高考数学 考点通关练 第三章 三角函数、解三角形与平面向量单元质量测试 文-人教版高三全册数学试题

单元质量测试(三)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2016·某某适应性考试]三角函数f (x )＝sin ( π
6－2x )＋cos2x 的振幅和最小正周期
分别是( )
A ．3，π
2
B ．3，π
C ．2，π
2
D ．2，π
答案 B
解析 f (x )＝sin
π6cos2x －cos π6sin2x ＋cos2x ＝32·cos2x －32
sin2x ＝3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos2x －12sin2x ＝3cos (
2x ＋π6 )
，所以振幅为3，最小正周期T ＝2π2＝π，故选B.
2．圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( ) A ．π
3
B ．2π3
C ． 3
D ．2
答案 C
解析 设圆半径为R ，则其内接正三角形的边长为3R ，于是圆心角的弧度数为3R R
＝
3.
3．[2016·某某二检]若tan α＝12，则sin 4α－cos 4
α的值为( )
A ．－15
B ．15
C ．35
D ．－35
答案 D
解析 ∵tan α＝12
，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(sin 2α－cos 2
α)＝
tan 2
α－11＋tan 2
α＝－3
5
，故选D. 4．已知向量a ＝(1,2)与b ＝(4，k )垂直，且a －b 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ等于( ) A ．8
25 B ．13 C ．－79
D ．－35
答案 D
解析 由a ⊥b 可得4＋2k ＝0，故k ＝－2，∴a －b ＝(－3,4)，a ＋b ＝(5,0)，则cos θ＝
a －
b ·a ＋b |a －b |·|a ＋b |＝－1525＝－3
5
.
5．[2016·某某某某调研]在△ABC 中，若sin C (cos A ＋cos B )＝sin A ＋sin B ，则△ABC 的
形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形 答案 B
解析 解法一：sin C (cos A ＋cos B )＝sin(π－B －C )＋sin(π－A －C )，sin C cos A ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )，展开得sin C cos A ＋sin C cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ，化简整理得sin B cos C ＋sin A cos C ＝0，即(sin B ＋sin A )cos C ＝0，因为
A ，
B 是三角形的内角，所以sin A ＋sin B >0，所以cos
C ＝0，即C ＝π
2
，故△ABC 为直角三角
形．
解法二：由正弦定理和余弦定理得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋c ·a 2＋c 2－b 2
2ac
＝a ＋b ，化简整理得(a
＋b )(c 2
－a 2
－b 2
)＝0，所以a 2
＋b 2
＝c 2
，所以△ABC 为直角三角形．故选B.
6．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的投影为cos θ B ．e 2
1＝e 2
2
C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)
D ．e 1·e 2＝1 答案 D
解析 由题可知e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ，则D 项错误．故选D. 7．[2017·某某调研]函数f (x )＝x cos x 在[－π，π]上的大致图象为( )
答案 B
解析 ∵f (x )＝x cos x 为奇函数，∴排除A.∵f (π)＝πcosπ＝－π，∴排除C.f ′(x )
＝cos x －x sin x ＝cos x (1－x tan x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4单调递
增，∴选B.
8．[2016·某某某某质检]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，|φ|<π
2的图象如图
所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )
A ．向右平移π
6个单位长度
B ．向右平移π
12个单位长度
C ．向左平移π
6个单位长度
D ．向左平移π
12
个单位长度
答案 A
解析 由图象可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，又因为T ＝2π
ω
，所以ω＝2，
所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又因为f (x )的图象经过点⎝
⎛⎭
⎪⎫7π12，－1，且|φ|<π2，代入解得φ
＝π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为g (x )＝sin2x ＝sin ⎣⎢⎡
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6
＋
π3 ]，所以只要将f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度就可以得到g (x )的图象，故选A.
9．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
答案 D
解析 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴c ·a |c |·|a |＝c ·b |c |·|b |，∴
5m ＋8
5
＝
8m ＋20
25
，解得m ＝2. 10．[2016·某某某某模拟]在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223
，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为( )
A ． 3
B ．32
2
C ．2 2
D ．2 3 答案 A
解析 在锐角△ABC 中，sin A ＝22
3
，S △ABC ＝2，
∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223
＝2，∴bc ＝3，① 由余弦定理得a 2
＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ，
∴(b ＋c )2＝a 2
＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋13＝12，∴b ＋c ＝2 3.②
由①②得b ＝c ＝3，故选A.
11．[2016·某某十校联考]已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( ) A ．1＋35
8
B ．1＋53
8
C ．1－358
D ．1－538
答案 A
解析 由7sin α＝2cos2α，得7sin α＝2(1－2sin 2
α)，即4sin 2
α＋7sin α－2＝0，解得sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，又由α为锐角，可得cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12sin α＋
32cos α＝1＋35
8
，故选A. 12．在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的实数满足cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，则实数k 的取值X 围
是( )
A ．0<k ≤1
B ．0≤k <1
C ．－3≤k ≤1
D ．k ≤1
答案 B
解析 方程cos2x ＋3sin2x ＝k ＋1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝k ＋1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝k ＋12.由x
∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，根据方程在上述区间内有两个解，可得12≤k ＋12<1，即得0≤k <1.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2016·某某某某测试]已知a 与b 的夹角为π
3，a ＝(1，3)，|a －2b |＝23，则
|b |＝________.
答案 2
解析 ∵|a －2b |＝23，∴a 2－4a ·b ＋4b 2＝12.∴22－4×2×|b |×cos π3＋4|b |2
＝12.
∴|b |2
－|b |－2＝0，∴|b |＝2.
