黑龙江省哈六中高二数学下学期期末考试 文 新人教A版

哈尔滨市第六中学下学期期末考试高二文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. {
}{}
,,51,,1φ=⋂∈<<=∈<-=B A R x x x B R x a x x A 若则实数a 的取值范围是( ) (A) {}6
0≤≤a a (B) {}4,2≥≤a a a 或(C) {}6,0≥≤a a a 或 (D){}|24a a ≤≤
2. 在复平面内，复数i
i 2
)
31(-对应的点位于( )
（A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
3．已知变量y x ,呈线性相关关系，回归方程为x y 25.0^
-=，则变量y x ,是( ) (A)线性正相关关系 (B)由回归方程无法判断其正负相关 (C)线性负相关关系 (D)不存在线性相关关系
4.点(,)P x y 在直线430x y +=上，且满足147x y -≤-≤，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )
(A) [0，5] (B) [0，10] (C) [5，10] (D) [5，15]
5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是( )
(A)2
27(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ (B)22
(2)(1)1x y -+-=
(C)2
2
(1)(3)1x y -+-= (D) ()11232
2
=-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y x
6．如图给出的是计算
100
1
4121+
++ 的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是( ) (A)1,100+=>n n i (B)2,100+=>n n i
(C)
2,50+=>n n i
(D)2,50+=≤n n i
7．同时抛掷两个表面上标有数字的正方体，其中有两个面的数字是1，两个面的数字是2，两个面上的数字是4，则朝上的点数之积为4的概率为( )
（A ）
31 （B ）18
5 （C ）92 （D ）61
8．如果执行下面的框图，运行结果为( ) （A ）22 （B ）3 （C ）10 （D ）4
9.直线3y kx =+与圆()()22
324x y -+-=相交于M,N
两点，若MN ≥，则k 的取值范围是( )
(A) 203⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦， (B) []304⎡
⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，
(C) 33⎡-
⎢⎣⎦
， (D)
304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
10.甲、乙两组数据分别为甲：28,31,39,45,42,55,58,57,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67则甲、乙的中位数分别是( ) (A) 45,44 (B)45，47 (C) 42,46 (D)42，47 11．若直线⎩⎨
⎧+=-=t
y t
x 3221（t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k 为( )
(A)-3 (B) 61-
(C)3
1
- (D) -6 12. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，直线
l 为过P 且切于双曲线的直线，
且平分21PF F ∠，过O 作与直线l 平行的直线交1PF 于M 点，则a MP =，利用类比推理：若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，直线l 为
过P 且切于椭圆的直线，且平分21PF F ∠的外角，过O 作与直线平行的直线交1PF 于M 点，则||MP 的值为 ( ) （A ）a （B ）b （C ）c （D ）无法确定 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设D 是不等式组21023041
x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪
⎨≤≤⎪⎪≥⎩表示的平面区域,则D 中的点(,)P x y 到直线10x y +=距离的最大值
是_______.
14． 已知圆的极坐标方程为2cos
ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离
是 .
15. 甲，乙两辆车在某公路行驶方向如图，为了安全，两辆车在拐入同一公路时，需要有一车等待.已
知甲车拐入需要的时间为2分钟，乙车拐入需要的时间为1分钟，倘若甲、乙两车都在某5分钟内到达
16．某医疗机构研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500
名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设
H：“这种血清不能起到预防感冒的
作用”，利用2
2⨯列联表计算得918
.3
2≈
k，经查对临界值表知05
.0
)
84
.3
(2≈
≥
K
P．对此，四名同学
做出了以下判断：
①有%
95的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人使用该血清，那么他在一年中有
%
95的可能性感冒；③这种血清预防感冒的有效率为%
95；④这种血清预防感冒的有效率为%
5；
则下列结论中，正确结论的序号是______.（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题
17．（本小题满分10分）一个口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、
乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为
偶数算甲赢，否则算乙赢．
（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD
-的底面为直角梯
形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA=PB，PC=PD
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如果1
AD=,3,4
BC CD
==，且侧面PCD的面积为8，
求四棱锥P ABCD
-的体积。

