江苏省淮安市2024_2025学年高二数学上学期第一次综合测试

江苏省淮安市2024-2025学年高二数学上学期第一次综合测试
一、单选题
1.已知i 为虚数单位，且复数
||
3＋4i z
＝1－2i ，则复数z 的共轭复数为( )
A ．－1＋2i B.－1－2iC ．1＋2i D.1－2i
2.从名男同学和名女同学中任选人参与服务，则选中的人都是女同学的概率为( ) A.
B.
C.
D.
3.若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝255，sin(α－β)＝－35，则sin β＝( ) A.－11525 B.－55 C ．5
5
D.115
25
4.如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥
BA ，则EF 与CD 所成的角为( )
A ．30° B.45°C ．60° D.90°
5. 在△ABC 中，AB →·AC →＝9，AB ＝3，点E 满意AE →＝2EC →，则AB →·BE →
＝( ) A. －6B. －3 C. 3 D. 6
6.一组数据按从小到大的依次排列为1,4,4，x,7,8(其中x ≠7)，若该组数据的中位数是众数的5
4倍，则该组数据的方差是( )
A.133
B.143C ．163D.173
7.在△ABC 中，a 2
＋b 2
＋c 2
＝23ab sin C ，则△ABC 的形态是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等边三角形
8.已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( ) A. 3π B. 4π C. 6πD. 9π 二、多选题
9.已知复数z ＝(a －i)(3＋2i)(a ∈R )的实部为－1，则下列说法中正确的是( ) A ．复数z 的虚部为－5B ．复数z 的共轭复数z －
＝1－5i C.||z ＝26D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限 10.已知
分别是
三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，则
是等腰三角形 C. 若则是等腰三角形 D. 若
，则
是等边三角形
11.甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以
表示从罐中取出的球是红球、白球的事务，再从乙罐中随机取出球，
以表示从乙罐中取出的球是红球的事务，则下列结论正确的是( ) A.
B. 事务与事务相互独立
C. 互斥
D. 的值不能确定，因为它与
中原委哪一个发生有关．
12.如图，在棱长为的正方体中( )
A.
与
的夹角为
B. 二面角的平面角的正切值为
C.
与平面
所成角的正切值
D. 点到平面的距离为
三、填空题
13.设向量a ＝()1，1，b ＝()－1，m ，若a ⊥()m a ＋b ，则m ＝________.
14.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则
的值
为 ．
15.在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，M 是BC 的中点，AM ＝3，则AC ＝________，
cos ∠MAC ＝________.
16.在三棱锥S －ABC 中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB ＝BC ，SA ＝AC ，AB ＝2
2
SC ，且三棱锥S －ABC 的体积为8
3，则该三棱锥的外接球的体积为．
四、解答题 17.已知，，与夹角是．
求的值及
的值；
当为何值时，
？
18.已知，
，且、
求：
Ⅰ的值； Ⅱ的值．
19. 为庆祝建党
周年，讴歌中华民族实现宏大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工
对党史的了解某单位组织开展党史学问竞赛活动，以支部为单位参与竞赛现把名党员的
成果绘制了频率分布直方图，依据图中数据回答下列问题： （1）求的值；
（2）这50名党员成果的众数、中位数及平均成果； （3）试估计此样本数据的第90百分位数
20.在锐角中，角的对边分别为已知．
求角；求的取值范围．
21.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．
(1)求证：OE∥平面PAD；
(2)若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足为F，PD＝BD＝2，AD＝1，
求三棱锥P－DEF的体积．
22.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的正切值．
DDCABCDB ACD ACD AC BCD 13.3
1 14.3
2 15.1313
392 16. 3
32
17.解：
．
． ，
即
，
，
解得． 当
时，
． 18.解：Ⅰ解：
，，
，
， ，
，
．
Ⅱ由Ⅰ得，
，
又
， ． 19.解：
依据频率分布直方图得：
，解得由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，
所以众数为，
，前三个小矩形的面积的和为，
而第四个小矩形的面积为，
所以前四个小矩形的面积为，中位数应位于内，
设中位数为，则，
解得，即中位数估计值为．
平均成果估计值为
前个小组的频率之和是
，
所以第百分位数在第六小组内，设其为，则，解得，
即估计此样本数据的第百分位数为．
20.解：，
，
，
，
，
，
为锐角三角形，，
，
，
为锐角三角形，，
，
解得
， ，
，
， 的取值范围为
．
21．解析：(1)证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以O 是BD 的中点，又E 是PB 的中点，所以OE ∥PD .因为OE ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以OE ∥平面PAD . (2)因为PD ⊥平面ABCD ，
AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PD ，AD ⊂平面PAD ，PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以AB ⊥DF .又DF ⊥PA ，PA ，AB ⊂平面PAB ，PA ∩AB ＝A ，所以DF ⊥平
面PAB .因为EF ，PB ⊂平面PAB ，所以DF ⊥EF ，DF ⊥PB .因为PD ＝BD ，PE ＝EB ，所以DE ⊥PB ，又DE ，DF ⊂平面DEF ，DE ∩DF ＝D ，所以PB ⊥平面DEF ，因此PE 是三棱锥P －DEF 的高．由
PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD .在Rt △PBD 中，由PD ＝BD ＝2，得PB ＝22，DE
＝12PB ＝ 2.在Rt △PAD 中，DF ＝AD ×PD PA ＝25
.在Rt △DEF 中，EF ＝(2)2
－⎝
⎛⎭⎪⎫252
＝65
，于是V PDEF ＝13S △DEF ·PE ＝13×12×DF ×EF ×PE ＝13×12×25×65×2＝23
15，所以三棱锥PDEF
的体积是23
15
22.
证明：
底面
是正方形，
．
又平面底面，平面底面，底面，平面．
取的中点，连接，，
是正三角形，
，．
平面，平面，
，
又，，平面，
平面
底面，
，
就是平面与平面所成的二面角的平面角．
在中，
．
平面与平面所成的二面角的正切值为．
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