2018年中考一轮基础复习试卷专题十六：等腰三角形与直角三角形

备考2018年中考数学一轮基础复习：专题十六等腰三角形与直角三角形
一、单选题（共15题；共30分）
1.（2017•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA 、PB ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A ，点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点O ，连接CO ，则CO 的长是（ ）
A. 1.5
B. 2
C. 2.4
D. 2.5
3.（2017•包头）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）
A. 32
B. 43
C. 53
D. 8
5
4.（2017•包头）若等腰三角形的周长为10cm ，其中一边长为2cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
5.（2017•营口）如图，在△ABC 中，AB=AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
A. ∠ECD=112.5°
B. DE 平分∠FDC
C. ∠DEC=30°
D. AB= √2 CD 6.如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ① DE
BC =1
2；② S △ODE
S
△COB
=12；③ OE OB =12
；④ S △ODE
S △OEC
=1
2
其中正确的个数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7.（2017•大连）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）
a
A. 2a
B. 2 √2a
C. 3a
D. 4√3
3
8.（2017•毕节市）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）
A. △AEE′是等腰直角三角形
B. AF垂直平分EE'
C. △E′EC∽△AFD
D. △AE′F是等腰三角形
9.（2017•河池）已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 9
10.（2017•荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 75°
11.（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A. BC
B. CE
C. AD
D. AC
12.（2017•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）
A. 5
2B. 8
3
C. 10
3
D. 15
4
13.（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
14.（2017•泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）
A. 18
B. 109
5 C. 96
5
D. 25
3
15.（2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A. 2
B. 5
4C. 5
3
D. 7
5
二、填空题（共6题；共6分）
16.（2017•长春）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为________．
BC，则△ABC的顶角的度数为________．17.（2017•绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD= 1
2
18.（2017•青岛）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，则∠EBD的度数为________度．
19.（2017•东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
20.（2017•宁夏）在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，
DM．当AM⊥BM时，则BC的长为________．
且ME= 1
3
21.（2017•抚顺）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3=D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4=D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，
△A3C3C4，…，△A n C n C n+1的周长和为________．（n≥2，且n为整数）
三、综合题（共4题；共34分）
22.（2017•宁夏）在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P分别作PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
23.（2017•连云港）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
24.如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N 从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
AD，点N是折线25.在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD边上一点，且DM= 1
3
AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为________．
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为________；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；________
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求A′B
的值．________
A′N
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】D
14.【答案】B
15.【答案】D
二、填空题
16.【答案】10
17.【答案】30°或150°或90°
18.【答案】32
19.【答案】25
20.【答案】8
21.【答案】2n−1
2n−1
三、综合题
22.【答案】（1）解：连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，
∴1
2AB•CD= 1
2
AB•PM+ 1
2
AC•PN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；（2）解：设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM= 1
2x，PM= √3
2
x，CN= 1
2
（2﹣x），PN= √3
2
（2﹣x），
∴四边形AMPN的面积= 1
2×（2﹣1
2
x）• √3
2
x+ 1
2
×[2﹣1
2
（2﹣x）]• √3
2
（2﹣x）=﹣√3
4
x2+ √3
2
x+ √3
2
=﹣√3
4
（x
﹣1）2+ 3√3
4
，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是3√3
4
23.【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
24.【答案】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，
在Rt△ACD中，AC= =5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：S△ABC= ×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，
则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm．
①当MN∥BC时，AM=AN，
即10﹣t=t，
∴t=5；
当DN∥BC时，AD=AN，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DM，则t﹣4=5，
∴t=9；
如果ED=EM，则点M运动到点A，
∴t=10；
如果MD=ME=t﹣4，
过点E做EF垂直AB于F，
因为ED=EA，
所以DF=AF= AD=3，
在Rt△AEF中，EF=4；
因为BM=t，BF=7，
所以FM=t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42，
∴t= ．
综上所述，符合要求的t值为9或10或
25.【答案】（1）√13
（2）1；解：②在菱形ABCD中，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN，
∴AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，；
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∴AM=AN，
∴AM=A′M=AN=A′N，
∴四边形AM A′N是菱形；；③在菱形ABCD中，AB=AD，∴∠ADB=∠ABD=60°，
∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB，
∴A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，
∴∠NA′B=∠DMA′，
∴△DMA′∽△BA′N，
∴DM
A′M =A′B A′N
，
∵MD= 1
3
AD=1，A′M=2，
∴A′B
A′N = 1
2。