离散数学王元元习题解答 (3)
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
《离散数学》 习题解答
离散数学习题解 ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).
离散数学习题解 ⇔¬ ((p→q) ∧ (q→p)) ⇔¬ ((¬p∨q) ∧ (¬q∨p)) ⇔ (p∧¬q) ∨ (q∧¬p) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨¬p) ∧ (¬q∨q) ∧ (¬p∨¬q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨¬p) ∧ (p∨q) ∧ (¬q∨¬p) ∧ (¬q∨q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) 2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值: (1)( ¬p→q) → (¬q∨p) (2) ¬ (p→q) ∧q∧r (3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r) (1)(¬p→q) → (¬q∨p) ⇔ ¬(p∨q) ∨ (¬q∨p) ⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p(吸收律)⇔ (p¬∨p)¬∧q ∨ p∧(q¬∨q) ⇔ p¬∧q ¬∨p¬∧q ∨ p∧q ∨ p¬∧q ⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10 ⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3 ⇔ ∑(0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11. (2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式. 2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ¬ (q→¬p) ∧¬p (2)(p∧q) ∨ (¬p∨r) (3)(p→ (p∨q)) ∨r (1) ¬ (q¬→p) ∧ ¬p ⇔ ¬(¬q¬∨p) ∧ ¬p ⇔ q∧p ∧ ¬p ⇔ q∧0 ⇔0 ⇔ M0∧M1∧M2∧M3 这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)M4, 成假赋值为 100. (3)主合取范式为 1, 为重言式.
离散数学课后习题答案（第三章）（doc）
a） 用矩阵运算和作图方法求出 R 的自反、对称、传递闭包； b） 用 Warshall 算法，求出 R 的传递闭包。
解 a） 0 1 00
MR= 1 0 1 0 0 0 01
0 0 00
R 的关系图如图所示。
a
b
d
c
MR+MIA=
0 1 00 1 0 10
反之，若 S∩ScIX，设＜x，y＞∈S 且 ＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ＜x，y＞∈S∩Sc ＜x，y＞∈IX 故 x＝y，即 S 是反对称的。
3-7.3 设 S 为 X 上的关系，证明若 S 是自反和传递的，则 S○S=S，其逆为真 吗？
证明 若 S 是 X 上传递关系，由习题 3-7.2a）可知（S○S）S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜ x，x＞ ∈S， 因此有＜ x，y ＞∈S○S， 即 SS○S。得到 S=S○S.
自反的； b）若 R1 和 R2 是反自反的，则 R1○R2 也
是反自反的； c）若 R1 和 R2 是对称的，则 R1○R2 也是
对称的； d）若 R1 和 R2 是传递的，则 R1○R2 也是
传递的。
证明 a）对任意 a∈A，设 R1 和 R2 是自 反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即 R1○R2 也是 自反的。
解：L= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>, <2,6>,<3,6>,<1, 1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>, <2,2>,<3,3>,<6,6>}
离散数学王元元习题解答
第三篇图论第八章图图的基本知识内容提要8.1.1 图的定义及有关术语定义图（graph）G由三个部分所组成：（1）非空集合V(G)，称为图G的结点集，其成员称为结点或顶点（nodes or vertices）。
（2）集合 E(G)，称为图G的边集，其成员称为边(edges)。
I（3）函数ΨG：E(G)→(V(G)，V(G))，称为边与顶点的关联映射（associatve mapping）。
这里（V(G)，V(G)）称为VG的偶对集，其成员偶对（pair）形如（u，v），u，v为结点，它们未必不同。
ΨG(e) = (u,v)时称边e关联端点u，v。
