信号分析复习课

21
傅立叶级数的指数形式
运算比较方便
1 j n jn 0t jn 0t x(t ) An e e X (n 0 )e 2 n n
1 X (n0 ) T0

T0 2 T 0 2
x(t )e
jn0t
dt
n 0,1,2,
22
例1

x( ) ( t )d x(t )
x(t ) (t t0 )

x( ) (t t0 )d x( ) ( (t t0 ))d x(t t0 )


x(t t1 ) (t t2 ) x(t t1 t2 )
4、常用信号的拉氏变换
u(t )
u(t )a
t
1 S
1 sa
t
n
n! s n 1
1
(t )
(t t0 )
e
st 0
8( s 2) X b ( s) , 1 例：求 ( s 5)(s 3)(s 1)
所对应的信号。

解：对Xb(s)进行部分分式展开，得 3 10 7 X b ( s) 1 s 1 s 3 s 5 3 7 X b1 ( s ) , 1 X bs ( s) , 5 s 1 s5 10
1 2
3、奇异信号：单位冲激信号－V
冲激信号的性质

偶函数 积分 筛选
(t ) (t )

t

( )d u(t )
d dt
u(t ) (t )


(t t0 ) x(t )dt



x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 )
025ey?????因为xn的dtft是x?1111025?0251xn2ynxn?????2???jjyxex????222211jjjj??????5510251025jjjeeyeee??????????????利用dtft对1025un1025ndtftje????????利用线性和移位性质求得2yn025un0252nnun????5信号的频谱特征?连续时间信号的频谱是非周期的56?离散时间信号的频谱是周期的?周期信号具有离散频谱?非周期信号具有连续频谱傅立叶变换的离散性和周期性时域周期性频域离散性时域离散性频域周期性时域非周期频域连续性时域连续性频域非周期57离z变换与其他变换之间的关系?z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系58?z变换与dtft的关系?z变换与dft的关系一z变换与拉普拉斯变换的关系?????????????抽样信号?取拉氏变换?snxtxnttnt????t59?stsnstnsntnxsxnttntedtxnttntedtxnte??????????????????????????令即stez?11lntxnzxnznxssxsxzxz?????n????1lntsz??stj?tjzeeze?????60sz?1lntzxnsszlxt??从s平面到z平面的映射stze???61?j?ttjt?jt?jsj?zeeezeze????????101????tezj?s??1102????j?s?1111rezimzj62?z103??z??二z变换与dtft的关系63?离散信号xn的z变换是xn乘以实指数信号rn后的dtft?可得xnrn的dtft????xnrxnrxnnnnjnjnnere?????????????????f?令复变量jzre???定义离散时间信号序列xn的z变换64?如果即r11z?xnexnf?jjnze?n?xzx?????????dtft就是在z平面单位圆上的z变换
x(t0 )
x(0)
0
t
12
冲激序列对连续信号采样
x(nT ) x(t )
x(t )
t
n
(t nT )

x(nT )
n
13
冲激偶信号——
' (t ) (t )
d dt
取极限
0
求 导
(t )
取极限
0
(t )
'
14
时间尺度变换
15
4、卷积运算-定义

求下图所示的周期矩形脉冲信号的复指 数形式傅立叶级数表示式。
23

解：如图所示的矩形脉冲信号在一个周期内 可表示为
E x(t ) 0
2 其它
T0 2 T 0 2


t

2

求复傅立叶系数
1 X (n 0 ) T0

x(t )e
jn 0t
1 dt T0

n
ne

jn s t
1 T /2 n T (t )e jnt dt T T / 2 1 T /2 (t mT )e jnt dt T / 2 m T 1 T /2 1 jn t dt T / 2 (t )e T T
16

例2：设进行卷积运算的两个信号为
0 x1 (t ) 2 0 t 2 2t 2 t2
0 3 x 2 (t ) 4 0 t0 0t 2 t2

分别如图所示，求其卷积。
17
卷积求解步骤：


将x1(t)和x2(t)进行变量替换，成为 x1 ( )和x2 ( )； 并对 x2 ( ) 进行翻转运算，成为 x2 ( ) 将 x2 ( ) 平移t，得到 x2 (t ) 。 将x1 ( ) 和 x2 (t ) 相乘，得到被积函数。 将被积函数进行积分，即为所求的卷积积分，它 是t的函数。

M
性能不易控制 性能对系数的变化太敏感
IIR滤波器的传递函数一般可表示为
H z bi z i 1 a i z i
i 1 i 0 N
Y z ,N M X z

N阶差分方程为
yn bi xn i ai yn i
信号与处理
3、IIR数字滤波器的网络结构
直接型 级联型 并联型


方块图
X1(s）
X2(s） X(s） Y(s） Y(s)=－X1(s) －X2(s)
G(s)
Y(s）
Y(s)=G(s)X(s)
X(s）
G1(s)
G2(s)
Y(s）
Y(s)=G1(s)X(s)- G2(s)X(s)
（1）直接型

对于两个连续时间信号x1(t)和x2(t) ，可以定 义它们的卷积积分运算，简称卷积运算

x1 (t ) x2 (t ) x1 ( ) x2 (t )d x2 ( ) x1 (t )d

有
x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x1 (t )
x1 (t ) x2 (t ) x1 ( ) x2 (t )d x2 ( ) x1 (t )d

18


19

卷积结果：
20
任意信号与冲激信号的卷积
x(t ) (t )

x( ) (t )d


x1 (t ) X 1 ( )
x2 (t ) X 2 ( )

