潍坊市三中数学三角形解答题章末训练(Word版 含解析)

潍坊市三中数学三角形解答题章末训练（Word 版 含解析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.
(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.
(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.
【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.
【解析】
【分析】
（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-
12
∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.
【详解】
(1)//AB CD ，
理由如下：如图1， 图1
∵1∠与2∠互补，
∴12180∠+∠=︒，
又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，
∴180AEF CFE ∠+∠=︒，
∴//AB CD ；
(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，
图2
∴180BEF EFD ∠+∠=︒．
又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，
∴1(2
)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．
∵GH EG ⊥，
∴//PF GH ；
(3)如图3，
∵PHK HPK ∠=∠，
2PKG HPK ∴∠=∠.
又∵GH EG ⊥，
∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．
∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．
∵PQ 平分EPK ∠，
∴1452
QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.
2．（问题探究）
将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.
（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；
（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；
（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；
（拓展延伸）
（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.
【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.
【解析】
【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）如图，∠1=2∠A ．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ；
∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠知识可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，()3181201∠=
-∠，()41812
02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒， ∴()()180118023601122
A D ∠+∠+-∠+-∠=︒，
整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
3．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX 等于多少度；
②如图3，DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数； ③如图4，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2…、G 9，若∠BDC=133°，
∠BG 1C=70°，求∠A 的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．
【解析】
【分析】
（1）连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B ，
∠CDF=∠C+∠CAD ，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C ；
（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC ，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX 的度数；
②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，即可求出∠DCE 的度数；
③由②得∠BG 1C=
110（∠ABD+∠ACD ）+∠A ，设∠A 为x°，即可列得110
（133-x ）+x=70，求出x 的值即可.
【详解】
（1）如图（1），连接AD 并延长至点F ，
根据外角的性质，可得
∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；
②由（1），可得
∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，
∴1
2
（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴
1
2
ADC ADB
∠=∠，
1
2
AEC AEB
∠=∠，
∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,
=1
2
（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,
=45°+40°, =85°；
③由②得∠BG1C=
1
10
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C=70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD=133°-x°
∴
1
10
（133-x）+x=70，
∴13.3-
1
10
x+x=70，
解得x=63，
即∠A的度数为63°.
【点睛】
此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定
理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.
4．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ ＝∠CBQ ，
∵∠CQP ＝∠OAC ＋∠ABQ
∠CPQ ＝∠CBQ ＋∠BCO ，
∴∠CQP ＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
5．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.
① ②
（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.
（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数. （3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥ 【解析】
【分析】
(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；
(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；
(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.
【详解】
(1)设OB=a ，则OC=4a ，
∴BC=3a ，
由题意得，134202
a ⨯⨯=，
解得：a=103， ∴OB=103，OC=403
， ∴10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)设ACB α∠=，
∵90ABC ACB ∠-∠=︒，
∴90ABC α∠=︒+，
∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠
()18090αα=︒-︒+-
902α=︒-，
∵AD 平分BAC ∠，∴1452
DAC BAC α∠=
∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒；
(3)FM ⊥PQ ，理由如下：
延长FM 交PQ 于点H ，.
设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，
则∠DMH=∠FMG=β，
∠AQM=∠QMD+∠QDM ，即α=β+45°，
∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，
∴∠2=∠1=90°-β，
∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，
∴∠MHQ=90°，即FM ⊥PQ.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
6．Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 、E 分别是△ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P 在线段AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解
析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE与AC的交点为F，
∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α.
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
7．如图①，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(4，1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
(1)求证：∠OAC＝∠OCA；
(2)如图②，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC
＝1
3
∠AOC，∠PCE＝
1
3
∠ACE，求∠P的大小；
(3)如图③，在(2)中，若射线OP、CP满足∠POC＝1
n
∠AOC，∠PCE＝
1
n
∠ACE，猜想∠OPC
的大小，并证明你的结论(用含n的式子表示)．
【答案】（1）证明见解析（2）15°（3）45 n
【解析】
试题分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=1
3
∠AOC、∠PCE=
1
3
∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，
再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=1
n
∠AOC、∠PCE=
1
n
∠ACE可以求得
∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．
试题解析：(1)证明：∵A(0，1)，B(4，1)，∴AB∥CO，∴∠OAB＝180°－∠AOC＝90°.
∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝45°，∴∠OCA＝90°－45°＝45°，∴∠OAC＝∠OCA.
(2)解：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝30°.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝(180°－45°)＝45°.∵∠P＋∠POC＝∠PCE，∴∠P＝∠PCE－∠POC＝15°.
(3)解：∠OPC＝.
证明如下：∵∠POC＝∠AOC，∴∠POC＝×90°＝.∵∠PCE＝∠ACE，∴∠PCE＝
(180°－45°)＝.