当(u,v)用作序偶时(V(G)，V(G)) =V(G) ?V(G)，e称为有向边，e以u为起点,以v为终点, 图G称为有向图（directed graph）；当(u,v)用作无序偶对时，(u,v) = (v,u)，称e为无向边（或边），图G称为无向图（或图）。
图G常用三元序组< V(G)，E(G)，ΨG>,或< V，E，Ψ>来表示。
显然，图是一种数学结构，由两个集合及其间的一个映射所组成。
定义8. 2 设图G为< V，E，Ψ>。
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。
本书只讨论有限图。
（2）当ΨG 为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足Ψ(e1) = Ψ(e2)的不同边e1,e2,为重边,或平行边。
（3）当Ψ(e)＝(v,v)（或<v,v>）时，称e为环（loops）。
无环和重边的无向单图称为简单图。
当G为有限简单图时，也常用（n，m）表示图G，其中n = ?V ?，m = ?E ? 。
（4）Ψ为双射的有向图称为有向完全图；对每一(u，v)，u ? v，均有e使Ψ(e)＝(u,v)的简单图称为无向完全图，简称完全图，n个顶点的完全图常记作Kn。
（5）在单图G中，Ψ(e)＝(u,v)（或<u，v>）时，也用(u,v)(或<u,v>)表示边e，这时称u，v邻接e, u,v是e的端点（或称u为e的起点，v为e的终点）;也称e关联结点u , v 。
离散数学第三章习题详细答案
3.9解：符号化：p：a是奇数. q：a是偶数. r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：确。
方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q⇔1即证得该式为重言式，则原结论正确。
方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r) →(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7可知该式为重言式，则结论推理正确。
3.10. 解：符号化：p：a是负数. q：b是负数. r：a、b之积为负前提： r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：不正确。
方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) →(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q)) ∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只含5个极小项，课件原始不是重言式，因此推理不正确3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
离散数学王元元习题解答
离散数学王元元习题解答-（)————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ＊第三章消解原理3.１斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句，seｎteｎcｅs),所说前束范式均指前束合取范式。
全称量词的消去是简单的。
因为约定只讨论语句,所以可将全称量词全部省去,把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。
例如A(x）实指∀xA(x)。
存在量词的消去要复杂得多。
考虑∃xＡ（ｘ)。
(1）当Ａ(x）中除x外没有其它自由变元,那么,我们可以像在自然推理系统中所做那样,可引入A(e/ｘ）,其中ｅ为一新的个体常元,称e为斯柯伦(Skolem)常元，用Ａ(e/x)代替∃ｘＡ(ｘ),但这次我们不把A(e/ｘ)看作假设,详见下文。
(2)当A中除x外还有其它自由变元y1,…,yｎ,那么∃ｘA(ｘ,y1,…,yｎ）来自于∀y1…∀y n∃ｘＡ（x, ｙ1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于ｙ1,…，ｙn的取值。
因此简单地用A(ｅ/x,ｙ１,…,y n)代替∃xA(x,y1,…,y n）是不适当的,应当反映出x对ｙ１,…,ｙn的依赖关系。
为此引入函数符号f,以Ａ(ｆ(y1,…，ｙn)/x，ｙ1,…,y n)代替∃xA(x, y１,…,ｙn），它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x,使x, ｙ1,…,yｎ满足Ａ。
这里f是一个未知的确定的函数,因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。
定理３.１(斯柯伦定理)对任意只含自由变元x,y1，…,yｎ的公式Ａ(x，y１，…,y n),∃xA(x, y1,…,y n）可满足，当且仅当A（f(y1,…,y n), y1，…,y n)可满足。
这里ｆ为一新函数符号；当n = 0时,f为新常元。
定义3．1设公式Ａ的前束范式为B。
离散数学课后习题答案(第三章)
R1={＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,c＞，＜c,b＞，＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞}
