高中数学第二章参数方程三直线的参数方程优化练习新人教A版选修
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2
解析：直线参数方程一般式
x＝ x0＋ at， (t 为参数 )，
y＝y0＋ bt
b 表示直线过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ a，
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
π 2 故 k＝ ＝－ 1.故选 B.
π －2
x＝ 1－ 2t ，
x＝ s，
3．已知直线 l 1： y＝ 2＋ kt
(t 为参数 )， l2：
(s 为参数 )，若 l1∥ l2，则 k＝
y＝ 1－ 2s
________；若 l1⊥ l2，则 k＝ ________. 解析：将 l1， l2 的方程化为普通方程，得 l1： kx＋ 2y－ 4－ k＝ 0， l2：2x＋ y－ 1＝ 0， k 2 4＋k l1∥ l 2? 2＝ 1≠ 1 ? k＝ 4.
12 5
即直线被圆截得的弦长为
.
5
[B 组 能力提升 ]
1．过点 (1,1)，倾斜角为 135°的直线截圆 x2＋ y2＝ 4 所得的弦长为 ( )
22 A. 5
42 B. 5
C．2 2
32 D. 5
解析： 直线的参数方程为
2 x＝ 1－ 2 t，
2 y＝ 1＋ 2 t
(t 为参数 )，代入圆的方程， 得 t 2＋ 2＝ 4，解
答案： B
x＝－ 2－ 4t ，
4．直线
(t 为参数 )与圆 ρ＝ 2cos θ的位置关系为 ( )
y＝ 1＋ 3t
A．相离 C．相交
B．相切 D ．无法确定
x＝－ 2－ 4t，
解析：直线
(t 为参数 )的普通方程为 3x＋ 4y＋ 2＝ 0，圆 ρ＝ 2cos θ的普通
y＝1＋ 3t
方程为 x2＋y2－2x＝ 0，即 (x－ 1)2＋ y2＝1，圆心到直线 3x＋ 4y＋ 2＝ 0 的距离 d＝ 1＝ r，所以直 线与圆的位置关系为相切．
x＝ 1＋ tcos 20°，
y＝2＋ tsin 20°
(t 为参数 )，则倾斜角为 20°，故选 B.
答案： B
x＝x0＋ tcos α，
2．直线
(t 为参数 )与二次曲线交于 A，B 两点， A，B 对应的参数值分
y＝ y0＋ tsin α
别为 t1， t2，则 | AB | 等于 ( )
A． | t1＋t2|
得 t2－ 8t ＋ 12＝ 0，
t1＋ t2 t1＋ t 2＝ 8， 2 ＝ 4.
因此中点为
1 x＝ 1＋2× 4，
3 y＝－ 3 3＋ 2 ×4，
x＝ 3， ∴
y＝－ 3.
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答案： D
x＝－ 2＋tcos 45°，
B． | t1| ＋| t 2|
C． | t1－ t2|
| t1＋ t2| D.
2
解析：由参数 t 的几何意义可知， | AB| ＝ | t1－ t2| ，故选 C.
答案： C
π x＝－ 1－ t，
2
3．已知直线 l 的参数方程为
π y＝ 2＋ t
2
(t 为参数 )，则直线 l 的斜率为 ( )
A． 1
设方程的两根分别为 t 1′、 t2′，则有
8 t1′＋ t2′＝－ ， t1′· t 2′＝－ 4.
5
所以 | t 1′－ t 2′ | ＝
t1′＋ t2′ 2－ 4t1′t2′
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12 5
＝
5 ＋ 16＝ 5 ，
离． π
解析：∵直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝4，
∴直线参数方程为
2 x＝3＋ t，
2
2 y＝ 4＋ 2 t
(t 为参数 )，
32
11
代入 3x＋ 2y＝ 6 得 9＋ 2 t＋ 8＋ 2t＝ 6，t ＝－ 5 2，
11 ∴ M 与 P0 之间的距离为 5 2.