∵∠OPC＋∠POC＝∠PCE，
∴∠OPC＝∠PCE－∠POC＝.
点睛：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．
8．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；并说明理由；（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积.
【答案】（1）△EPF是等边三角形，理由见解析；（2）S△GBE3
【解析】
试题分析：（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知∠EPF=60°，只需要证PE=PF即可，可通过证△PBE和△PFC全等来得出结论，是证明全等，则需要证明FP⊥BC和
BE=PC；
（2）由（1）不难得出∠CFG=90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那
么EH 就是所求的高，在直角△BEP 中，有BP 的长，有∠ABC 的度数，可以求出BE 、EP 的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH 的长，即可求出△GBE 的面积； 试题解析：（1）△EPF 是等边三角形，理由如下：
∵PE⊥AB，∠B=60°，因此Rt△PEB 中，BE=12BP=13
BC=PC ，∴∠BPE=30°，∵∠EPF=60°，∴FP⊥BC，∵∠B=∠C=60°，BE=PC ，∠PEB=∠FPC=90°，
∴△BEP≌△CPF，∴EP=PF，∵∠EPF=60°，∴△EPF 是等边三角形.
（2）过E 作EH⊥BC 于H ，由（1）可知：FP⊥BC，FC=BP=23BC=4，BE=CP=13
BC=2，在三角形FCP 中，∠PFC=90°-∠C=30°，∵∠PFE=60°，∴∠GFC=90°，Rt△FGC 中，∠C=60°，CF=4，∴GC=2CF=8，∴GB=GC -BC=2，Rt△BEP 中∠EBP=60°，BP=4，
∴PE=23，BE=2，∴EH=BE•PE÷BP=3，∴S △GBE =12BG•EH=3. 点睛：本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质，熟练掌握全靠三角形的判定方法和等边三角形的性质是解题的关键.
9．已知:△ABC 中 ∠A=64°， 角平分线BP 、CP 相交于点P ．
1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)
求证:01902
BPC A ∠=+∠. 2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)
3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值)
4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现
【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则
∠BPC=90°-12
∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=
12∠A ． 【解析】
【分析】
①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC+∠PCB=90°-1
2
∠A，根据三角形内角和定理可
得∠BPC=90°+1
2
∠A；
②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=1
2
（∠A+∠ABC）、∠PBC=
1
2
（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-1
2
∠A；
③根据BP为∠ABC的角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-
∠3，∠P=180°-∠4=∠5=180°-∠3-1
2
（∠A+2∠1），两式联立可得2∠P=∠A．
④根据前面的情况直接写出∠BPC与∠A的数量关系，
【详解】
解：（1）证明：∵在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠PBC+∠PCB=1
2（180°-∠A）=
1
2
×（180°-x°）=90°-
1
2
∠A
故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-1
2
∠A）=90°+
1
2
∠A；
则∠BPC=122°；
（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=1
2（∠A+∠ABC）、∠PBC=
1
2
（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-1
2
[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-1
2
（∠A+180°），
=90°-1
2
∠A；
则∠BPC=58°；
（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，
∴∠1=∠2，∠5=
12
（∠A +2∠1），∠3=∠4， 在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3
∴∠1+∠3=180°-∠A ----① 在△CPE 中，∠P =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12
（∠A +2∠1）， 即2∠P =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ----②，
把①代入②得2∠P =∠A ．
则∠BPC =32°；
（4）若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC =90°-12
∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC =
12∠A ． 故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．
【点睛】
此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．
10．如图，90CDE CED ∠+∠=︒，EM 平分CED ∠，并与CD 边交于点M ．DN 平分CDE ∠，
并与EM 交于点N ．
（1）依题意补全图形，并猜想EDN NED ∠+∠的度数等于 ；
（2）证明以上结论．
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，
∴ 12
EDN CDE ∠=∠， NED ∠＝ ．
（理由： ）
∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，
∴EDN NED ∠+∠＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °．
【答案】（1）45度；
（2）
1,2CED ∠ 角平分线的定义， 12 ，CDE,CED, 12
, 45． 【解析】 试题分析：
（1）按要求画∠CDE 的角平分线交ME 于点N ，根据题意易得∠EDN+∠NED=45°； （2）根据已有的证明过程添上相应空缺的部分即可；
试题解析：
（1）补充画图如下：猜想：∠EDN+∠NED 的度数=45°；
（2）将证明过程补充完整如下：
证明：∵ DN 平分CDE ∠，EM 平分CED ∠，
∴ 12EDN CDE ∠=∠，NED ∠＝12
∠CED ．（理由：角平分线的定义） ∵ 90CDE CED ∠+∠=︒，
∴EDN NED ∠+∠＝
12×（∠CDE+∠CED ）＝ 12
×90°＝45°． 故原空格处依次应填上：12∠CED 、角平分线的定义、CDE 、CED 、12和45.。