线方程是( )
A. y ^
＝x ＋1.9 B. y ^
＝1.04x ＋1.9
C. y ^
＝0.95x ＋1.04 D. y ^
＝1.05x －0.9 5.已知平面α的法向量是（2,3，-1），平面β的法向量是
)2,,4(-λ，若βα⊥，则λ的值是（ ）
A.6- B ．6 C ．103-
D ．10
3
6.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A.错误！未找到引用源。

B.
23
C. 5
8 错误！未找到引用源。

D.
3
5 7.“2
2a
b >”是 “22log log a b >”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若a B A =11，b D A =11,A =1， 则下列向量中与B 1相等的向量是（ ）
A ．c b a ++-21
21 B ．c b a ++2121
C ．c b a +-21
21 D ．c b a +--2121 9.在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1
内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6
10.设21,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一
点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A.
34 B. 35 C. 4
5
D. 441 11.已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1
所成角的大小为（ ） A .60°
B . 45°
C . 90°
D .以上都不对
12. 有关下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
（1）命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题为“若0432
≠--x x ，则4≠x ” （2）“0x >”是“5x >”的必要不充分条件 （3）若p q ∧是假命题，则,p q 都是假命题
（4）命题“若1x >且3y <-，则4x y ->”的等价命题是“若4≤-y x ， 则
31-≥≤y x 或” A.1 B.2 C.3 D.4
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共20分，每小题5分） 13. 把下列各进制的数)
9(85，
)
6(210，
)4(1000按从小到大的顺序排列________．
14. 已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p 的否定为______．
15.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自
钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为
2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴
的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．
16.已知椭圆12
42
2=+y x ,过点)1,1(P 作直线l 与椭圆交于B A , 两点,点P 是线段AB 的中点,则直线l 的斜率为 .
三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）
17.(本小题10分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？
18.(本小题12分)已知点M (3，－6)在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直 线l ：y =2x +1与抛物线C 相交于A ，B 两点. (1)求抛物线C 的方程;(2)求线段AB 的长.
19.(本小题12分)如图是某地某公司1000名员工的 月收入后的直方图．根据直方图估计： (1)该公司员工月收入的众数；
(2)该公司月收入在1000元至1500 元之间的人 数；
(3)该公司员工的月平均收入； (4)该公司员工月收入的中位数．
20.(本小题12分)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x
在R 上单调递减；命题q ：
函数f (x )＝x 2
－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，
求实数c 的取值范围．
M
21.(本小题12分)如图，在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为4的正三角形， 平面⊥SAC 平面ABC ，22==SC SA ，M 为AB 的中点. （1）证明：SB AC ⊥；
（2）求二面角A CM S --的余弦值； （3）求点B 到平面SCM 的距离.
22.(本小题12分)已知椭圆C 的两个焦点分别为)0,1(1-F , F 2（1，0），短轴的两个端点分别为B 1，B 2。

