平行的判定与性质

一、平行的判定与性质
题型一 直线与平面平行的判定与性质
例1 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP ＝DQ .
求证：PQ ∥平面BCE .
思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．
证明 方法一
如图所示．
作PM ∥AB 交BE 于M ，
作QN ∥AB 交BC 于N ，
连接MN .
∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD .
又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，
又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ＝QN DC
， ∴PM AB ＝QN DC
， ∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形，
∴PQ ∥MN .
又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，
∴PQ ∥平面BCE .
方法二
如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK ，
∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ，
∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ
， 又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK
， ∴AP PE ＝AQ QK
，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ，
∴PQ ∥平面BCE .
方法三
如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接
QM .
∴PM ∥平面BCE ，
又∵平面ABEF ∩平面BCE ＝BE ，
∴PM ∥BE ，∴AP PE ＝AM MB
， 又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，
∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB
， ∴MQ ∥AD ，又AD ∥BC ，
∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE ，
又PM ∩MQ ＝M ，BE ∩BC ＝B ，
∴平面PMQ ∥平面BCE ，又PQ ⊂平面PMQ .
∴PQ ∥平面BCE .
探究提高 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是菱形，
∠BAD ＝60°，AB ＝2，P A ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点，
F 是AB 的中点．
求证：BE ∥平面PDF .
证明 取PD 中点为M ，连接ME ，MF ，
∵E 是PC 的中点，
∴ME 是△PCD 的中位线，
∴ME 綊12
CD . ∵F 是AB 的中点且四边形ABCD 是菱形，AB 綊CD ，
∴ME 綊FB ，∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF .
∵BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF .
例2：证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线． 解 已知：直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，α∩β＝b .
求证：a ∥b .
证明：
如图所示，过直线a 作平面γ，δ分别交平面α，β于直线m ，n (m ，
n
不同于交线b )，由直线与平面平行的性质定理，得a ∥m ，a ∥n ，由
平行线的传递性，得m ∥n ，由于n ⊄α，m ⊂α，故n ∥平面α.又n ⊂β，
α∩β＝b ，故n ∥b .又a ∥n ，故a ∥b .
如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB
和CD ，试问截面形状及截面在什么位置时其面积最大？
思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截
面形状，再建立目标函数求最值．
解 ∵AB ∥平面EFGH ，
平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH .
∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，
∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，
∴截面EFGH 是平行四边形．
设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．
又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b
＝1，即y ＝b a
(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α
＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa
x (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，
∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b 2
. 即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 探究提高 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，
A 1
B 1，A 1
C 1的中点，求证：
(1)B ，C ，H ，G 四点共面；
(2)平面EF A 1∥平面BCHG .
思维启迪：要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一
个
平面内的两条相交直线和另一个平面平行．
证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.
又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，
∴B ，C ，H ，G 四点共面．
(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.
探究提高证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
题型三立体几何中的探索性问题
例4如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的
中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么
位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.证明如下：
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥P A.
∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.
又∵D1B⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，
QB⊄平面P AO，P A⊂平面P AO，
∴D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，
又D1B∩QB＝B，D1B、QB⊂平面D1BQ，
∴平面D1BQ∥平面P AO.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的
中点．
(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；
(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． 审题视角 (1)可过E 作平面ABB 1A 1的垂线、作线面角；(2)先探求出点F ，再进行证明B 1F ∥平面A 1BE .注意解题的方向性．
规范解答
解 (1)如图(a)所示，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .
[2分]
图(a)
又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，
所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 为BE 和平面ABB 1A 1所成的角．
[4分]
设正方体的棱长为2，
则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.
于是，在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝EM BE ＝23， [5分] 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23
.[6分] (2)在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .
事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .
图(b)
因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B . 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点，
所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .
这说明A 1，B ，G ，E 四点共面．所以BG ⊂平面A 1BE .[8分]
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，
因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG，[10分]
而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，
故B1F∥平面A1BE.[12分]。