R2={＜a,a＞，＜b,b＞，＜c,c＞，＜b,c＞，＜c,b＞}
R1-R2={＜a,b＞，＜b,a＞，＜a,c＞，＜c,a＞}
所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。
r（R1-R2）=（R1-R2）∪IA
={＜a,b＞,＜b,a＞,＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞,＜c,c＞}
不是A上的等价关系。
3-10.8设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。
c）若R1是A上等价关系，则
＜a,a＞∈R1＜a,a＞∈R1○R1
所以R12是A上自反的。
若＜a,b＞∈R12则存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。因R1对称，故有
＜b, c＞∈R1∧＜c,a＞∈R1＜b, a＞∈R12
即R12是对称的。
若＜a,b＞∈R12∧＜b, c＞∈R12,则有
a）（A×A）-R1；
b）R1-R2；
c）R12；
d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。
解a）（A×A）-R1不是A上等价关系。例如：
A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}
A×A={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}
（A×A）-R1={＜a,b＞，＜b,a＞}
所以（A×A）-R1不是A上等价关系。
即R是对称的。
3设任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，对
离散数学第四版课后答案(第3章)
( A B C) ( A B) ((A B) ( A B)) (C ( A B))
= (C ( A B)) C ( A B). 易 见 ， C (A B) C, 但 不 一 定 有 C (A B) C.如 令 A B C {1}.时，等式（4）不为真。类假地，等式（5）的左 边经化简后得 (A C) B ，而 (A C) B 不一定恒等于 A-C。 3．17 （1）不为真。（2），（3）和（4）都为真。对于题 （1）举反例如下：令 A {1}, A {1}, B {1,4},C {2}, D {2,3}, 则 A B 且 C B ，但 A C B D ，
这是 S T 的充公必要条件,从而结论为真. 对 于 假 命 题 都 可 以 找 到 反 例 , 如 题 (2) 中 令 S {1,2},T z{1}, M {2}即可;而对于题(5),只要 S 即可. 3.9 (2),(3)和(4)为真,其余为假. 3.10 (1) A {0,1,2}. (2) A {1,2,3,4,5} (3) A {1} (4) A { 0,0 , 0,1 1,0 , 0,2 , 1,1 , 2,0 , 0,3 ,
A B .
（4）易见，当 A=B 成立时，必有 A-B=B-A。反之，由 A-B=B-A 得
( A B) B (B A) B
化简后得 B A ，即 B A，同理，可证出 A B ，从而 得到 A=B。
3．18 由| P(B) | 64 可知|B|=6。又由| P(A B) | 256 知| A B | 8 ， 代入包含排斥原理得
{,{1},{2},{1,2}}}.
(4) P( A) {,{{1}},{{1,2}},{{1}},{{1,2}} (5) P( A) {,{1},{1},{2},{1,1},{1,2}{1,2}{1,1,2}. 分析 在做集合运算前先要化简集合,然后再根据题目 要求进行计算.这里的化简指的是元素,谓词表示和集合公 式三种化简. 元素的化简——相同的元素只保留一个，去掉所有冗余 的元素。 谓词表示的化简——去掉冗余的谓词，这在前边的题解 中已经用到。 集合公工的化简——利用简单的集合公式代替相等的 复杂公式。这种化简常涉及到集合间包含或相等关系的判别。 例如，题（4）中的 A {{1,1},{2,1},{1,2,1}}化简后得 A {{1},{1,2}}， 而题（5）中的 A {x | x R x3 2x2 x 2 0} 化 简为 A {1,1,2}。 3．15
离散数学王元元习题解答
离散数学王元元习题解答1命题演算及其形式系统1.1 命题与联结词容提要1.1.1 命题我们把对确定的对象作出判断的述句称作命题（propositions），当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称该命题假（false）。
“真、假”常被称为命题的真值。
自然语言中“并非、或者、并且、如果…，那么…、当且仅当” 这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题或原子（atoms），而把由原子命题和逻辑联结词共同组成的命题称为复合命题（compositive propositions）。
1.1.2 联结词否定词(negation)“并非”（not），用符号┐表示。
设p表示一命题，那么┐p表示命题p 的否定。
p真时┐p假，而p假时┐p真。
┐p读作“并非p”或“非p”。
