2019年高考试题分类汇编：三角函数(文)

2019年高考试题分类汇编：三角函数(文)
1.要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的
图象向左平移1个单位。

答案为C。

2.已知ω>0，直线x=π/4是函数y=sin(ωx+φ)的两条相邻的
对称轴，则φ=π/4.答案为A。

3.函数y=2sin(-πx/11)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为11.
同时，x=5π/4和x=7π/4是函数f(x)=sin(ωx+φ)的两个零点，则sin2α=2/3.答案为A。

4.若函数f(x)=sin(3x)，则sin2α=-3/4.答案为B。

6.sin47-sin17cos30/cos17=-1/2.答案为C。

7.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下
平移1个单位长度，得到的图像是y=cos(x/2-1)-1.答案为A。

8.在△ABC中，若___<sinC，则△___的形状是钝角三角形。

答案为A。

9.正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，
连接EC、ED，则sin∠CED=1/2.答案为B。

10.已知sinα-cosα=2，α∈(0，π)，则sin2α=-1/2.答案为A。

11.若sinα+cosα=1/√2，则tan2α=1/3.答案为B。

11.已知函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})$，
$b=f(\log_{10}2)$，若$a=f(\log_{10}5)$，则$a-b=$______。

12.若$a+b=1$，则$a-b=$______。

14.设$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若三边的长为连续的三个正整数，且
$A>B>C$，$3b=20a\cos A$，则$\sin A:\sin B:\sin C=$______。

15.在$\triangle ABC$中，若$\angle A=60^\circ$，$\angle
B=45^\circ$，$BC=32$，则$AC=$______。

16.函数$f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{4})$的图像的一条对称轴是$x=$______。

17.将函数$f(x)=\sin \omega x$（其中$\omega>0$）的图像
向右平移1个单位长度，使得所得图像经过点
$(\frac{3\pi}{4},\frac{1}{2})$，则$\omega$的最小值是______。

18.设$\alpha$为锐角，若
$\cos(\alpha+\frac{\pi}{5})=\frac{1}{2}$，则
$\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})=$______。

19.在$\triangle ABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则
$\angle A=$______。

20.在___中，已知$\angle BAC=60^\circ$，$\angle
ABC=45^\circ$，$BC=\sqrt{3}$，则$\angle C=$______，
$AC=$______。

21.当函数y=sin(x)-3cos(x)(0≤x<2π)取得最大值时，x=5π/6.
22.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1，b=2，cos(C)=1，则sin(B)=4/15.
23.函数f(x)=(πsin(x)-cos(x))/2的最小正周期是π。

24.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=π/6，c=2/3，则b=2.
25.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin(A)=3acos(B)。

1）求角B的大小；
2）若b=3，sin(C)=2sin(A)，求a，c的值。

解析】
1）bsin(A)=3acos(B)，由正弦定理可得
sin(B)sin(A)=3sin(A)cos(B)，即得tan(B)=3，故B=π/3.
2）22sin(C)=2sin(A)，由正弦定理得c=2a，由余弦定理
b=a+c-2accos(B)，代入数据可得9=a^2+4a^2-2a*2a*cos(π/3)，解得a=3，故c=6.
26.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，且有
2sin(B)cos(A)=sin(A)cos(C)+cos(A)sin(C)。

Ⅰ）求角A的大小；
Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长。

解析】
Ⅰ）将等式两边化简得sin(2B)=sin(A+C)，由正弦定理可
得b=2sin(B)a，c=2sin(C)a，代入数据可得
4sin(B)cos(A)=sin(A)cos(C)+cos(A)sin(C)，化简得
2sin(B)cos(A)=sin(A+C)=2sin(B+C)cos(B)，故sin(A)=2cos(B)，代入正弦定理得a=2b/sqrt(3)，由余弦定理可得c=sqrt(7)b/3，
故cos(B)=sqrt(3)/2，sin(B)=1/2，sin(C)=sqrt(3)/2，cos(C)=1/2，代入余弦定理可得a=b/2+sqrt(3)b/2，故AD=b/2.
Ⅱ）代入数据可得b=2，c=1，故a=sqrt(7)，故AD=1.
27.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sin(B)(tan(A)+tan(C))=tan(A)tan(C)。

Ⅰ）求证：a,b,c成等比数列；
Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S。

解析】
Ⅰ）将等式化简得sin(B)sin(A+C)=sin(A)sin(C)，由正弦定理可得b^2=ac，故a,b,c成等比数列。

Ⅱ）代入数据可得b^2=2，故b=sqrt(2)，由余弦定理可得cos(B)=1/2，sin(B)=sqrt(2)/2，sin(C)=sqrt(7)/2，cos(C)=1/2，
代入正弦定理可得a=sqrt(14)，故S=sqrt(2*7*12)/4=3sqrt(14)/2.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<ω<π)，其中
φ∈(0,π)，且函数图像如下图所示。

Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
Ⅱ）求函数g(x)=f(x-π/12)-f(x+π/12)的单调递增区间。

解析】
Ⅰ）由题设图像知，函数f(x)的周期T=2π/ω=π/2，且函数图像经过点(π/4,0)。

因此，有Asin(ωπ/4+φ)=0，即
sin(ωπ/4+φ)=0，解得ω=2.又因为点(π/4,0)在函数图像上，所以Asin(2x+φ)=0，即sin(2x+φ)=0，解得φ=π/2.因此，函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π/2)。

Ⅱ）将g(x)展开得到g(x)=2sin2x-2sin(2x+π/6)，化简得
g(x)=sin2x-3cos2x=2sin(2x-π/3)。

因此，g(x)单调递增的区间为[2kπ-π/6,2kπ+π/6]，其中k∈Z。

32.【2019高考重庆文19】
已知函数$f(x)=A\sin(\omega x+\phi)$（其中
$A>0,\omega>0,-\pi<\phi<\pi$）在$x=\dfrac{\pi}{6}$处取得最大值2，且相邻两个交点的距离为$\dfrac{\pi}{6}$。

