高考二轮复习数学通法技法提纲挈领 (3)

微专题2
例题1
答案：(1)A ＝3，ω＝2，φ＝π3； (2)12－33
10. 解析：(1)由图象，得A ＝3，最小正周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫7π12＋π6＝π，所以ω＝2πT ＝2，所
以f(x)＝3sin (2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎫7π12＝－3，得2×⎝⎛⎭⎫7π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝
－5π3＋2k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π
3. (2)由f (θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－353，得sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－35，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ
＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3，
又sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3<0，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，
所以cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3 ＝－1－sin 2
⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝ －45，所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝
3sin2θ＝ 3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π3＝
3⎣⎡sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3
cos π3－ ⎤cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3sin π3＝
3×⎝⎛⎭⎫－35×12＋45×32＝12－3310.
例题2
答案：(1)ω＝2；(2)－32.
解析：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋
sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f(x)＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx
＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k
∈Z ，解得ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f (x )＝
3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3
＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12，因为－π4≤x ≤3π4，所以－π3≤x －π12≤2π3，当x －π12＝－π3，
即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.
变式联想
变式1
答案：2；π
6.
解析：由题意得，T ＝π＝2πω
ω＝2，又因为f(0)＝2sin φ＝1sin φ＝12，又|φ|<π2，
所以φ＝π
6.
变式2
答案：(1)1；(2)π
3.
解析：(1)因为函数f(x)＝
A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2，所以A ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以f (0)
＝2sin 5π
6＝1.
(2)函数f (x )的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6，因为y
＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6的图象关于y 轴对称，所以2(0＋φ)＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π
3.
点拨：本题及变式重点考查三角函数的图象变换，要注意以下几点：
(1)首先要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，将不同名函数转化为同名函数；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，若先伸缩后平移，则要注意平移的单位，即无论哪种变换，每一个变换总是对自变量而言．
(2)根据平移后的函数解析式以及y ＝sin x ，y ＝cos x 奇偶性进行判断若平移后解析式为
y ＝sin(ωx ＋φ)，φ＝
⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为偶函数）；k π （平移后为奇函数）；
若平移后解析式为y ＝cos(ωx ＋φ)，φ＝
⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为奇函数）；k π （平移后为偶函数）.
串讲激活
串讲1
答案：143.
解析：由f(0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2得π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即ω＝
4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z ，因为函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，所以T <π2<3T 2，故4<
ω<6，因此k ＝1，ω＝143.
串讲2
答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．
解析：由题意g (x )＝sin(2x －φ)，且g ⎝⎛⎭⎫π6为函数g (x )的最大值或最小值，故2×π6－φ
＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝－k π－π6(k ∈Z )，又g ⎝⎛⎭⎫π2>g (π)，即sin(π－φ)>sin(2π－φ)，故
sin φ>0，不妨取k ＝－1，φ＝5π6，满足sin φ>0.令2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，
得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，则g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．
新题在线
答案：(1)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4；
(2)7736.
解析：(1)因为图象在一个周期内的最低点为Q (－2，－3)，与x 轴的交点为P (－6，0)，
所以A ＝3，T ＝4×(－2＋6)＝16.又T ＝2πω，
所以ω＝π8，所以
f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8＋φ.
将点Q (－2，－3)代入，
得－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－2×π8＋φ，
所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，
k ∈Z ，所以φ＝－π4＋2k π，
k ∈Z ，又|φ|≤π2，
所以φ＝－π4，所以
f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4.
(2)点R 的横坐标x R ＝x Q ＋12T ＝－2＋8＝6，所以R (6，3)．又因为α，β均为锐角，从而tan
α＝14，tan β＝34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×141－⎝⎛⎭
⎫142＝815，所以tan(2α＋β)＝tan2α＋tan β1－tan2αtan β＝815＋341－815×34＝7736.。