10．已知直线的参数方程为
x＝ 1＋ 2t， (t 为参数 )，则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦
l 上．求
a 的值及直线 l 的直角坐标方程．
π
π
解析：由点 A 2，4 在直线 ρcos θ－ 4 ＝ a 上，可得 a＝ 2.所以直线 l 的方程可化为 ρ
cos θ＋ ρsin θ＝2，
从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋ y－ 2＝ 0.
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4
π 5π D. 6或 6
y 解析：直线化为 x＝tan α，即 y＝ tan α· x，
圆方程化为 (x－ 4)2＋ y2＝ 4，
|4tan α|
1
∴由
tan2α＋
＝ 1
2?
tan2α＝ ， 3
3
π 5π
∴ tan α＝± 3 ，又 α∈[0，π)，∴ α＝ 6或 6 .
答案： D
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
答案： B
5．直线
1 x＝ 1＋ 2t，
3 y＝－ 3 3＋ 2 t
(t 为参数 )和圆 x2＋y2＝16 交于 A， B 两点，则 AB 的中点
坐标为 ( )
A．(3，－ 3)
B． (－ 3， 3)
C． ( 3，－ 3)
D ． (3，－ 3)
解析：
1 1＋2t 2＋ －3
3＋
3 t
2 ＝ 16，
2
x＝－ 1＋cos 30° t， 即
y＝ 3＋ sin 30° t，
3 x＝－ 1＋ 2 t ，
1
y＝3＋
t 2
(t 为参数 )．
6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知点 A 的极坐标为
π
π
2， 4
，直线
l 的极坐标方程为
ρcos
θ－ 4
＝a，且点
A 在直线
6．已知直线
点 M(3 2，a)在直线上，则点 M 到点 (－ 2， 1)
y＝ 1＋ tsin 45°，
的距离为 ________． 解析：令 3 2＝－ 2＋ tcos 45°， 解得 t＝ 8. 由 t 的几何意义得点 M(3 2， a)到点 (－ 2， 1)的距离为 8. 答案： 8
7．直线
1 x＝－ 2－ 2t ，
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1 x＝－ 1－ 2t ，
3 y＝3＋ 2 t
(t 为参数 )．
3 (2)由(1)知直线 l的斜率 k＝－ 3，则所求直线的斜率为 3 ，故所求直线的倾斜角为 30°，
所以过点 P(－ 1,3)且垂直于直线 l 的直线的参数方程为
3 y＝ 4＋ 2 t
(t 为参数 )上与点 P(－ 2,4)距离等于 4 的点 Q 的坐标为
________ ．
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由 t 的几何意义可知 | PQ| ＝ | t| ＝ 4，∴ t＝± 4，
x＝－ 4， 当 t＝ 4 时，
y＝ 4＋ 2 3；
x＝ 0，
当 t＝－ 4 时， y＝ 4－2 3.
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三 直线的参数方程
[课时作业 ] [A 组 基础巩固 ]
x＝ 1＋ tsin 70°，
1．直线
(t 为参数 )的倾斜角为 ( )
y＝ 2＋ tcos 70°
A． 70° C． 160° 解析：将直线参数方程化为标准形式：
B． 20° D ． 110°
y＝ 2＋ t
长是多少？
x＝1＋ 2t，
解析：将参数方程 y＝ 2＋ t
(t 为 参 数 ) 转 化 为 直 线 参 数 方 程 的 标 准 形 式 为
2 x＝ 1＋ t ′，
5
1 y＝2＋ t′
5
2
1
(t ′为参数 )，并代入圆的方程，得 (1＋ t ′ )2＋ (2＋ t′ )2＝ 9，
5
5
整理，得 5t′ 2＋ 8t′－ 4 5＝ 0.
－2＝ 0，
1
3
得 1＋ 2t － 5＋ 2 t － 2＝ 0，解得 t＝－ 6( 3＋ 1)，根据 t 的几何意义可知 | MM0| ＝ 6( 3
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＋1)． 答案： 6( 3＋ 1) π 9．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝4，求此直线与直线 3x＋ 2y＝ 6 的交点 M 与 P0 之间的距
k l1⊥ l2? (－ 2)· － 2 ＝－ 1? k＝－ 1.