合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。
设p，q 表示两命题，那么p∧q表示合取p和q所得的命题，即p和q同时为真时p∧q真，否则p∧q为假。
p∧q读作“p并且q”或“p 且q”。
析取词(disjunction)“或”（or）用符号∨表示。
设p，q表示两命题，那么p∨q表示p和q 的析取，即当p和q有一为真时，p∨q 为真，只有当p和q均假时p∨q为假。
p∨q读作“p或者q”、“p 或q”。
蕴涵词(implication)“如果……，那么……”（if…then…），用符号→表示。
设p，q表示两命题，那么p→q表示命题“如果p，那么q”。
当p真而q假时，命题p→q为假，否则均认为p →q为真。
p→q中的p称为蕴涵前件，q称为蕴涵后件。
p→q的读法较多，可读作“如果p则q”，“p蕴涵q”，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q当p”，“p仅当q”等等。
数学中还常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题，否命题，逆否命题。
离散数学教程-王元元-第12章 群环域
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.2.1 群及其基本性质
定义12.3 称代数结构<G,>为群，如果 （1）<G, >为一半群。 （2）<G, >中有幺元e。 （3）<G, >中每一元素都有逆元。 简言之，群是每个元素都可逆的独异点。
群的载体常用字母G表示，G也常用于表示一个群。
离散数学 第12章 群、环、域
12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
定理12.3 设<S,>为一半群,那么 (1) 存在<S,>到<SS,◦ >的半群同态h。 (2) <S,>在含有幺元时同构于<h(S),◦>, 后者是<SS,◦ >的一个子代数。 证 证(1)：定义函数h:S→SS：对任意aS，h(a)= fa fa：S→S 定义如下: 对任意xS， fa(x)= ax 即将S中的一个元素a影射到一个线性变换fa。现证h为一同态。 对任何元素a,bS ， h(ab)＝fab (l2－1) 而对任何xS，fab(x)= abx = fa(fb(x))= fa◦fb (x)，故fab= fa◦fb ,
由此及式(l2－1)即得 h(ab)= fab = fa◦fb ＝h(a)◦h(b)
证(2)：只需证明a,bS，如果a≠b，则fa≠fb。因为<S,>含有幺元 e，a*e=a≠b*e=b，所以存在xS，fa(x)≠fb(x)，定理得证。
离散数学 第12章 群、环、域 12.1 半群
12.1.1 半群及独异点
（4）S由A生成，即S中元素或者为e, 或者为A的成员，或者 为
离散数学王元元习题解答 (10)
第九章特殊图9.1 二分图内容提要9.1.1 二分图的基本概念定义9.1无向图G = <V，E，ψ>称为二分图（bipartite graph），如果有非空集合X，Y 使X∪Y = V，X∩Y = ∅，且对每一e∈E，ψ(e) = (x, y)，x∈X，y∈Y。
此时常用<X，E，Y>表示二分图G。
若对X中任一x及Y中任一y恰有一边e∈E，使ψ(e) = (x, y), 则称G为完全二分图（complete bipartite graph）。
当|X| = m，|Y| = n时，完全二分图G记为K m,n。
定理9.1无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
9.1.2 匹配定义9.2设G = <X，E，Y>为二分图，M⊆E。
称M为G的一个匹配（matching），如果M中任何两条边都没有公共端点。
G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配（maximal matching）。
如果X(Y)中任一顶点均为匹配M中边的端点，那么称M为X(Y)-完全匹配(perfect matching)。
若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。
定义9.3设G = <X，E，Y>，M为G的一个匹配。
（1）M中边的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-顶点。
（2）G中v k到v l的通路P称为交替链，如果P的起点v k和终点v l为非M-顶点，而其边的序列中非匹配边与匹配边交替出现（从而首尾两边必为非匹配边，除顶点v k，v l以外各顶点均为M-顶点）。
特别地，当一边（v, v'）两端点均为非M-顶点，通路（v, v'）亦称为交替链。
以下算法可把G中任一匹配M扩充为最大匹配，此算法是Edmonds于1965年提出的，被称为匈牙利算法，其步骤如下：（1）首先用（*）标记X中所有的非M-顶点，然后交替进行步骤（2），（3）。
离散数学
第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p : 2是无理数，p为真命题。
（2）p : 5能被2 整除，p为假命题。
（6）p →q 。
其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。
