河南师范大学附属中学2017-2018学年高二4月月考数学(文)【含解析】含答案

河南师范大学附属中学2017-2018学年高二4月月考
数学（文）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）
一、单选题
1．复数212i
i +-的虚部是（ ）
A. i
B. i -
C. 1
D. 1-
2．若集合{}2|230A x x x =
--<，集合{}|1B x x =<，则A B ⋂等于（ ） A.
()1,3 B. (),1-∞- C. ()1,1- D. ()3,1-
3．已知0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则（ ） A. b a c << B. c a b << C. a c b << D. c b a <<
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）
B.
C. D. 2
5．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A. 43- B. 34-
C. D. 2 6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D. 7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 1- 8．已知 且 ，则 （ ） A. B. C. D. 9．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）
A.
B. C. 2
D. 10．下列说法错误的是( ) A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是：“若 ，则 ” B. “ ”是“ ”的充分不必要条件 C. 若 且 为假命题，则 、 为假命题 D. 命题 “ 使得 ”，则 “ ，均有 ” 11．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D.
此卷只装订不密封 班级
姓
名
准
考证
号
考
场号
座位
号
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,1]
B ．(1,)+∞
C ．(0,1) D
．[1,)+∞
第II 卷（非选择题）
二、填空题
13．比较大小：（用“>”或“<”符号填空）．
14．已知向量()2,1a =-， ()0,1b =，则2a b +=__________．
15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ， B ， C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过B 城市；
乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市．
由此可判断乙去过的城市为__________．
16与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是____．
三、解答题
17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3cos cos b C a B c B =
-.
（1）求cos B 的值；
（2）若2BA BC ⋅=，且b =a 和c 的值.
18．在等差数列{}n a 中， 2723a a +=-， 3829a a +=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[)160,180， [)180,200，
[)200,220， [)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x 的值； （2）求理科综合分数的众数和中位数； （3）在理科综合分数为[)220,240， [)240,260， [)260,280， []280,300的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[)220,240的学生中应抽取多少人？ 20．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， //AB DC ， 45ABC ∠=， 1DC =， 2AB =， PA ⊥平面ABCD ， 1PA =. （1）求证： //AB 平面PCD ； （2）求证： BC ⊥平面PAC ； （3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积. 21．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ， 2F ，且122FF =，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点，且2AF B ∆的面积为7，求直线l 的方程． 22．已知()ln f x x x =， ()322g x x ax x =+-+. （1）若函数()g x 的单调递减区间为
，求函数()y g x =的图象在点()1,1-处的切线方程；
（2）若不等式()()2'2f x g x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.
河南师范大学附属中学2017-2018学年高二4月月考
数学（文）答 案
1．C
【解析】试题分析： ()()
()()212
2121212i i i i i i i +++==--+,所以该复数的虚部为1，故选C.
考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.
2．C
【解析】A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}，集合B={x|x ＜1}，
则A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}=（﹣1，1），
故选：C ．
3．D 【解析】3x y =是定义域上的增函数， 0.40331∴>= 0.4x y =是定义域上的减函数，
3000.40.41∴<<= 0.4log y x =是定义域上的减函数，
0.40.4log 3log 10∴<=
c b a ∴<<
故选D
4．B
【解析】由三视图还原原几何体如图，
四棱锥A ﹣BCDE ，其中AE ⊥平面BCDE ，
底面BCDE 为正方形，则
故选： B ． 5．A 【解析】试题分析：由2228130x y x y +--+=配方得()()22144x y -+-=，所以圆心为()1,4，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，
1=，解得43a =-，故选A. 【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围． 6．D 【解析】数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有
m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率
故选：D ． 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 7．C 【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为： 0,1;0,2;1,3;S i S i S i =====-= 1,4;0,5;0,6;S i S i S i =-=====程序结束，输出0S =，故选C ． 8． 【解析】试题分析：根据题意，由诱导公式 解得： ，又因为： 且 ，解得： ，所以： ，所以答案为B ． 考点：1．诱导公式；
2．同角三角函数的基本关系． 9．A
【解析】试题分析：∵OM PF ⊥，且FM PM =,∴OP OF =，∴45OFP ∠=︒,∴
sin45OM OF =⋅︒
，即a c =
∴c
e a ==故选A ．
考点：双曲线的简单性质．
10．C
【解析】逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A 是正确的； x >1时，|x |>0成立，但|x |>0时，x >1不一定成立，故x >1是|x |>0的充分不必要条件，故B 是正确的；
p 且q 为假命题，则p 和q 至少有一个是假命题，故C 不正确；
特称命题的否定是全称命题，故D 是正确的。

故选C.
11．C
【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以 ＝
＝ ，当且仅当 ，即 时等号成立，故
选C ．
考点：1、对数的运算；2、基本不等式．
12．D
【解析】 可知函数的导数大于或等于2，所以，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -最大值为1，故1a ≥.