答案： 4 －1
x＝－ 1＋ 3t ，
4．直线 l：
(t 为参数 )上的点 P(－ 4，1－ 3)到 l 与 x 轴交点间的距离
y＝1＋t
是 ________ ．
x＝－ 1＋ 3t，
解析：在直线 l：
中，令 y＝ 0，得 t＝－ 1.
得 t1＝－ 2， t 2＝ 2. 所以所求弦长为 | t 1－t2| ＝ | － 2－ 2| ＝ 2 2. 答案： C
x＝ tcos α，
x＝ 4＋ 2cos φ，
2．若直线
(t 为参数 )与圆
y＝ tsin α
y＝ 2sin φ
(φ为参数 )相切，那么直线倾斜
角α为 ( )
π A.
6
π C.3
π B.
y＝ 1＋ t
故 l 与 x 轴的交点为 Q(－ 1－ 3， 0)．
所以 | PQ| ＝
－ 1－ 3＋ 4 2＋ 1－ 3 2
＝ 4 3－ 1 2＝ 2 3－ 2.
答案： 2 3－ 2
x＝ 1＋ t，
5． (1)求过点 P(－ 1,3)且平行于直线 l：
(t 为参数 )的直线的参数方程；
y＝ 2－ 3t
x＝ 1＋ t，
(2)求过点 P(－ 1,3)且垂直于直线 l：
(t 为参数 )的直线的参数方程．
y＝ 2－ 3t
解析： (1)由题意，直线 l 的斜率 k＝－ 3，则倾斜角 θ＝ 120°，
所以过点 P(－ 1,3)且平行于直线 l 的直线的参数方程为
x＝－ 1＋ cos 120°t， 即
y＝ 3＋ sin 120° t，
答案： (－ 4,4＋ 2 3)或 (0,4－ 2 3)
π
8．直线 l 经过点
M0(1,5)，倾斜角为
，且交直线 3
x－ y－ 2＝ 0 于 M 点，则 | MM0| ＝________.
解析：由题意可得直线
l 的参数方程为
1 x＝ 1＋ 2t，
3 y＝5＋ t
2
(t 为参数 )，代入直线方程 x－ y
解析：直线参数方程一般式
x＝ x0＋ at， (t 为参数 )，
y＝y0＋ bt
b 表示直线过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ a，
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π 2 故 k＝ ＝－ 1.故选 B.
π －2
x＝ 1－ 2t ，
x＝ s，
3．已知直线 l 1： y＝ 2＋ kt
(t 为参数 )， l2：
(s 为参数 )，若 l1∥ l2，则 k＝
y＝ 1－ 2s
________；若 l1⊥ l2，则 k＝ ________. 解析：将 l1， l2 的方程化为普通方程，得 l1： kx＋ 2y－ 4－ k＝ 0， l2：2x＋ y－ 1＝ 0， k 2 4＋k l1∥ l 2? 2＝ 1≠ 1 ? k＝ 4.
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即直线被圆截得的弦长为
.
5
[B 组 能力提升 ]
1．过点 (1,1)，倾斜角为 135°的直线截圆 x2＋ y2＝ 4 所得的弦长为 ( )
22 A. 5
42 B. 5
C．2 2
32 D. 5
解析： 直线的参数方程为
2 x＝ 1－ 2 t，
2 y＝ 1＋ 2 t
(t 为参数 )，代入圆的方程， 得 t 2＋ 2＝ 4，解
答案： B
x＝－ 2－ 4t ，
4．直线
(t 为参数 )与圆 ρ＝ 2cos θ的位置关系为 ( )
y＝ 1＋ 3t
A．相离 C．相交
B．相切 D ．无法确定
x＝－ 2－ 4t，
解析：直线
(t 为参数 )的普通方程为 3x＋ 4y＋ 2＝ 0，圆 ρ＝ 2cos θ的普通
y＝1＋ 3t
方程为 x2＋y2－2x＝ 0，即 (x－ 1)2＋ y2＝1，圆心到直线 3x＋ 4y＋ 2＝ 0 的距离 d＝ 1＝ r，所以直 线与圆的位置关系为相切．
x＝ 1＋ tcos 20°，
y＝2＋ tsin 20°
(t 为参数 )，则倾斜角为 20°，故选 B.