由于p 与q都是真命题，因而p →q 为假命题。
（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。
（8）p : 2000年10月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13日）我们还不（10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。
（12）p ∨q，其中，p : 4是偶数，q : 4是奇数。
由于q是假命题，所以，q 为假命题，p ∨q 为真命题。
离散数学教程-王元元-第12章 群环域
<I, + >： 整数a 0时，a有无限阶。
<N6 ,+ 6>：1的阶是6；2的阶是3；3的阶是2； 4的阶是3；5的阶是6。
离散数学 第12章 群、环、域
12.2 群
12.2.2 群的元素的阶
定理12.9 有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群 G的
阶数G。
证 设a为G的任一元素，考虑 a0(=e)，a1，a2，… ，aG 共有G+1个G中元素，由于G中只有G 个元素 因此，根据鸽笼原理，它们中至少有两个是同一元素
它为独异点，或含幺半群。 例12.1 <I+,＋>，<N,· >，< ,并置>都是半群，后两个又是独异点。 <SS,◦ >为一半群和独异点，这里SS为S上所有一元函数的集合，
◦为函数的合成运算，其幺元是S上的恒等函数IS。
离散数学 第12章 群、环、域
Hale Waihona Puke 12.1 半群12.1.1 半群及独异点
定理12.1 设<S,>为一半群，那么 （1）<S,>的任一子代数都是半群，称为<S,>的子半群。 （2）若独异点<S,,e>的子代数含有幺元e，那么它必为一独异点， 称为<S,,e>的子独异点。 定理12.2 设<S,>、<S’,’>是半群，h为S到S’的同态，这时称h为 半群同态。对半群同态有 （1）同态象<h(S),’>为一半群。 （2）当<S,>为独异点时，则<h(S),’>为一独异点。
离散数学
第12章 群、环、域
第12章 代数结构通论
12.1 半群
离散数学第1-3章_习题解答-简化
A C AC
2013-2014-2
鲁东大学
数学与统计科学学院
鲍永平
离散数学习题解答 12. 设 A B 且 A B可能吗？
可能
如： A＝{a}
B＝{a , b , {a} }
14. 对任意的集合 A B C，确定下列命题是真或假： （1）如果 A B 及 B C ，则 A C （3）如果 A B 及 B C ，则 A C （1）真 证：B C x ( xB xC ) AB AC AB （3）假 反例：A＝{a}
前提： P → Q ∨ R， S →
R， P∧S
结论：Q
步 骤
1 2 3 4 5 6 7
2013-2014-2
断 言（真）
P∧S
根
据
P P→Q∨R
Q∨R S S→ R
鲁东大学
P T, 1, I2 P T, 2,3, I3 T, 1, I2 P T, 5,6, I3 数学与统计科学学院 T, 4,7, I5
Q ) ∧(Q ∨ P )) Q ) ∧Q ) ∨( P ∨ Q ) ∧ P )) Q ∧Q ) ∨ P ∧ P ∨ Q ∧ P )) Q∧P)
P ∧Q ∨ P ∧Q )∨(
( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧Q )∨(P ∧ Q ) (1 , 2 , 3 ) ( 0 ) ( P ∨ 鲁东大学 Q) 2013-2014-2
2013-2014-2
Q1
A C
I3
B＝{a，b}
C＝{ {a，b}}
数学与统计科学学院 鲍永平
鲁东大学
离散数学习题解答
P69 习题2.2
18. 指出下列集合的幂集合: （3） 设 A＝｛a｝，求 A 和 （A）的幂集。 解： （A）＝｛ ，｛a｝｝
离散数学王元元习题解答(3)
离散数学王元元习题解答(3)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词内容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号(All的第一个字母A的倒写) 和(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词和分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
离散数学王元元 第十二章格与布尔代数
离散数学王元元第十二章格与布尔代数离散数学王元元第十二章格与布尔代数δ第12章格与布尔代数12.1格执行摘要格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。
定义12.1称有序集为格（lattice），如果l中的任何两个元素的子集都有上确界和下确界。
通常使用一个？B代表{a，B}的上确界，a？B表示{a，B}的下确界，？和它们分别被称为join和meet操作。
因为对于任何一个a，B，a？B和a？B是L中确定的成员，所以？，？都是在L上的行动现设≥表示序关系≤的逆关系，那么据逆关系的性质可知：定理12.1当<l,≤>为格时，<l,≥>亦为格,且它的保联、保交运算?~,?~对任意a,b?l满足a？~b=a？b、 a？~b=a？所以，我们有下面的对偶原理。
