广东省中山市高三数学上学期期末统一考试试题 理 新人教A版

中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设全集U 是实数集,R {}
22,M x x x =><-或{}
2430N x x x =-+> 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤
D ．{|2}x x <
3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ， 则a+b 等于( ) A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子1
31100lg ln )45tan 2(-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．11
D ．13
5．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）
（第2题图）
（第4题图）
A ．
2
1
B ．
4
1
C ．42
D ． 22
6．下列四个命题中，正确的有
①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题p ：“R ∈∃0x ，0102
0>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”；
③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若2
3.0=a ，3
.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④
B ．①④
C ．③④
D ．②③
7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,()
.()
a a
b b a b ≥⎧⎨<⎩，
则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶
B ． ⑵、⑷
C ．⑴、⑵、⑶
D ．⑴、⑵、⑶、⑷
8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1
((9f f .
10．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向
区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内
（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）
11．在二项式5
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含4
x 的项的系数是 ．
12．已知2
0πα<
<,=
+)6
cos(
π
α5
3
,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，
则789a a a ++= .
14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r
，
（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，2
1
y x x +++的取值范围是 .
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）
设平面向量)sin ,(cos x x a =，31
(
,)2
b =r ，函数()1f x a b =⋅+r r . （Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;
（Ⅱ）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
πα+的值. 16．（本题满分12分）
某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用
简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．
17．（本小题满分14分）
如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，
PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC . E 是PD 的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 18．（本小题满分14分）
数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=-
-+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；
P
B
E
D
C
A
（Ⅲ）若1n n n b c b =
-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <5
3
． 19．（本小题满分14分）
已知函数()x
f x e kx =-，.
（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：
1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2
n n
F F F n e n N +*+++>+∈L
20．（本题满分14分）
已知函数2
()()f x x x a =-，2
()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）设0a >，问是否存在0
(1,)3
a
x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．
中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
DAAD BCBC
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9.
14 ; 10. 83
11. 10; 12.
433+； 13. 45； 14. 4
[,4]3
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）
设平面向量)sin ,(cos x x a =，)2
1
,23(
=b ，函数1)(+⋅=b a x f 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;
（Ⅱ）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
πα+的值. 15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 3131
(,)1cos sin 122
x x +=++………（2分） sin()13
x π
=+
+ ………………………………………………（4分）
（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+………………（7分）
所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππ
ππ-
++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4
sin()35
πα+=,
因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35
πα+=-,………………………（10分）
2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 24
25
=-
……………………………………………………………………（12分）
16．(本题满分12分)
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．
（I ）估计这次测试数学成绩的平均分； （II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩
都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 16. 解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分
……………（5分）
所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），
这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是2
4
6C =， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62
.155
P =
= ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．
∴3323()()(),0,1,2,355
k k k P k C k ξ-===
∴变量ξ的分布列为：
…………（10分）
E ξ8365454601231251251251255
=⨯
+⨯+⨯+⨯= …………（12分）
解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即2
~(3,)5
B ξ………（10分）
26
355
E np ξ==⨯
= …………（12分）
17．（本小题满分14分）
如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，
PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC .E 是
PD 的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值
17．解法一：（Ⅰ）ABCD PA 平面⊥Θ，ABC CD 平面⊂，
CD
PA ⊥∴.
-------------------------------------------------------------------------------
--（2分）
P
B
E
D
C
A
是矩形ABCD Θ, CD AD ⊥∴.
而A AD PA =⋂, ,PA AD ⊂平面PAD
PAD CD 平面⊥∴. ………………………（4分）
PDC CD 平面⊂
PDC PAD ∴⊥平面平面.
………………………（5分）
（Ⅱ）连结AC 、EC ，取AD 中点O ， 连结EO ， 则PA EO //,
∵⊥PA 平面ABCD ， ∴⊥EO 平面ABCD . 过O 作AC OF ⊥交AC 于F ，连结EF ，
则 EFO ∠就是二面角D AC E --所成平面角. ………………………（7分） 由2=PA ，则1=EO .
在ADC Rt ∆中，h AC CD AD ⨯=⨯ 解得=
h 5
5
4. 因为O 是AD 的中点，所以5
5
2=
OF . ………………………（8分） 而1=EO ，由勾股定理可得5
5
3=
EO . ………………………（9分） 32
5
5
355
2cos =
==∠EF OF EFO . ………………………（10分） （Ⅲ）延长AE ，过D 作DG 垂直AE 于G ，连结CG ，
又∵AE CD ⊥
，∴AE ⊥平面CDG ，
过D 作DH 垂直CG 于H ， 则DH AE ⊥, 所以⊥DH 平面AGC , 即⊥DH 平面AEC ，
所以CD 在平面ACE 内的射影是CH ，DCH ∠是直线与平面所成的角.