答案： B
x＝x0＋ tcos α，
2．直线
(t 为参数 )与二次曲线交于 A，B 两点， A，B 对应的参数值分
y＝ y0＋ tsin α
别为 t1， t2，则 | AB | 等于 ( )
A． | t1＋t2|
得 t2－ 8t ＋ 12＝ 0，
t1＋ t2 t1＋ t 2＝ 8， 2 ＝ 4.
因此中点为
1 x＝ 1＋2× 4，
3 y＝－ 3 3＋ 2 ×4，
x＝ 3， ∴
y＝－ 3.
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答案： D
x＝－ 2＋tcos 45°，
B． | t1| ＋| t 2|
C． | t1－ t2|
| t1＋ t2| D.
2
解析：由参数 t 的几何意义可知， | AB| ＝ | t1－ t2| ，故选 C.
答案： C
π x＝－ 1－ t，
2
3．已知直线 l 的参数方程为
π y＝ 2＋ t
2
(t 为参数 )，则直线 l 的斜率为 ( )
A． 1
设方程的两根分别为 t 1′、 t2′，则有
8 t1′＋ t2′＝－ ， t1′· t 2′＝－ 4.
5
所以 | t 1′－ t 2′ | ＝
t1′＋ t2′ 2－ 4t1′t2′
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＝
5 ＋ 16＝ 5 ，
离． π
解析：∵直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝4，
∴直线参数方程为
2 x＝3＋ t，
2
2 y＝ 4＋ 2 t
(t 为参数 )，
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代入 3x＋ 2y＝ 6 得 9＋ 2 t＋ 8＋ 2t＝ 6，t ＝－ 5 2，
11 ∴ M 与 P0 之间的距离为 5 2.
10．已知直线的参数方程为
x＝ 1＋ 2t， (t 为参数 )，则该直线被圆 x2＋y2＝9 截得的弦
l 上．求
a 的值及直线 l 的直角坐标方程．
π
π
解析：由点 A 2，4 在直线 ρcos θ－ 4 ＝ a 上，可得 a＝ 2.所以直线 l 的方程可化为 ρ
cos θ＋ ρsin θ＝2，
从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋ y－ 2＝ 0.
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4
π 5π D. 6或 6
y 解析：直线化为 x＝tan α，即 y＝ tan α· x，
圆方程化为 (x－ 4)2＋ y2＝ 4，
|4tan α|
1
∴由
tan2α＋
＝ 1
2?
tan2α＝ ， 3
3
π 5π
∴ tan α＝± 3 ，又 α∈[0，π)，∴ α＝ 6或 6 .
答案： D
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答案： B
5．直线
1 x＝ 1＋ 2t，
3 y＝－ 3 3＋ 2 t
(t 为参数 )和圆 x2＋y2＝16 交于 A， B 两点，则 AB 的中点
坐标为 ( )
A．(3，－ 3)
B． (－ 3， 3)
C． ( 3，－ 3)
D ． (3，－ 3)
解析：
1 1＋2t 2＋ －3
3＋
3 t
2 ＝ 16，
2
x＝－ 1＋cos 30° t， 即
y＝ 3＋ sin 30° t，
3 x＝－ 1＋ 2 t ，
1
y＝3＋
t 2
(t 为参数 )．
6．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知点 A 的极坐标为
π
π
2， 4
，直线
l 的极坐标方程为
ρcos
θ－ 4
＝a，且点
A 在直线
6．已知直线
点 M(3 2，a)在直线上，则点 M 到点 (－ 2， 1)
y＝ 1＋ tsin 45°，
的距离为 ________． 解析：令 3 2＝－ 2＋ tcos 45°， 解得 t＝ 8. 由 t 的几何意义得点 M(3 2， a)到点 (－ 2， 1)的距离为 8. 答案： 8
7．直线
1 x＝－ 2－ 2t ，
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1 x＝－ 1－ 2t ，
3 y＝3＋ 2 t
(t 为参数 )．
3 (2)由(1)知直线 l的斜率 k＝－ 3，则所求直线的斜率为 3 ，故所求直线的倾斜角为 30°，
所以过点 P(－ 1,3)且垂直于直线 l 的直线的参数方程为
3 y＝ 4＋ 2 t
(t 为参数 )上与点 P(－ 2,4)距离等于 4 的点 Q 的坐标为
________ ．
解析：∵直线的参数方程为标准形式，
∴由 t 的几何意义可知 | PQ| ＝ | t| ＝ 4，∴ t＝± 4，
x＝－ 4， 当 t＝ 4 时，
y＝ 4＋ 2 3；
x＝ 0，
当 t＝－ 4 时， y＝ 4－2 3.