定理12.2a为格<l，≤>上的真表达式，当且仅当a?为<l，≥>上的真表达式，这里a?称为a的对偶式，即将a中符号?，?，≤分别改为?，?，≥后所得的公式，而a≥b意即b≤a。
定理12.3设<L，≤ > 如果是晶格，那么对于L中的任何元素a，B，C，都有（L）a≤ A.b、b≤A.文学士？B≤a、 a？B≤B（2）若a≤b，a≤c，则a≤b?c若b≤a，c≤a，则b?c≤a．（3）如果≤ 公元前≤ D、然后是a？C≤Bd、 a？C≤B如果（a）d≤ 4.C≤Bc、a？C≤Bc。
定理12.4设<l,≤>为格，那么对l中任意元素来a,b,c有（1） a？a=a，a？A=A（幂等定律）（2）A？b=b？a、 a？b=b？A（交换律）（3）a?（b?c）=（a?b）?cA.（b？c）=（a？b）？C（结社法）（4）a？（a？b）=a，a？（a？B）=a（吸收定律）晶格还具有以下性质；定理12.5设<l,≤>为格。
那么对l中任意元素a,b,c有（1）a≤b当且仅当。
a?b=a 当且仅当a?b=b。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号(All的第一个字母A的倒写) 和(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词和分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
x P(x) 读作“有（存在,至少有一个）x满足P(x)”。
表示个体域中至少有一个体满足P(x)。
当量词用于一谓词或复合的谓词表达式式，该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域（domains of quantifiers）。
因此，量词的辖域或者是紧邻其右侧的那个谓词;或者是其右侧第一对括号的表达式。
当然，量词辖域与该量词指导变元同一的变元都是约束变元。
例如x(A(x)→B(x))∨C(x)中x的辖域是A(x)→B(x)，其中的x是约束变元；但C(x)不在辖域，其中的x则是自由变元；x A(x)∧B(x)中x的辖域是A(x)，其中x是约束变元，而B(x)中x为自由变元。
定义2.1 以下条款规定的符号串称为谓词公式（predicate forrmula），简称公式。
（1）谓词填式是公式，命题常元是公式（看作零元谓词）。
（2）如果A，B是公式，x为任一变元，那么(┐A)，(A→B)，(xA)，(x A)（当使用五个联结词时还有(A∧B)，(A∨B)，(A B)）都是公式。
（3）只有有限步使用（1），（2）条款所形成的符号串是公式。
括号省略原则同前，并约定，(xA)，(x A)中最外层括号也可省略。
习题解答练习2.11、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)（3）x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(y x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元。
存在量词，辖域S(x) ，其中x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词，辖域P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词，辖域x(P(x)∧B(x,y))，其中y为约束变元。
存在量词，辖域P(x)∧B(x,y)，其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(y x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）x(E(x)→┐x=1)（2）x(E(x)∧┐x=1)（3）x(E(x)∧x=1)（4）x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）x(E(x)→┐x=1) 真x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
（2）x(E(x)∧┐x=1) 假x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。
（3）x(E(x)∧x=1) 假x(E(x)∧x=1) 可表示成命题公式(E(0)∧0=1) ∨(E(1)∧1=1)其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故(E(0)∧0=1) ∨(E(1)∧1=1)假。
（4）x(E(x)→x=1) 真x(E(x)→x=1) 可表示成命题公式(E(0)→0=1) ∨(E(1)→1=1)其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故(E(0)→0=1) ∨(E(1)→1=1)真。
3、设整数集为个体域，判定下列公式的真值(表示数乘运算)：（1）x y(x y=x)（2）x y (x y=1)（3）x y(x+y=1)（4）y x (x y=x)（5）y x (x+y=0)（6）x y(x+y=0)解（1）x y(x y=x) 真（2）x y (x y=1) 假（3）x y(x+y=1) 真（4）y x (x y=x) 真（5）y x (x+y=0) 假（6）x y(x+y=0) 真4、量词! 表示“有且仅有”，!xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。