14．[2016·某某某某期末]函数f (x )＝2sin 2
ωx ＋3sin2ωx (ω>0)的一条对称轴为直
线x ＝π
8
，则ω的最小值为________．
答案 83
解析 由f (x )＝2sin 2
ωx ＋3sin2ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx
＝1－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos2ωx －32sin2ωx ＝1－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 则对称轴方程为2ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ，又一条对称轴为直线x ＝π8，所以2ω×π8＋
π
3＝k π，即ω＝4k －43，又ω>0，故ω的最小值为8
3
.
15．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 为线段CD 上的任意一点，则AE →·BD →
的最大值为________．
答案 2
解析 解法一：(坐标法)以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由∠BAD ＝60°，AB ＝2，可知△ABD 为正三角形，AO ＝3，DO ＝1，所以A (－3，0)，C (3，0)，D (0,1)，AC →＝(23，0)，AD →
＝(3，1)，因为D ，E ，C 三点共线，所以AE →＝xAC →＋(1－x )AD →，0≤x ≤1，即AE →
＝x (23，0)＋(1－x )(3，1)＝(3(1＋x )，1－x )，BD →
＝(0,2)，所以AE →·BD →＝2(1－x )，又0≤x ≤1，所以0≤AE →·BD →
＝2(1－x )≤2，
故AE →·BD →
的最大值为2.
解法二：(基底向量法)设DE →
＝λDC →
(0≤λ≤1)，AE →
·BD →
＝(AD →
＋λAB →
)·BD →
＝AD →
·BD →
＋λAB →·BD →＝2×2×cos60°＋λ×2×2×cos120°＝2－2λ，因为0≤λ≤1，所以0≤AE →·BD
→
＝2(1－λ)≤2，故AE →·BD →
的最大值为2.
16. [2016·某某某某中学一模]如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200 m 到达
M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________．
答案 600 2
解析 在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦
定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即120022＝AC
3
2
，
解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝
33
， ∴DC ＝AC tan ∠DAC ＝6006×
3
3
＝600 2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55.
(1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎫5π6－2α的值．
解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55，
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－255.
故sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22
×55＝－1010.
(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×
55×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－4
5， cos2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3
5
， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45＝－
4＋33
10
. 18．[2017·某某某某模拟](本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B 2－1，且m ∥n .
(1)求锐角B 的大小；
(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 解 (1)因为m ∥n ，
所以2sin B ⎝
⎛⎭⎪⎫2cos 2
B
2－1＝－3cos2B ，
所以sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3.
又因为B 为锐角，所以2B ∈(0，π)，所以2B ＝2π3，所以B ＝π
3
.
(2)因为B ＝π3，b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2
＋c 2
－b 2
2ac
，即a 2＋c 2
－ac －4＝0，又因为
a 2＋c 2≥2ac ，代入上式得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，
所以S △ABC ＝12ac sin B ＝3
4ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以S △ABC 的最大值为
3.
19．[2017·某某模拟](本小题满分12分)已知向量
m ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，－3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
， n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4，cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫x －π4
，函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .
(1)求函数y ＝f (x )的图象的对称中心坐标；
(2)将函数y ＝f (x )图象向下平移12个单位，再向左平移π
3
个单位得函数y ＝g (x )的图象，
试写出y ＝g (x )的解析式并作出它在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，5π6上的图象．
解 (1)f (x )＝m ·n
＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4
＝12(1＋sin2x )－32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋12.
令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，
所以x ＝12k π＋π
6
，k ∈Z .
所以f (x )的图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2k π＋π6，12，k ∈Z.
(2)g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，列表：
2x ＋π
3
0 π2 π 3π2 2π x －
π6
π12 π3 7π12 5π6 f (x )
1
－1
描点、连线得函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，5π6上的图象如图所示：
20．[2016·某某一模](本小题满分12分) 在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝150°，∠BAC ＝60°，AC ＝2，AB ＝3＋1.
(1)求BC ；
(2)求△ACD 的面积．
解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6，所以BC ＝ 6. (2)在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC
sin ∠ABC ，
则sin ∠ABC ＝
2
2
，又0°<∠ABC <120°， 所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30°，
所以△ACD 为等腰三角形，即AD ＝AC ＝2，故S △ACD ＝1.
21．[2017·某某调研](本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －
3
2
. (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；
(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，某某数a 的取值X 围．
解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2x －32＝－32sin2x ＋32
(1＋cos2x )－32 ＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 当2x ＋5π6＝2k π＋π2，即x ＝k π－π6
，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值 3. (2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π6，11π6. 而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，11π6上单调递增．
又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＝32. 结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－3，－32.
22．[2017·某某中原联考](本小题满分12分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且满足cos A cos C ＝－a 2b ＋c
. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，求△ABC 的周长的取值X 围．
解 (1)由正弦定理，得cos A cos C ＝－sin A 2sin B ＋sin C
， ∴2cos A sin B ＋cos A sin C ＋sin A cos C ＝0，
则2cos A sin B ＋sin(A ＋C )＝0.
∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin(A ＋C )＝sin B ，
∴2cos A sin B ＋sin B ＝0.
∵sin B ≠0，∴cos A ＝－12
，∴A ＝120°. (2)由正弦定理，得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝433
， ∴b ＋c ＝433
(sin B ＋sin C ) ＝433
[sin B ＋sin(60°－B )] ＝433
(sin B ＋sin60°cos B －cos60°sin B ) ＝
433⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin B ＋32cos B ＝433sin(B ＋60°)． ∵A ＝120°，∴B ∈(0°，60°)，∴B ＋60°∈(60°，120°)， ∴sin(B ＋60°)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴b ＋c ∈⎝
⎛⎦⎥⎤2，433， 故△ABC 的周长a ＋b ＋c ∈⎝
⎛⎦⎥⎤4，2＋433.。