则
x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( )
30
例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱
G (t )
G ( )
卷
G (t )
G(t ) * G(t )
乘
G ( )
E 2 F ( ) Sa 2 4
X (n 0 )

0
2
4
n0


n
2 4
n0
27


周期矩形脉冲的频谱变化规律：

周期T0不变，改变脉宽τ 脉宽τ不变，改变周期T0
2 0 T0
0
2


2
T0


2

28
10、卷积定理

时域卷积定理 频域卷积定理

29
（1） 时域 卷积定理

若

由傅里叶变换的频域卷积定理
1 X s X * P 2 代入P（ ） 1 X s X ns Ts n
38
求：周期性冲激串δT(t)的傅里叶变换

解：冲激串可表示为傅立叶级数形式
T (t )
n
(t nT0 )
e
jn0t
2 ( n0 )
F
n
因此， P()=s
n
s

39
时域理想抽样的傅立叶变换
x(t )
FT
0
1
p( ) s
X ( )
时 域 抽 样
P(t ) (1)
0
T (t )
n
11
筛选特性
如果单位冲激信号与一个在t=0处连续、且 处处有界的信号x(t)相乘并在区间内积分，结果 为 x(0) ，其余各点均为零。



(t t0 ) x(t )dt
x(t0 ) (t t0 )dt x(t0 t x(0)
25

因此，有
n 0 E X (n 0 ) Sa( ) T0 2

周期矩形脉冲信号复指数形式傅立叶级 数展开式为
E x(t ) T0
n 0 jn0t Sa 2 e n

26
E -T0
2 0 T0

x(t)

2

2
0
T0
t
x(t )e
st
dt
3、采样信号的频域分析

设连续信号x(t)的傅里叶变换为X()，抽样后信 号xs(t)的傅里叶变换为xs() ，已知周期性冲激 串δT(t)的傅里叶变换为
P()=s

n
n
s
信号在时域被抽样 后，它的频谱xs() 是连续信号频谱 X()的形状以抽样 频率为间隔周期性 地重复得到。
直接I型：总的网络由两部分网络联接组成， 第一个网络实现零点，第二个网络实现极点
直接II型：先实现极点部分，后实现零点部分，
其中的延时单元可以合并共用
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n) b1x(n 1) b2 x(n 2)
x(n)
1
2
a1i
H1 ( z)
z
1
b1i
z b1i
1
H 2 ( z)

a2i
z 1
b2i
有利于调节需要控制的零极点
(3)并联型
b0i H i ( z) 1 a1i z 1
H ( z) C H i ( z)
i 1
k
b0i b1i z 1 Hi ( z) 1 a1i z 1 a2i z 2
, 3
2、拉氏变换与傅氏变换的关系



x(t )e jt dt
因果
0

0

e
t
乘衰减因子



x(t )e
( j ) t
dt


0
x(t )e
( j ) t
s j
dt
s j




x(t )e
st
dt

0
b0i
b0i
a1i
H1 ( z)
H 2 ( z)
z 1
a1i
z 1
1
b1i

a2i
z
有利于调节需要控制的极点，但不能调节零点
例 3 求下列传递函数
1 z 1 z 2 H z 1 0.2 z 1 0.4 z 2 1 0.3z 1 1 0.5z 1 0.6 z 2
i 0 i 1 M N
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n) b1x(n 1) b2 x(n 2)
b0
x(n)
z 1

b1
y (n)
a1
z 1
x(n 1)
z
1
y(n 1)
z 1
x(n 2)
b2
a2
y(n 2)
31
卷积
FT
FT
相乘
32
（2）频域卷积定理

若
x1 (t ) X 1 ( )
x2 (t ) X 2 ( )

则
1 x1 (t ) x 2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( ) 2
33
2、拉普拉斯变换的收敛域





连续信号x(t)的拉普拉斯变换的收敛域的边界是s平 面上平行于jω轴的直线。 右边信号x(t)u(t-t0)的拉普拉斯变换如果存在，则其 收敛域具有σ >σ 0形式，即收敛域具有左边界σ 0 。 左边信号x(t)u(-t+t0)的拉普拉斯变换如果存在，则 其收敛域具有右边界σ 0 。 双边信号的拉普拉斯变换如果存在，则其收敛域必 为平面上具有左边界和右边界的带状区域。 如果时限信号的拉普拉斯变换存在，则其收敛域必 为整个s平面。
s3 t 3t x3 (t ) 7e 5t u(t ) x1 (t ) 3e u(t ) x (t ) 10e u(t ) 2
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x3 (t ) (3e t 10e 3t 7e 5t )u(t )
X b 2 ( s)

2
Ee
2 2

jn 0t
dt
E 1 jn 0t e T0 jn 0

2
1 sin n 0 E 2 T0 1 n 0 24 2

sin x 出现 形式的函数，在信号理论中经常 x
遇到，称为取样函数，记作Sa(x),它是偶函数， 当x 0 时， Sa(x)=1为最大值，随着 x 的增大而总趋势衰减， x ,2 ,3 , 为过零点，每2π起伏一次。
z 1
b0
y (n)
a1
z 1
b1
a2
b2
(2)级联型
1 b1i z H i ( z) 1 1 a1i z
1
H ( z ) A0 H i ( z )
i 1
k
1 b1i z b2i z Hi ( z) 1 2 1 a1i z a2i z
a1i




的信号流图。
解： H z H1 z H 21 z H 22 z
1 H 1 z 1 1 0.3z
1 z z H 21z 1 0.2 z 1 0.4 z 2
H 22 z 1 1 0.5 z 1 0.6 z 2