《聚焦典型题》(苏教版)2014届高考一轮数学(理)《曲线与方程》(一轮复习限时提分训练基础到提升含精细

曲线与方程
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．方程(x －y )2
＋(xy －1)2
＝0表示的是________．
解析 (x －y )2
＋(xy －1)2
＝0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝0，
xy －1＝0，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝1
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝－1，y ＝－1.
故此方程表示两个点． 答案 两个点
2．点P 到点(1,1)和到直线x ＋2y ＝3的距离相等，则点P 的轨迹方程为________． 答案 2x －y －1＝0
3．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，C (x ，
y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．
解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝
⎛⎭⎪⎫2，－y 2， BC →
＝(x ，y )－⎝
⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x ，y 2，
∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0，
∴⎝
⎛
⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ，y 2＝0，即y 2
＝8x .
∴动点C 的轨迹方程为y 2
＝8x . 答案 y 2
＝8x
4．已知点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段
BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________．
解析 由已知：MF ＝MB .由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线． 答案 抛物线
5．设P 为圆x 2＋y 2
＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________．
解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，
由PM →＝λMQ →得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x －x 0＝λx 0－x ，y －y 0＝－λy (λ＞0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ，
y 0＝λ＋
y .
由于x 2
0＋y 2
0＝1，∴x 2
＋(λ＋1)2y 2
＝1， ∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆
6．设圆(x ＋1)2
＋y 2
＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________．
解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则AM ＝MQ ，∴MC ＋MA ＝MC ＋MQ ＝CQ ＝5， 由椭圆的定义知，M 的轨迹为椭圆． ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2
＝214，
∴椭圆的标准方程为4x 2
25＋4y
2
21＝1.
答案 4x 2
25＋4y 2
21
＝1
二、解答题(每小题15分，共30分)
7.如图，设P 是圆x 2
＋y 2
＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5
|PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
解 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x P ，y P )．
由已知，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x P ＝x ，y P ＝5
4y .∵点P 在圆上，∴x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫54y 2＝25，
即点M 的轨迹C 的方程为x 2
25＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5(x －3)．
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线方程y ＝4
5
(x －3)代入C 的方程，得
x 2
25
＋
x －
2
25
＝1，即x 2
－3x －8＝0.
∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.
∴线段AB 的长度为AB ＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1625x 1－x 22
＝
41
25
×41＝415
. 8．抛物线C ：y ＝x 2
在点P 处的切线l 分别交x 轴、y 轴于不同的两点A 、B ，AM →＝12MB →.当点P
在C 上移动时，点M 的轨迹为D . (1)求曲线D 的方程；
(2)设直线l 与曲线D 的另一个交点为N ，曲线D 在点M 、N 处的切线分别为m 、n 直线m 、
n 相交于点Q ，证明：PQ 平行于x 轴．
解 (1)对y ＝x 2
，求导，得y ′＝2x . 设点P (x 0，x 2
0)(x 0≠0)，则直线l 方程为
y －x 20＝2x 0(x －x 0)，
在l 方程中分别令y ＝0，x ＝0，得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0
2，0、B (0，－x 2
0)．
设M (x ，y )，AM →＝12
MB →
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 02，y ＝12
(－x ，－x 2
0－y )， 由此得x 0＝3x ，x 2
0＝－3y ，
消去x 0，得曲线D 的方程为y ＝－3x 2
(x ≠0)． (2)将y ＝－3x 2
代入直线l 方程，并整理得 3x 2
＋2x 0x －x 20＝0，
由(1)知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，－x 203，设N (x 1，－3x 2
1)，则x 03x 1＝－x 2
03，
x 1＝－x 0.对y ＝－3x 2求导，得y ′＝－6x ，
于是直线m 、n 的方程分别为
y ＋x 20
3
＝－2x 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 03和y ＋3x 20＝6x 0(x ＋x 0)，
即y ＝－2x 0x ＋x 20
3
和y ＝6x 0x ＋3x 2
0， 由此得点Q 纵坐标为x 2
0，故PQ 平行于x 轴．
分层训练B 级 创新能力提升
1．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．
解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－
y 2
16＝1(x >3)． 答案
x 2
9
－y 2
16
＝1(x >3) 2．方程|y |－1＝1－x －
2
表示的曲线是________．
解析 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧
|y |－1≥01－x －
2
≥0y |－2＝1－x －
2
⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
|y |－1≥0x －
2
＋y |－
2
＝1
⇔⎩
⎪⎨
⎪
⎧
y ≥1x －
2
＋y －
2
＝1
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ≤－1x －
2
＋
y ＋
2
＝1
答案 两个半圆
3．已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ
→
＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是______________． 解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，
设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x
2
，－y 2，
即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2
，－y 2，又P 在椭圆上，
则有
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2
＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－y 22
b 2
＝1，即x 24a 2＋y 2
4b
2＝1(a ＞b ＞0)．
答案 x 24a 2＋y 2
4b
2＝1(a ＞b ＞0)
4.已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、
l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
⎩⎨
⎧
2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
r 2－d 2
1＝169，r 2－d 2
2＝144，
消去r 得动点M 满足的几何关系为d 2
2－d 2
1＝25， 即
x －2y ＋
2
13
－
x －3y ＋
2
13
＝25.
化简得(x ＋1)2
－y 2
＝65.
此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2
－y 2
＝65
5．(2012·天一中学，淮阴中学，海门中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,1)，
P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP ＋k OA ＝k PA .
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一点，且PQ →＝λOA →
，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA ＝2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)设点P (x ，y )为所求轨迹上的任意一点，
则由k OP ＋k OA ＝k PA ，得y x ＋1－1＝y －1
x ＋1
，整理，得
轨迹C 的方程为y ＝x 2
(x ≠0且x ≠－1)． (2)设P (x 1，x 2
1)，Q (x 2，x 2
2)，
由PQ →＝λOA →
，可知直线PQ ∥OA ，则k PQ ＝k OA ，
故x 22－x 2
1x 2－x 1＝1－0－1－0
，即x 2＝－x 1－1， 直线OP 方程为：y ＝x 1x .
①
直线QA 的斜率为：－x 1－2
－1
－x 1－1＋1＝－x 1－2.
∴直线QA 方程为：y －1＝(－x 1－2)(x ＋1)， 即y ＝－(x 1＋2)x －x 1－1.
②
联立①②，得x ＝－12，∴点M 的横坐标为定值－1
2.
由S △PQA ＝2S △PAM ，得到QA ＝2AM ， ∵PQ ∥OA ，∴OP ＝2OM ，
由PO →＝2OM →
，得x 1＝1，∴P 的坐标为(1,1)． ∴存在点P 满足S △PQA ＝2S △PAM ，P 的坐标为(1,1).。