试用量词，, ,等号“=”及谓词P(x),表示! P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与!xP(x)具有相同的意义。
解!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示x（P(x) ∧y（P(y)→y=x））5、设个体域为整数集，试确定两个谓词P(x,y)，分别使得下列两个蕴涵式假：（1）x !yP(x,y) →!y x P(x,y)（2）!y x P(x,y) →x !yP(x,y)解（1）当P(x,y)表示x+y=0时x !yP(x,y) →!y x P(x,y)为假。
（2）当P(x,y)表示x y=0时!y x P(x,y)→x !yP(x,y) 为假(表示数乘运算)。
因为只有数0对一切整数x，有x0=0，从而前件真；但对数0，可有众多y，使0 y=0，从而后件假。
6、指定整数集的一个尽可能大的子集（如果存在）为个体域，使得下列公式为真：（1）x(x>0)（2）x(x=5∨x=6)（3）x y(x+y=3)（4）y x (x+y<0)解（1）对正整数集个体域，x(x>0)为真（2）对5，6，x(x=5∨x=6) 为真（3）对整数集，x y(x+y=3) 为真（4）使得y x (x+y<0) 为真的整数集的尽可能大的子集不存在。
7、以实数集为个体域, 用谓词公式将下列语句形式化：（1）如果两实数的平方和为零，那么这两个实数均为零。
（2）f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y = f(x)（不得使用量词!。
“f(x)为实函数”可译为RF(f)）。
解（1）x y(x2+y2=0→x=0y=0) 。
（2）RF(f )x y(y = f(x)∧┐z(z≠y∧z= f(x)))8、用谓词公式将下列语句形式化：（1）高斯是数学家，但不是文学家。
（2）没有一个奇数是偶数。
（3）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。
（4）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
（5）发亮的东西不都是金子。
（6）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。
（7）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。
（8）如果别的星球上有人，天文学家是不会感到惊讶的。
（9）党指向哪里，我们就奔向那里。
（10）谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。
（歌德）解（1）M(x) 表示“x是数学家”，A(x) 表示“x是天文学家”，g表示“高斯”,原句可表示为M(g) ∧┐A(g)（2）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数”,原句可表示为┐x(O(x)∧E(x))（3）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数”,原句可表示为x(O(x)∧E(x) x=2)（4）C(x) 表示“x是猫”，M(x) 表示“x是老鼠”，G(x) 表示“x是好的”，K(x,y)表示“x会捉y”,原句可表示为x(C (x)∧y(M (y)→┐K(x,y))∧x(C (x)∧y(M (y)→K(x,y))→G(x)) （5）G(x) 表示“x是金子”，L(x) 表示“x是发亮的”,原句可表示为┐x(L (x)→G(x))（6）M(x) 表示“x是男人”，F(x) 表示“x是女人”，H(x,y) 表示“x比y高”,原句可表示为┐x(M (x)→y(F(y)∧H(x,y)))∧x(M (x)∧y(F(y)→H(x,y))) （7）M(x) 表示“x是人”，B(x,y)表示“x相信y”, 原句可表示为x(M (x)∧┐y(M(y)∧x≠y∧B(x,y))→┐y(M(y)∧x≠y∧B(y,x))) （8）C(x) 表示“x是星球”，M(x) 表示“x是人”，A(x) 表示“x是天文学家”，e表示“地球”，H(x,y) 表示“x有y”，S(x) 表示“x惊讶”，原句可表示为x(C (x)∧x≠e∧y(M(y)∧H(x,y)))→x(A (x)→┐S(x))（9）Q(x,y) 表示“x指向y”，J(x,y) 表示“x奔向y”，party表示“党”，we表示“我们”,原句可表示为x(Q(party，x)→J(we, x))（10）M(x) 表示“x是人”，K(x) 表示“x游戏人生”，L(x) 表示“x一事无成”，H(x,y) 表示“x主宰y”，N(x) 表示“x是奴隶”，原句可表示为x(M(x)∧K(x)→L(x))∧x(┐H(x,x)→N(x))2.2 谓词演算永真式容提要定义2.2给定个体域D及公式A中各谓词符号的解释I，如果A中个体变元x1,…,x n 分别取值u1 ,…,u n时A真，则称A在u1 ,…,u n处真；当x1 ,…,x n无论取D中怎样的个体u1 ,…,u n, A在u1 ,…,u n处均真，则称A在解释I下真。