考点：函数导数与不等式，恒成立问题． 13．>
【解析】∵
2
（
2
0，
0，
故答案为：＞．
14
【解析】向量a =（2，﹣1），b =（0，1），则|a +2b |=|（2，1）
故答案为：
15．A 【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A 考点：进行简单的合情推理 16
【解析】直线l 过A （2，4），B （﹣2，1），
0，1）为圆心，2为半径的半圆， 当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d=r
，
解得： 当直线l 过B 点时，直线l
则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数
k
故答案为： 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 17．(1) 1cos 3B =；(2)
a c == 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将cos 3cos cos
b C a B
c B =-边化角得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，即可求出cos B 的值；（2）根据向量数量积的公式将2BA BC ⋅=转化为cos 2ac B =，结合cos B 的值及余弦定理即可求出a
和c 的值.
试题解析：（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，
则2sin cos 6sin cos 2sin cos R B C R A B R C B =-，
所以sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=
所以()sin 3sin cos B C A B +=
由此可得sin 3sin cos A A B =，
又因为在ABC ∆中sin 0A ≠，所以1
cos 3B =；
（2）由2BA BC ⋅=得cos 2ac B =，
由（1）知1
cos 3B =，所以6ac =，
又由余弦定理222222cos 12b a c ac B a c =+-⇒+=，
于是有226{ 12ac a c =+=
，解得{a c ==，
所以a c ==18．(1) 32n a n =-+ (2) 【解析】试题分析：（1）依题意 a 3+a 8﹣（a 2+a 7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{a n }的通项公式．
（2）由数列{a n +b n }是首项为1，公比为2的等比数列，求出12n n n b a -=-=3n ﹣2+2n ﹣1
，再
分组求和即可
试题解析： （1）设等差数列{}n a 的公差是d ，
依题意()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-，
所以2712723a a a d +=+=-，解得11a =-，
所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+． （2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，
得12n n n a b -+=，即1322n n n b --++=，
所以1
232n n b n -=+-，
所以()()21
122214732n n S n -⎡⎤=+++⋯+++++⋯+-⎣⎦
19．(1) 0.0075 (2)230， 224（3）5人 【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x 的值即可； （2）根据直方图求出众数，设中位数为a ，得到关于a 的方程，解出即可； （3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可． 试题解析： （1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=， 解得0.0075x =，∴直方图中x 的值为0.0075．
（2 ∵()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<， ∴理科综合分数的中位数在[)220,240内，设中位数为a ， 则()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=， 解得224a =，即中位数为224． （3）理科综合分数在[)220,240的学生有0.01252010025⨯⨯=（位）， 同理可求理科综合分数为[)240,260， [)260,280， []280,300的用户分别有15位、10位、5位，
∴从理科综合分数在[)220,240的学生中应抽取 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）. 【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定，只需证明直线与平面上的某一条直线平行即可，而条件中直接给出了，因此结合线面平行的判定，可直接证明平面
；（2）首先根据条件中给出的数据易得，从而根据勾股定理可得，再由条件平面可得，从而根据线面垂直的判定即可证得平面；
（3）由是即可得到面的距离是到面距离的一半，从而
.
试题解析：（1）∵，且平面，平面，∴平面； 4分
（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，
∴，又∵，∴，在中，，
∴，，∴，则，
∴，∴， 8分
又∵平面，∴，，∴平面； 10分
（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半，
∴. 14分
考点：利用导数考查函数的单调性.
21．(1) 2
2
143x y += (2) ()1y x =±+
【解析】试题分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭在椭圆C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C 的方程；
（2）为避免讨论可设过1F 的直线:1l x ty =-，和椭圆方程联立后化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积， 2AF B
的面积就是
12121
2S F F y y =-==，由此求出t 的值，则直线l 的方程可求．
试题解析：
：(1) 22
143x y +=
(2)设:1l x ty =-代入2234120x y +-=，得()2234690t y ty +--= 122122634{ 934t y y t y y t +=+∴-=+，
∴12234y y t -=+
∴1212212347S F F y y t =-==+ 21t =，故所求直线方程为： 10x y ±+= 【点睛】本题考查利用定义求椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，解题时注意设而不求的数学方法的应用，特别注意该题把直线l 的方程设为1x ty =-，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况． 22．（1）450x y -+=；（2）[)2,-+∞． 【解析】试题分析: (1)求出函数g(x)的导函数,令导函数小于0,根据不等式的解集得到相应方程的两个根,将根代入求出a 值,再根据g(x)的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率,利用点斜式求出切线方程;(2)求出不等式,分离出参数a,构造函数h(x),利用导数求出最大值,求出a 的范围. 试题解析: （1）()2321g x x ax =+-'，由题意，知23210x ax +-<的解集是 即方程23210x ax +-=的两根分别是
a=-1） 将1x =或代入方程23210x ax +-=，得1a =-， ∴()322g x x x x =--+， ()2321g x x x '=--，∴()14g '-=， ∴()g x 的图像在点()1,1P -处的切线斜率()14k g ='-=， ∴函数()y g x =的图像在点()1,1P -处的切线方程为： ()141y x -=+，即450x y -+=； （2）∵()()22f x g x '≤+恒成立， 即22ln 321x x x ax ≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，
当01x <<时， ()()0,h x h x '>单调递增；当1x >时， ()()0,h x h x '<单调递减， ∴当1x =时， ()h x 取得最大值()12h =-，∴2a ≥-．故实数a 的取值范围是[)2,-+∞．。