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三 直线的参数方程
[课时作业 ] [A 组 基础巩固 ]
x＝ 1＋ tsin 70°，
1．直线
(t 为参数 )的倾斜角为 ( )
y＝ 2＋ tcos 70°
A． 70° C． 160° 解析：将直线参数方程化为标准形式：
B． 20° D ． 110°
y＝ 2＋ t
长是多少？
x＝1＋ 2t，
解析：将参数方程 y＝ 2＋ t
(t 为 参 数 ) 转 化 为 直 线 参 数 方 程 的 标 准 形 式 为
2 x＝ 1＋ t ′，
5
1 y＝2＋ t′
5
2
1
(t ′为参数 )，并代入圆的方程，得 (1＋ t ′ )2＋ (2＋ t′ )2＝ 9，
5
5
整理，得 5t′ 2＋ 8t′－ 4 5＝ 0.
－2＝ 0，
1
3
得 1＋ 2t － 5＋ 2 t － 2＝ 0，解得 t＝－ 6( 3＋ 1)，根据 t 的几何意义可知 | MM0| ＝ 6( 3
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＋1)． 答案： 6( 3＋ 1) π 9．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝4，求此直线与直线 3x＋ 2y＝ 6 的交点 M 与 P0 之间的距
k l1⊥ l2? (－ 2)· － 2 ＝－ 1? k＝－ 1.
答案： 4 －1
x＝－ 1＋ 3t ，
4．直线 l：
(t 为参数 )上的点 P(－ 4，1－ 3)到 l 与 x 轴交点间的距离
y＝1＋t
是 ________ ．
x＝－ 1＋ 3t，
解析：在直线 l：
中，令 y＝ 0，得 t＝－ 1.
得 t1＝－ 2， t 2＝ 2. 所以所求弦长为 | t 1－t2| ＝ | － 2－ 2| ＝ 2 2. 答案： C
x＝ tcos α，
x＝ 4＋ 2cos φ，
2．若直线
(t 为参数 )与圆
y＝ tsin α
y＝ 2sin φ
(φ为参数 )相切，那么直线倾斜
角α为 ( )
π A.
6
π C.3
π B.
y＝ 1＋ t
故 l 与 x 轴的交点为 Q(－ 1－ 3， 0)．
所以 | PQ| ＝
－ 1－ 3＋ 4 2＋ 1－ 3 2
＝ 4 3－ 1 2＝ 2 3－ 2.
答案： 2 3－ 2
x＝ 1＋ t，
5． (1)求过点 P(－ 1,3)且平行于直线 l：
(t 为参数 )的直线的参数方程；
y＝ 2－ 3t
x＝ 1＋ t，
(2)求过点 P(－ 1,3)且垂直于直线 l：
(t 为参数 )的直线的参数方程．
y＝ 2－ 3t
解析： (1)由题意，直线 l 的斜率 k＝－ 3，则倾斜角 θ＝ 120°，
所以过点 P(－ 1,3)且平行于直线 l 的直线的参数方程为
x＝－ 1＋ cos 120°t， 即
y＝ 3＋ sin 120° t，
答案： (－ 4,4＋ 2 3)或 (0,4－ 2 3)
π
8．直线 l 经过点
M0(1,5)，倾斜角为
，且交直线 3
x－ y－ 2＝ 0 于 M 点，则 | MM0| ＝________.
解析：由题意可得直线
l 的参数方程为
1 x＝ 1＋ 2t，
3 y＝5＋ t
2
(t 为参数 )，代入直线方程 x－ y