山东省青岛市2021届新高考数学第四次押题试卷含解析

山东省青岛市2021届新高考数学第四次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）
A ．5?n ≤
B ．6?n ≤
C ．7?n ≤
D ．8?n ≤
【答案】B 【解析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
2．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.
【详解】
“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表， 原始状态 第1次“向后转” 第2次“向后转” 第3次“向后转” 第4次“向后转” ∧∧∧∧
∧∨∨∨
∨∨∧∧
∧∧∧∨
∨∨∨∨
可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题. 3．函数ln ||
()x
x x f x e =
的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C ，D ；再由1()12
f -<判断A 选项正确. 【详解】
1.1
1.1ln |1.1|
( 1.1)0f e --=
<，排除掉C ，D ；
12
11ln 122()22
f e e
---=
=
1
22
e <=Q 2e ，
1
()ln 212
f e ∴-=<.
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
4．设点A ，B ，C 不共线，则“()
AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r
”（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】
由于点A ，B ，C 不共线，则
(
)()0AB AC BC AB AC BC +⊥⇔+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
22
AB AC AC AB AC AB ⇔+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22
AC AB ⇔=⇔u u u r u u u r “
AB AC =u u u r u u u r ”； 故“()
AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“AB AC =u u u r u u u r
”的充分必要条件.
故选：C. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.
5．如图是计算
11111
++++246810
值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A ．5k ≥
B ．5k <
C ．5k >
D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】
因为该程序图是计算11111
246810
++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次
所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题． 6．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 1
2
比较即可. 【详解】
由0.50.50.820.8a =>
1sin1sin 23b π<=<==<
11
lg3lg1022
c =<==，
所以有c b a <<.选C. 【点睛】
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.
7．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，
上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤 B ．少1斤
C ．多
13
斤 D ．少
13
斤 【答案】C 【解析】
设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ， 则123891043a a a a a a ++=++=，， 由等差数列的性质得2929441,1,1333
a a a a =∴-=-=＝ ， 故选C
8．已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，关于x 的方程f （x ）＝a 存在四个不同实数根，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．（0，1）∪（1，e ）
B ．10e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
C ．11e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
D ．（0，1）
【答案】D 【解析】 【分析】
原问题转化为221x x
a a =有四个不同的实根，换元处理令t =，对g （t ）
21lnt t t ⎫
=--⎪⎭进行零点个数讨论. 【详解】
由题意，a ＞2，令t
=
， 则f （x ）＝a ⇔2x x x ln a
a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
⇔22
1x x a a -
=
⇔2
21t
-
=⇔210lnt t t ⎫
-=⎪⎭
．
记g （t ）2
1lnt t t ⎫=-⎪⎭
．
当t ＜2时，g （t ）＝2ln （﹣t ）t 1t
-）单调递减，且g （﹣2）＝2， 又g （2）＝2，∴只需g （t ）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．
则2
10lnt t t ⎫--=⎪⎭
2
21
tlnt
t =-， 记h （t ）221
tlnt
t =
-（t ＞2且t≠2）， 则h′（t ）()()
(
)
22
2222222
12122141(1)(1)
t t lnt lnt t t lnt t t t ⎛⎫
-+- ⎪+--+⎝⎭==--．
令φ（t ）2211t lnt t -=-+，则φ′（t ）()()
22222222
21211(1)(1)(1)
t t t t t t t t t +---=-=-++＜2． ∵φ（2）＝2，∴φ（t ）221
1
t lnt t -=-+在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．
∴h′（t ）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2， 则h （t ）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减． 由211222
112
t t tlnt lnt lim
lim t →→+==-
1，即a ＜2．
∴实数a 的取值范围是（2，2）． 故选：D ． 【点睛】
此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.
9．已知函数3(1),1()ln ,1
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）
A ．
2211
11
a b <++ B
C ．2a ab <
D ．(
)(
)
2
2
ln 1ln 1a b +>+
【答案】B 【解析】 【分析】
利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】
∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.
∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，
22
11
11
a b =++，故A 错误；
对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，(
)(
)
2
2
ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；
对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
10．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6y
x a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年
C ．10年
D ．11年
【答案】D 【解析】 【分析】
根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.
