高考数学压轴题冲关系列2.docx

压轴题冲关系列(二)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(12分)(2015·湖南怀化一模)已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m ，m ∈R .
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，任意的0＜a ＜b ，求证：f (b )－f (a )b －a <1a (1＋a ).
解：(1)f ′(x )＝1
x －m ＝1－mx x (x ∈(0，＋∞))，
当m ≤0时，f ′(x )＞0恒成立，则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；
当m ＞0时，由f ′(x )＝1
x －m ＝1－mx x >0，
则x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m ，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1m ，＋∞上单调递
减．
(2)由(1)，得当m ≤0时显然不成立；
当m ＞0时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1m ＝ln 1
m －1＋m ＝m －ln m －1，
只需m －ln m －1≤0，
即令g (x )＝x －ln x －1，则g ′(x )＝1－1
x ，
函数g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )min ＝g (1)＝0.
则若f (x )≤0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，m ＝1. (3)f (b )－f (a )b －a ＝ln b －ln a ＋a －b b －a ＝ln b －ln a b －a －1
＝ln b a
b a －1·1a －1由0＜a ＜b 得b
a >1， 由(2)，得ln
b a <b
a －1， 则ln b
a
b a －1·1a －1<1
a －1＝1－a a ＝1－a 2a (1＋a )<1a (1＋a )
， 则原不等式f (b )－f (a )b －a <1
a (1＋a )
成立．
2．(16分)(2015·山西太原一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，其离心率为e ＝1
2，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2内切圆面积的最大值为4π
3.
(1)求a ，b 的值．
(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，且满足F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·
BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．
解：(1)当P 为椭圆上下顶点时，△PF 1F 2内切圆面积取得最大值，设△PF 1F 2内切圆半径为r ，
∵4π3＝πr 2
，∴r ＝233. S △PF 1F 2＝1
2|F 1F 2|·b ＝bc ＝1
2(|F 1F 2|＋|PF 1|＋|PF 2|)r ＝12(2c ＋2a )×233， 化为bc ＝23
3(a ＋c )，
又c a ＝1
2，a 2＝b 2＋c 2，联立解得a ＝4，c ＝2，b ＝2 3. (2)∵满足F 1A →∥F 1C →，F 1B →∥F 1D →，AC →·BD →＝0， ∴直线AC ，BD 垂直相交于点F 1， 由(1)知椭圆方程为x 216＋y 2
12＝1，F 1(－2,0)．
①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，|AC
→|＋|BD →|＝6＋8＝14. ②当AC 斜率存在且不为0时，设方程y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，C (x 2，
y 2)，联立⎩⎨⎧
y ＝k (x ＋2)，
x 216＋y 2
12＝1，
化为(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0. ∴x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－48
3＋4k 2，
∴|AC →|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝24(1＋k 2)3＋4k 2
，
∵AC →·BD →＝0，∴|BD →|＝24(1＋k 2
)4＋3k 2， ∴|AC →|＋|BD →|＝168(k 2＋1)2
(4＋3k 2)(3＋4k 2)
， 设t ＝k 2＋1(k ≠0)，t ＞1. ∴|AC
→|＋|BD →|＝168
12＋t －1t 2
， ∵t ＞1，∴0<t －1t 2≤1
4，
∴|AC →|＋|BD →|∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫967
，14. 综上可得，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤967
，14. 3.(16分)( 2015·海南海口调研)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2
＋ax －3)e x (a 为实数)．
(1)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；
(2)若存在两个不等实根x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，
求实数a 的取值范围．
解：f ′(x )＝ln x ＋1， x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e
1
e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
↘
极小值 (最小值)
↗
①当t ≥1
e 时，在区间(t ，t ＋2)上
f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ．(4分)
②当0<t <1
e 时，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上
f (x )为减函数，
在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，t ＋2上f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝－1
e . (2)由g (x )＝2e x
f (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， a ＝x ＋2ln x ＋3
x ， 令h (x )＝x ＋2ln x ＋3
x ，
h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)
x 2. x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，1 1 (1，e) h ′(x ) － 0 ＋ h (x )
↘
极小值 (最小值)
↗
h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3
e ＋e ＋2. h (e)－h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ＝4－2e ＋2e <0. ∴实数a 的取值范围为4<a <e ＋2＋3
e .
4．(16分)( 2015·河南八市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，左右端点分别为 A 1，A 2，抛物线y 2＝4x 与椭圆相交于A ，B 两点且其焦点与 F 2重合，AF 2＝53.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫27，0作直线 l 与椭圆相交于P ，Q 两点(不与A 1，A 2重合)，求A 2P →与A 2Q →夹角的大小．
解：(1)根据题意，设A (x 0，y 0)，(x 0＞0，y 0＞0)，
抛物线y 2＝4x 与椭圆相交于A ，B 两点且其焦点与 F 2重合，而抛物线 y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则c 2＝1，
由题意，可得AF 2＝x 0＋p 2＝x 0＋1＝53，故x 0＝2
3， 所以y 20＝4×23＝83，则y 0
＝26
3，
则A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，
263， 有49a 2＋249(a 2－1)＝1，解可得a 2＝4，
又由c 2＝1，则b 2＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2
7，由于
⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 23＝1，
x ＝27，
可得y 23＝1－149＝48
49，
所以y ＝±12
7，
所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
7，－127，
因为A 2(2,0)，所以kA 2P ＝－1，kA 2Q ＝1， 所以kA 2P ·kA 2Q ＝－1， 所以A 2P 与A 2Q 垂直．
②当直线l 的斜率存在且不为0时，设其斜率为k ，则直线的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －27，
联立可得⎩⎨⎧
3x 2＋4y 2
＝12，y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x －27， 则49(3＋4k 2)x 2－112k 2x ＋16k 2－12×49＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，A 2(2,0)，
则x 1＋x 2＝16k 2
7(3＋4k 2)，x 1x 2＝16k 2－12×4949(3＋4k 2)，
又kA 2P ＝y 1(x 1－2)，kA 2Q ＝y 2
(x 2－2)，
故kA 2P ·kA 2Q ＝y 1y 2
(x 1－2)(x 2－2)＝－1，
所以A 2P 与A 2Q 垂直．
综上可得，A 2P →与A 2Q →夹角的大小为90°
.。