（1）若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且Q F P F 11⊥，求直线l 的方程．
四、附加题（共两个题，20分）
23.(本小题5分) (2017·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)， C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点 P ′(2xy ，x 2
－y 2
)，则当点P 沿着折线A ­B ­C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的
轨迹是( )
24.(本小题15分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的长轴长为4，
焦距为2 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B.求直线AB 的斜率的最小值．
黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分) 1-6 BCABCD 7-12 BADBCC 二、填空题(每小题5分,共20分)
13. )6()9()4(210851000<< 14. :p x ⌝∃∈R ,sin 1x > 15. π41
16. 2
1- 三、解答题(共70分) 17. (本小题10分)
解：74)7090708060(51
=++++=
甲x --------2分 73)7580706080(5
1
=++++=乙x --------4分
104416461451222222
=++++=）（甲s
562731375
1222222
=++++=）（乙s ----8分
∵ 2
2乙甲乙甲，s s x x >>
∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡---------10分 18. (本小题12分)
解：（1）x y 122=, ---------6分 （2）15||=AB ---------12分
19. (本小题12分)解:（1）2500元 ---2分 (2)[1-（0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001）×500]×1000=100人---4分 （3）0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元--8分
（4）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）-----12分 20. (本小题12分)
解：因为函数y ＝c x
在R 上单调递减，所以0<c <1.
即p ：0<c <1，因为c >0且c ≠1，所以⌝p ：c >1. ------2分
又因为f (x )＝x 2
－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0<c ≤12，因为c >0且c ≠1，
所以⌝q ：c >1
2
且c ≠1. ------4分
又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真．
①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >1
2且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |12<c <1.
②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫
c |0<c ≤12＝∅. ------10分
综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
c |12<c <1. ------12分
21. (本小题12分)
解：（1）证明：取AC 的中点O ，连接OB OS ,
因为SC SA =，BC BA =，所以SO AC ⊥且BO AC ⊥.
因为平面⊥SAC 平面ABC ，平面⋂SAC 平面AC ABC =，所以⊥SO 平面ABC 所以BO SO ⊥. 如右图所示，建立空间直角坐标系xyx O - 则)0,32,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,2(B S C A - 所以)2,32,0(),0,0,4(-=-=BS AC 因为0)2,32,0()0,0,4(=-⋅-=⋅BS AC 所以SB AC ⊥ ------4分
（2）由（1）得)0,3,1(M ，所以)2,0,2(),0,3,3(== 设),,(z y x =为平面SCM 的一个法向量，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=⋅=+=⋅0
220
33z x CS n y x ，取1=z ，则3,1=-=y x 所以)1,3,1(-=n ---7分 又因为)2,0,0(=为平面ABC
的一个法向量，所以5
5
=
=
所以二面角A CM S --的余弦值为
5
5
.--------9分 （3）由（1）（2）可得)0,32,2(=CB ，)1,3,1(-=n 为平面SCM 的一个法向量.
所以点B 到平面SCM
的距离5
5
4=
=
d . ------12分 22．(本题满分12分)
解：（1）根据题意
,
2222,,c e a b a c c a =
=∴=∴=-= 故可设椭圆
C ：22
2212x y c c +=.将)22,
1(A 代入得12=c ，故椭圆C 的方程为12
22=+y x . ----4分 （2）当直线l 的斜率不存在时,其方程为1=x ,经验证，不符合题意；----6分 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(-=x k y . 由
22
(1)
12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩
可得
2222
(21)42(1)0k x k x k +-+-=. 设),(),,(2211y x Q y x P ,则
2212121111
222242(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，，
因为F F 11⊥,所以011=⋅F F ,即
21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++--
2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++2271
21k k -==+ -----------------10分
解得7
1
2=
k ,即77±=k .
故直线l 的方程为017=-+
y x 或017=--y x .-----12分
四、附加题(共20分)： 23. (本小题5分) [答案] D [解析] 当P 沿AB
运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2y ，y ′＝1－y 2
(0≤y ≤1)，∴y ′
＝1－
x ′2
4
(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．
当P 沿BC
运动时，y ＝1，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，
y ′＝x 2
－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝
x ′2
4
－1(0≤x ′≤2，－
1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D. 24．(本小题15分)解:(1)设椭圆的半焦距为c .
由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，b ＝a 2
－c 2
＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2＝1. -------2分
(2)①设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．
由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )．
所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0，直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′
k
＝－3.
所以
k ′
k
为定值－3. --------4分 ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y
2
2
＝1，
整理得(2k 2
＋1)x 2
＋4mkx ＋2m 2
－4＝0. 由x 1x 0＝2m 2
－4
2k 2＋1，可得x 1＝
m 2－k 2＋x 0
，
所以y 1＝kx 1＋m ＝2k
m 2－k 2＋
x 0
＋m ，
同理x 2＝m 2－k 2＋x 0，y 2＝－6k m 2
－k 2＋x 0
＋m . 所以x
2－x 1＝m 2－k 2＋x 0
－m 2－k 2＋
x 0
＝
－32k 2m 2－
k 2＋
k 2＋
x 0
，
y 2－y 1＝－6k m 2
－k 2
＋x 0＋m －2k m 2
－
k 2＋x 0－m ＝－8k
k 2＋m 2－k 2＋
k 2＋
x 0
. ---------10分
所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛
⎭⎪⎫6k ＋1k .
由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1
k
≥26，
等号当且仅当k ＝
66时取得．此时m 4－8m
2＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为6
2
. ----------15分。