【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y
==在回归直线上，
$$ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，
由1
ˆ 1.6 1.115,1016
y
x x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
11．若双曲线C ：2
21x y m
-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）
A ．
49
B ．
94
C ．
23
D ．
32
【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =±
>，320x y +=可化为3
2
y x =-，则32m =，解得4
9
m =
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
12．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32
-
B ．
32
C ．23
-
D ．
23
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果. 【详解】
由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，
所以3+203
230
2a a a =⎧⇒=-⎨
-≠⎩. 故选：A 【点睛】
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，为测量出高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角
060MAN ∠=，C 点的仰角045CAB ∠=以及075MAC ∠=；从C 点测得060MCA ∠=．已知山高
100BC m =，则山高MN =__________m ．
【答案】1 【解析】
试题分析：在ABC V 中，
45,90,100BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ,100
sin 45AC ∴==︒在AMC V 中，75,60,MAC MCA ∠=︒∠=︒Q 45,AMC ∴∠=︒由正弦定理可得
,sin sin AM AC
ACM AMC =∠∠即
sin 60AM =︒解得AM =在Rt AMN V 中，sin MN AM MAN =⋅∠sin 60=︒
150()m =．
故答案为1．
考点：正弦定理的应用．
14．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______. 【答案】29π 【解析】 【分析】
先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积. 【详解】
解：AB BC ⊥Q ,3AB =，4BC =
222AC AB BC ∴=+, 5AC ∴=，
设球O 1的半径为r ，由题得11
345)3422
r r r ++=⨯⨯（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.
所以球2O 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π 【点睛】
本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
15．一个村子里一共有n 个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余1n -个村民中随
机挑选的，当谣言传播(2)k k …
次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
【答案】1
21k n n --⎛⎫ ⎪-⎝⎭
【解析】 【分析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解. 【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是
11
n -， 没有被选中的概率是111
n -
-． 1k -次传播是相互独立的，故为1
1
12111k k n n n ---⎛
⎫⎛⎫-= ⎪
⎪--⎝⎭⎝⎭
故答案为：1
21k n n --⎛⎫ ⎪-⎝⎭
【点睛】
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题. 16．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________.
【答案】())
1,1-⋃+∞
【解析】 【分析】
224,4()4,4
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，(3)3f =，分类讨论即可.
【详解】
由已知，224,4
()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩
，(3)3f =，
若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2
(2)4(2)4(2)3
a a a +<⎧
⎨-+++>⎩
解得a >
11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为())1,1-⋃+∞.
故答案为：())
1,1-⋃+∞
【点睛】
本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，点T 为圆O ：221x y +=上一动点，过点T 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得BA AP =u u u r u u u r
，点P 的轨迹记为曲线C
.
（1）求曲线C 的方程；
（2）若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，且1AB =，试问在曲线C 上是否存在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线l 方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）不存在；详见解析
【解析】 【分析】
（1）设0(T x ，0)y ，(,)P x y ，通过BA AP =u u u r u u u r
，即A 为PB 的中点，转化求解，点P 的轨迹C 的方程．
（2）设直线l 的方程为y kx t =+，先根据||1AB =，可得2
221t t k
+=，①，再根据韦达定理，点在椭圆
上可得22441t k =+，②，将①代入②可得42410k k ++=，该方程无解，问题得以解决 【详解】
（1）设(),P x y ，()00,T x y ，则()0,0A x ，()00,B y ， 由题意知BA AP =u u u r u u u r
，所以A 为PB 中点，
由中点坐标公式得002
02
x x y y ⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
又点T 在圆O ：2
2
1x y +=上，故满足2
2
001x y +=，得2
214
x y +=.