Ⅰ）求$f(x)$的解析式；
Ⅱ）求函数$g(x)=\dfrac{2}{3}\cos4x-\sin2x-1$在
$\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的值域。

答案】（Ⅰ）$\phi=\dfrac{\pi}{6},\ A=2,\ \omega=4$，即$f(x)=2\sin(4x+\dfrac{\pi}{6})$；
Ⅱ）值域为
$[1,+\infty)\cup\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right]$。

解析】
Ⅰ）由于$f(x)$在$x=\dfrac{\pi}{6}$处取得最大值2，因此有$A=2$，且$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-
f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=A$，即
$2\sin\left(4\times\dfrac{\pi}{3}+\phi\right)-
2\sin\left(4\times\dfrac{\pi}{6}+\phi\right)=2$，化简得
$\cos\phi=\dfrac{1}{2}$，$\sin\phi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，即
$\phi=\dfrac{\pi}{6}$。

又因为相邻两个交点的距离为
$\dfrac{\pi}{6}$，因此有
$4\times\dfrac{\pi}{6}=2\pi\Rightarrow\omega=4$，即
$f(x)=2\sin(4x+\dfrac{\pi}{6})$。

Ⅱ）首先求出$g(x)$的最大值和最小值。

因为
$|\sin2x|\leq1$，所以$-1\leq\sin2x\leq1$，进而有
g(x)\leq\dfrac{2}{3}\cos4x+1-
1=\dfrac{2}{3}\cos4x\leq\dfrac{2}{3}$$
即$g(x)$的最大值为$\dfrac{2}{3}$。

又因为$\cos4x\geq0$，所以$g(x)\geq-\sin2x-1$，又因为$|\sin2x|\leq1$，所以
$g(x)\geq-2$，即$g(x)$的最小值为$-2$。

因此$g(x)$的值域为$[-2,\dfrac{2}{3}]$。

又因为
$g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{2}{3}$，因此$g(x)$在
$\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的值域为
$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}\right]$，即$g(x)$的值域为$[1,+\infty)\cup\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right]$。

33.已知三角形ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、
b、c，求角A和b、c的值。

解：由正弦定理得：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin
B}=\frac{c}{\sin C}$，又因为$\sin C=\sin(180^{\circ}-A-
B)=\sin(A+B)$，所以$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin
B}=\frac{c}{\sin(A+B)}$。

则$a=\frac{b\sin A}{\sin
B}=\frac{c\sin A}{\sin(A+B)}$，即$b=\frac{a\sin B}{\sin A}$，$c=\frac{a\sin(A+B)}{\sin A}$。

代入$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$中，可得$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$\cos
B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，$\cos C=\frac{a^2+b^2-
c^2}{2ab}$。

代入$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}$中，可得
$c=3\sin A-2$，$b=\sqrt{3\sin^2 A-2\sin A+1}$。

34.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。

1) 求$f(x)$的定义域和最小正周期；
2) 求$f(x)$的单调递减区间。

解：(1) $f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}=\frac{(sinx-cosx)2\sin x\cos x}{\sin x}=2(sin x-cos x)\cos x$，所以$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq k\pi,k\in Z\}$，最小正周期为$\pi$。

2) $f'(x)=2(\cos x+\sin x)\cos x-2(sin x-cos x)\sin x=4\cos^2 x-2\sin x\cos x-2$。

当$4\cos^2 x-2\sin x\cos x-2<0$时，$f(x)$单调递减。

解不等式$4\cos^2 x-2\sin x\cos x-2<0$，可得
$x\in(\frac{\pi}{8}+k\pi,\frac{5\pi}{8}+k\pi)$，其中$k\in Z$。

35.已知函数$f(x)=A\sin(\omega x-
\frac{\pi}{6})+1$（$A>0,\omega>0$）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。

1) 求函数$f(x)$的解析式；
2) 设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。

解：(1) 设相邻两条对称轴的$x$坐标分别为$a$和
$a+\frac{\pi}{2}$，则$f(a)=f(a+\frac{\pi}{2})=1$，
$f(a+\frac{\pi}{4})=3$。

根据$f(x)$的周期性和对称性，可得
$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1=3\sin(\omega(x-a-
\frac{\pi}{4}))+1$。

由于相邻两条对称轴之间的距离为
$\frac{\pi}{2}$，所以$a+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=a+\pi$，
解得$a=\frac{\pi}{4}$。

代入$f(x)$的解析式中，可得
$f(x)=3\sin(\omega(x-\frac{\pi}{4}))+1$。

2) 由$f(\alpha)=2$，可得$3\sin(\omega(\alpha-
\frac{\pi}{4}))+1=2$，解得$\sin(\omega(\alpha-\frac{\pi}{4}))=-\frac{1}{3}$。

由于$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以
$\omega(\alpha-\frac{\pi}{4})\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$。

又因为$\sin x$在$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上单调递增，
所以$\alpha-\frac{\pi}{4}\in(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6})$，即$\alpha\in(\frac{\pi}{12},\frac{\pi}{4})$。

考点】三角函数的基本关系式，解三角形
解析】本题考查三角函数的基本关系式和解三角形的能力。

首先根据已知条件，可以通过余弦定理求出b的值，然后根据cosA和c的值，可以用正弦定理求出sinA和sinC的值。

然后
根据sinA和sinC的关系，可以用同角三角函数关系式求出
cosB的值。

最后，根据cosB的值，可以用余弦定理求出a的值。

整道题目需要注意精度控制和符号判断。