………………………（12分）
55
45
14sin sin =⨯=⋅=∠⋅=∠⋅=AE OE AD OAE AD DAG AD DG Θ. 2=CD 5
5
6425516=+⨯=
∴CG . 3
25
5655
4sin ===∠∴CG DG DCG .……………（14分）
P
B
E
D
C
A
O
F
G
H
解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0) , B (2，0，0), C (2，4，0) , D (0，4，0) ，
E (0，2，1) , P (0，0，2) . ……………………（2
分）
∴AB ＝(2，0，0) , AD u u u r ＝(0，4，0) , AP u u u r
＝(0，0，2) , CD uuu r ＝(－2，0，0) , AE u u u r
＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . ……………………（3
分）
（Ⅰ）0=⋅Θ, AD CD ⊥∴.
又0=⋅Θ, AP CD ⊥∴
………………………（5A AD AP =⋂Θ, PAD CD 平面⊥∴,
而PDC CD 平面⊂,
∴平面PDC ⊥平面PAD . ………（7（Ⅱ）设平面AEC 的法向量=
()z y x ,,,令1=z ，则()1,,y x =.
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅21104201200,4,21,,01,2,01,,y x y x y y x y x
∴n =⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
1,21,1. ………………………（9分） 平面ABC 的法向量AP u u u r ＝(0，0，2) , 32
22
32,cos =⨯==
〉〈. 所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32
. ……………………（11分）
（Ⅲ）因为平面的法向量是=⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21,1，而CD uuu r ＝(－2，0，0) .
所以 3222
32cos -=⨯-==θ . ………………………（13分） 直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值 3
2
. ………………………（14分）
18．（本小题满分14分）
数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=-
-+∈． （I ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列；
（II ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若1n n n b c b =
-，数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：n T <5
3
． 18．【解析】（I ）因为21
312
2
n n a S n n +=--+，
所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则11
2
a =-， ………………………………（1分）
② 当2n ≥时，21113(1)(1)122
n n a S n n --+=----+，……………………（2分）
所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，
所以11(2)2n n b b n -=
≥，而111
12
b a =+=， ……………………（3分） 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．…………（4分）
（II ）由(1)得2n n
n nb =． 所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=
-， ②12322
21..........24232212--+-+++++=n n n n
n T ， ……………（5分）
②-①得：n n n n
T 2
21......2121112-++++=-， ……………（7分）
n n n
n n n T 2222211211+-=--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
.……………（9分） （III ）由(I)知121n n
c =-
……………（10分）
（1）当1n =时，
11151213c ==<
-成立； ……………（11分）
（2）当2n ≥时，22
21(32)210n n n ----⋅=-≥Q ，
211
2132n n n c -∴=≤-⋅， ………………（13分）
所以
2
211112125
11[1()]1[1()]1132
32323312
n
n n n n k T -=≤+=+⋅-=+-<+=⋅-∑
. ………（14分） （本题放缩方法不唯一,请酌情给分）
19. 已知函数()x
f x e kx =-，.
（I ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （II ）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：
1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2
n n
F F F n e n N +*+++>+∈L
19. 解:（Ⅰ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．………（1分） 由()e 0x
f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．
此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．…（3分） ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： ……………………（4分）
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．
综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． ………………（7分） （Ⅱ）()()()e e
0x
x
F x f x f x -=+-=+>Q ，
112212ln ()ln ()ln[()()]x x x x F x F x e e e e --∴+=++
又1122
()()x
x
x
x e e e e
--++=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，
……………………（10分）
1ln (1)ln ()ln(e 2)n F F n +∴+>+，
11ln (2)ln (1)ln(e 2)
ln ()ln (1)ln(e 2).
n n F F n F n F +++->++>+L L ……………………（12分） 由此得:
12[ln (1)ln (2)ln ()]
[ln (1)ln ()][ln (2)ln (1)][ln ()ln (1)]ln(e
2)n F F F n F F n F F n F n F n ++++=+++-+++>+L L 故1ln (1)ln (2)ln ()ln(e 2)2
n n F F F n n +*+++>
+∈N L ，成立. ………………（14分） 20．（本题满分14分） 已知函数2()()f x x x a =-，2
()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）；
（I ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值； （II ）设0a >，问是否存在0(1,)3
a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（III ）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．
20．解：（I ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， 令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值，∴112
a a a -=⇒=-，或1323
a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-． ………………………………（3分） （II ）假设存在，即存在(1,)3
a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+ 2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>， 当(1,)3a
x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3
a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<， ………………………………（4分）
1o 当123a a ->即3a >时，2
(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； ………………………………（5分）
2o
当1123a a --≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，………（6分） a ∴无解；综上：3a >． ………………………………（7分）
（III ）据题意有()10f x -=有3个不同的实根，()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132
a g a a ->⇒><-或； ………………………………（8分）
（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，
1o 当3
a a >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； ………………………………（9分）
2o 当
3a a =即0a =时，不符合题意，舍；
3o 当3a a <即0a >时，()f x 在3
a x =处取得极大值，()132a f a >⇒>；所以
2
a >； ………………………………（10分）
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >（注：34
3>a 也对）…………………（11分） 下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立； 若存在0x 使得00()()1f x g x ==，
由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（），
得20000(1)0x a x ax x --++=（）， 当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；
当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①；
又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②； 联立①②式，可得0a =；
而当0a =时，32
()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当2
a >时，函数()y H x =有5个不同的零点． ………………………（14分）。