∴曲线C 的方程2214
x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx t =+，
因为1AB OT ==，故2
2
1t t k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，即2221t t k +=①，
联立22
14
y kx t
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()
222418410k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
122841kt x x k +=-+，()21224141
t x x k -=+，
()1212282241kt y y k x x t k t k ⎛
⎫+=++=-+ ⎪+⎝⎭
2241t k =+，
因为四边形OMQN 为平行四边形，故22
82,4141kt t Q k k ⎛
⎫-
⎪++⎝⎭
， 点Q 在椭圆上，故2
22282411
441kt t k k ⎛
⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+
= ⎪+⎝⎭
，整理得22441t k =+②， 将①代入②，得42410k k ++=，该方程无解，故这样的直线不存在. 【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
18．已知函数2()ln 3f x x ax x =+-（a ∈R ）
（1）函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极值； （2）当1a =时，对于任意[]12,1,10x x ∈，当21x x >时，不等式()()()
211221
m x x f x f x x x -->恒成立，求
出实数m 的取值范围.
【答案】（1）极小值为2-，极大值为5
ln 24
--.（2）(],1710-∞- 【解析】 【分析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数a ，再对函数求导，即可求得函数的极值； （2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数()()m
h x f x x
=-，根据()h x 是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果. 【详解】
（1）函数2
()ln 3f x x ax x =+-的定义域为(0,)+∞，
1
()23f x ax x
'=
+-，(1)1230f a '=+-=，1a =， 可知2
()ln 3f x x x x =+-，21231
()230x x f x x x x
-+'=+-==，
解得11x =，21
2
x =
， 可知在10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，(1,)+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 可知函数()f x 的极小值为(1)ln1132f =+-=-， 极大值为11135ln ln 222424f ⎛⎫=+-=--
⎪
⎝⎭
. （2）()()()211221m x x f x f x x x -->
可以变形为()()12
1
2m m f x f x x x ->-， 可得()()1212
m m
f x f x x x -
>-， 可知函数()m
f x x -
在[]1,10上单调递减 2()()ln 3m m
h x f x x x x x x =-=+--，
21()230m
h x x x x
'=+-+≤，
可得3223m x x x ≤-+-， 设3
2
()23F x x x x =-+-，
2
2
11()6616022F x x x x ⎛
⎫'=-+-=--+< ⎪⎝
⎭，
可知函数()F x 在[]1,10单调递减，
32min ()(10)210310101710F x F ==-⨯+⨯-=-，
可知1710m ≤-，
可知参数m 的取值范围为(],1710-∞-. 【点睛】
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
19．已知在多面体ABCDEF 中，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且四边形ECDF 为正方形，且DC //AB ，
36AB DC ==，5AD BC ==，点P ，Q 分别是BE ，AD 的中点.
（1）求证：//PQ 平面FECD ；
（2）求平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17
25
. 【解析】 【分析】
（1）构造直线PQ 所在平面PHQ ，由面面平行推证线面平行；
（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值. 【详解】
（1）过点PH BC ⊥交BC 于H 点，连接QH ，如下图所示：
因为平面CDFE ⊥平面ABCD ，且交线为CD , 又四边形CDFE 为正方形，故可得CE CD ⊥， 故可得CE ⊥平面ABCD ，又CB ⊂平面ABCD ， 故可得CE CB ⊥.
在三角形CBE 中，因为P 为BE 中点，,PH CB CE CB ⊥⊥， 故可得PH //CE ，H 为CB 中点；
又因为四边形ABCD 为等腰梯形，,H Q 是,CB AD 的中点， 故可得HQ //CD ；
又,PH HQ H CD CE C ⋂=⋂=，
且,PH HQ ⊂平面PHQ ，,CD CE ⊂平面DFEC , 故面//PHQ 面EFDC ， 又因为PQ ⊂平面PHQ ， 故//PQ 面FECD .即证.
（2）连接AE ，AC ，作DM AB ⊥交AB 于M 点，
由（1）可知CE ⊥平面ABCD ，又因为DF //CE ，故可得DF ⊥平面ABCD ， 则,DF DM DF DC ⊥⊥；
又因为AB //CD ，DM AB ⊥，故可得DM DC ⊥ 即DM ，DC ，DF 两两垂直，
则分别以DM ，DC ，DF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则22225221DM AD AM =-=-=
(0,0,0)D ，(0,0,2)F ，(0,2,2)E ，
21,2,0)A -，21,3,12P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，(0,2,0)C
设面AEF 的法向量为(),,m x y z r =，则FE u u u r (0,2,0)=，AF u u u r
(21,2,2)=，
则00m FE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 2021220y x y z =⎧⎪⇒⎨++=⎪
⎩， 可取m r
21)=，
设平面PDC 的法向量为n r
(,,)x y z =，则DC u u u r (0,2,0)=，DP u u u r 212⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u
v r u u u v
r 2030y x y z =⎧⇒++=，
可取n
r
(2,0,=，
可知平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为
2222117
22125
n m cos n m θ⋅⨯-===+r r
r r .
