5.3实际问题与一元一次方程—配套与工程问题-2025学年人教版(2024)数学七年级上册

A. 2 m3
B. 6 m3
C. 8 m3
D.10 m3
解析：设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12 x)m3木材制作桌腿， 根据题意，得 4 20x 400(12 x) ， 解得 x 10 . 所以应安排10 m3 木材用来生产桌面.
练习 5 某车间每天能制作甲种零件 500 只，或者制作乙种零件 250 只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现在要在 30 天 内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？
A. x x 3 1 12 8
C. x x 1 12 8
B. x 3 x 3 1 12 8
D. x 3 x 1 12 8
解析： 甲独做需12 天完成，乙独做需 8 天完成，
设:工作总量为 1，完成此项工程共用 x 天，
甲的工作效率为 1 ，乙的工作效率为 1 ，
12
8
甲先做 3 天，乙再合做共同完成，
谢谢各位同学的观看
解析：将这项工程量看作是“1”，则甲的工作效率为 1 ， 40
乙的工作效率为 1 ， 50
由题意可列方程为 4 x x 1， 40 40 50
故选 C.
练习 3 某工程甲独做需12 天完成，乙独做需 8 天完成.现由
甲先做 3 天，乙再合做共同完成.若设完成此项工程共用 x 天，
则下列方程正确的是( A )
解：设甲、乙合作还需 x 小时才能完成全部工作，
即 1 (1 x) 1 x 1，
42
6
解方程得： x 2.1.
答：甲、乙合作还需要 2.1 小时才能完成全部工作.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
实际问题 的答案
设未知数，列方程 检验
一元一次方程
解 方 程 一元一次方程 的解(x = a)
练习 2 一项工程甲单独做需要 40 天完成，乙单独做
需要 50 天完成，甲先单独做 4 天，然后两人合作 x 天
完成这项工程，则可列的方程是( C )
A. x x 1 40 40 50
C. 4 x x 1 40 40 50
B. x x 1 40 40 50
D. x x 1 40 50
解方程，得 x＝1题2.吗？
所以
22 - x = 10
螺母数量是螺 栓的2倍
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
产品类型 螺栓 螺母
这类问题中配套的物 生产人数品之单间人具产有量一定的数总产量
产品套数
x 量关系1，20这0 可以作为1200 x
1200 x
22－x
列方程的依据.
2000(22 - x)
【分析】如果把总工作量设为1，则人均效率(一个人1h完成的工作量)
为（
1 40 ）,
x人先做4h完成的工作量为（
4x 40
）,
增加
2人后再做8h完成
的工作量为（ 8( x 2) ） ，这两个工作量之和应等于总工作量.
40
解：设安排 x 人先做4 h.根据先后两个时段的工作
量之和应等于总工作量，列出方程 4 x 8( x 2) 1. 40 40
【思考】每天生产的螺母和螺栓具有怎样的数量关系就刚好配套了？ 当每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它俩刚好配套.
产品类型 螺栓 螺母
生产人数 x
22 - x
单人产量 1200 2000
总产量 1200 x
2000(22 - x)
人数和 为22人
依题意，得 200如0(2果2设- xx)＝名2工×1200x . 人生产螺母，
根据题意可列出: 3 1 ( 1 1)(x 3) 1， 12 12 8
整理得: x x 3 1，故选：A. 12 8
练习 4 制作一张桌子要用一个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可
制作 20 个桌面或 400 条桌腿，现有12 m3 木材，要使生产出
来的桌面和桌腿恰好配套，应安排用来生产桌面的木材为( D )
人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
1.工程问题基本关系式：工作量＝工作效率×工作时间，
工作时间＝
工作量 工作效率
，工作效率＝
总工作量时，通常把总工作量看
作整体1. 3.工程问题常见的相等关系为：总工作量＝各部分工作量之和．
【探究二】整理一批图书，由1个人整理要40 h 完成.现计划由一部分 人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些 人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
从前面的学习可以看出，方程是分析和解决 问题的一种很有用的数学工具.本节我们重点 研究如何用一元一次方程解决实际问题.
【探究一】某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000 个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配 套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
实际问题 设未知数，列方程 一元一次方程
实际问题 的答案
检验
解 方 程
一元一次方程 的解(x = a)
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列 方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等 关系是列方程的基础.
练习 1 某车间有 28 名工人生产螺钉和螺母,每人每小时平均能生
解方程，得 x＝怎10样. 列方程？ 所以 22 - x = 12
螺母数量是螺 栓的2倍
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
产品类型 螺栓 螺母
生产人数 22－x x
单人产量 1200 2000
总产量 1200(22－x)
2000x
人数和 为22人
依题意，得 2×1还20有0(其22他-x方)＝2 000x . 法解决该问
解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 x) 天，
依题意有， 500x 250(30 x) ，
解得，
x 10 (天)，
所以，
30 x 30 10 20 (天).
答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天.
练习 6 用白铁皮做罐头盒,每张铁片可制盒身 16 个或制盒 底 43 个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒,现有 150 张 白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,可以正好制成整套 罐头盒？
解：设总工作量为 1，小峰打扫了 xh ，爸爸打扫了 3 x h ，
则小峰打扫任务的工作效率为 1 ，爸爸打扫任务的工作效率为 1 ，
4
2
由题意，得： 1 x 1 3 x 1，
42
解得： x 2 ，
答：小峰打扫了 2h .
练习 8 某项工作，甲单独做需要 4 小时，乙单独做需要 6 小时， 如果甲先做 30 分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需要 多久才能完成全部工作？
2000
2000(22－x)
2
依题意，得
解方程，得 所以
2000(22 - x) 1200x. 2 x = 10.
22－x = 12.
生产的套数是 一样的
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
【探究二】整理一批图书，由1个人整理要40 h 完成.现计划由一部分
人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些
5.3实际问题与一元一次方程 ——配套与工程问题
第五章 一元一次方程
学习目标
能运用一元一次方程解决物品配套问题和工程问题；
掌握用一元一次方程解决实际问题的基本思路和步 骤．
方程两边同 乘各分母的 最小公倍数
解一元一次 方程的步骤
去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1
等式的性质2 去括号法则 等式的性质1 乘法分配律 等式性质2
产螺钉 12 个或螺母 18 个,1 个螺钉需要配 2 个螺母,若安排 m 工人
生产螺钉时,每小时生产的螺栓和螺母刚好配套,那么可列方程为( C )
A.12 m 1828 m 2
B.1228 m 18 m 2
C.12 m 2 1828 m
D.1228 m 2 18 m
解析：设安排 m 名工人生产螺钉,则 (28 m) 人生产螺母, 由题意,得 12 m 2 18 (28 m), 故选:C.
解：设用 x 张制盒身,则 150 x 张制盒底, 根据题意得：16x 2 43150 x ,
解得 x 86 , 所以150 x 150 86 64 (张), 答：用 86 张制盒身,则 64 张制盒底.
练习 7 星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫 除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需 4h ；若爸爸 单独完成，需 2h .当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加 篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这 次一共打扫了 3h ，求这次小峰打扫了多长时间.
去分母，得 4x+8(x+2) = 40,
去括号，得 4x+8x+16 = 40，
移项、合并同类项，得 12x = 24，
化系数为1，的
x = 2.
这类问题中常常把总 工作量看作1，并利用 “工作量 =人均效率× 人数×时间”的关系 考虑问题.
答：应安排2人先做4 h.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：