【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.
20．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.
（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
，即()
()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.
【详解】
（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b
x
'=
-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >
，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，在,b a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；
当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<
，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
在,b a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2
cos 31
x x h x '=
+-+. 因为0x ≥，所以
(]2
0,21
x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，
所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.
由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥， 即1ln x x ≥+.
当1x >-时，()210x +>，()2
sin 1e 0x x +>，
则()()2
2
sin sin 1e 1ln 1e x
x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦
， 即()()2
sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，
又()
()2
2sin sin 22e
1e x
x x x x ++>+， 所以(
)
()2
sin 22e
2ln 1sin 1x
x x x x ++>+++，
即()()
2
sin 22e
x
f x x x <++.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.
21．如图，四棱锥E ﹣ABCD 的侧棱DE 与四棱锥F ﹣ABCD 的侧棱BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD ⊥，
AB //CD ，3,4,5,32AB AD CD AE AF =====.
（1）证明：DF //平面BCE.
（2）设平面ABF 与平面CDF 所成的二面角为θ，求cos2θ.
【答案】（1）证明见解析（2）7
25
- 【解析】 【分析】
（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF ，然后根据勾股定理计算可得BF ＝DE ，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.
（2）利用建系的方法，可得平面ABF 的一个法向量为n r
，平面CDF 的法向量为m r
，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果. 【详解】
（1）因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ， 因为AD ＝4，AE ＝5，DE ＝3，同理BF ＝3， 又DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ， 所以DE//BF ，又BF ＝DE ， 所以平行四边形BEDF ，故DF//BE ， 因为BE ⊂平面BCE ，DF ⊄平面BCE 所以DF//平面BCE ；
（2）建立如图空间直角坐标系，
则D （0，0，0），A （4，0，0）， C （0，4，0），F （4，3，﹣3），
()()0,4,0,4,3,3DC DF ==-u u u r u u u r
，
设平面CDF 的法向量为m x y z =r
（，，），
由40
4330m DC y m DF x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩
u u u v r u u u v r ，令x ＝3，得()3,0,4m =u r ， 易知平面ABF 的一个法向量为()1,0,0n =r
，
所以35
m n =
r r
cos ＜，＞， 故2
7cos 22cos 125
θθ=-=-. 【点睛】
本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.
22．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且1
3
AFO π
∠=.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点A 作斜率为1k 、()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当
1
211
k k k =
-时，直线MN 过定点. 【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在1Rt AFO ∆中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准
方程；
（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】
（1）在1Rt AFO ∆中，OA b =，11OF c ==
，1AF a =
=，
1
3
AFO π
∠=Q ，16
OAF π
∠=
，1122a AF OF ∴===
，b ∴=
=
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=；
（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y
联立22
143
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 化简得()222
4384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，2122412
43
m x x k -=+，
1211k k k =
-Q ，1212k k k k ∴=+
，1212
=，
∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得()
(
)((
)2
2
121
2
2130k k x x k m x x m
-+-++-+=，
化简得(
(2
3m m =，
m ≠Q
，(3m ∴=
，3
m ∴=，
直线:3MN y kx =++MN
过定点⎛ ⎝. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)2
n
n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）判断公比q 不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q ，进而得到所求通项公式；
（2）求得1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，
计算可得所求和. 【详解】
解：（1）设公比q 为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =， 可得1q =时，317
362
S a ==≠，不成立； 当1q ≠时，()3321712
q S q
-==
-，即2
714q q ++=， 解得12q =
（3
2
-舍去）， 则1
2
11222n n n a --⎛⎫
⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，
前n 项和01211111135(21)2222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ，
12311111135(21)22222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 两式相减可得123111111112(21)222222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦L 111112212(21)1212
n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-， 化简可得1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。