19．（本小题满分12分）某高校在2011年的自主招生考试成绩
中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分
布表如下所示．
（1）请先求出频率分布表中①，②位置相应的数据，再完成下
列频率分布直方图；并确定中位数。

（结果保留2位小数）
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，
5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的条件下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接
受考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？
20. （本小题满分12分）以平面直角坐标系xoy
的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
直线l的极坐标方程为cos()0
4
π
ρθ+=，曲线
1
C的参数方程为
24cos
(
1
sin
2
x
y
θ
θ
θ
=+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
是参数）
（1）若把曲线
1
C上的横坐标缩短为原来的
1
4
，纵坐标不变，得到曲线
2
C，
求曲线
2
C在直角坐标系下的方程
（2）在第（1）问的条件下，判断曲线
2
C与直线l的位置关系，并说明理由；
21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数2
()2
f x x x b
=++（x∈R）的图象
与两个坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
22．（本小题满分12分）
已知函数).
(
)
(≠
+
+
=x
b
x
a
x
x
f，其中R
b
a∈
,
（1）若曲线)
(x
f
y=在点))
2(
,2(f
P处的切线方程为y=3x+1，求函数)
(x
f的解析式；
（2）讨论函数
)
(x
f的单调性；
2012届高二下学期——文科数学期末考试试题答案
满分150分 时间120分钟 日期：2011.7.6
1-5 CBCBB 6-10CABDB 11-12 DA 13. 24 14.
55 15. 2
1
16. ① 17．解：（I ）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．………2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ………4分
所以51
()255
P A =
=． …………………………………………………………………6分 答：编号的和为6的概率为1
5
．…………………………………………………7分
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．…………………………………………………9分
设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ， …………………………10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）． 所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－1325＝12
25
．14分
由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平． ………………15分
18.（1）解：取AB 、CD 的中点E 、F 。

连结PE 、EF 、PF ，
由PA=PB 、PC=PD 得P E ⊥AB ，PF ⊥CD ∴EF 为直角梯形的中位线，EF CD ∴⊥ 又,PF EF F CD =∴⊥平面PEF
PF ⊂平面PEF ,得CD PE ⊥
又PE AB ⊥且梯形两腰AB 、CD 必交 PE ABCD PE PAB PAB ABCD
∴⊥⊂∴⊥平面又平面平面平面
()()11
,422
4
PCD PF CD S CD PF PF
PF ∆∏I ⊥=
⋅=⨯⨯∴=由则 由已知，()1
22
EF AD BC =+=又在直角PEF ∆中，
PE ==P ABCD =
的高为∙ 四棱锥P ABCD =的体积
)132
1 83AD BC CD V PE
+⋅=⋅⋅=⨯⨯=
19．（1）①35②0.3中位数为171.67； （2）3,2,1
（3）
5
3 20. （1）曲线2C 的轨迹是 1)2
1()2
1
(2
2
=-+-y x --------------5分 （2）直线为 02=+-y x 圆心到直线的距离是12>=
d 所以直线和圆相离----10
21．解：（1）显然0b ≠．否则，二次函数2
()2f x x x b =++的图象与两个坐标轴只要有两个交点
(0,0),(2,0)-，这于题设不符．
由0b ≠知，二次函数2
()2f x x x b =++的图象与y 轴有一个非原点的交点(0,)b ，
故它与x 轴必有两个交点，从而方程2
20x x b ++=有两个不相等的实数根，因此方程的判别式
440b ->，即1b <．
所以，b 的取值范围是(,0)
(0,1)-∞．
（2）由方程2
20x x b ++=
，得1x =-2()2f x x x b =++的图象与坐标轴
的交点是(11---+．
设圆的方程为2
x 2
0y Dx Ey F ++++=．因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得
222(1)1)0,(1
)1)0,
0.D F D F b Eb F ⎧--+--+=⎪⎪
-+++-++=⎨⎪++=⎪⎩
解上述方程组，得2,
(1),.D E b F b =⎧⎪
=-+⎨⎪=⎩
所以，圆的方程为2
2
2(1)0x y x b y b ++-++=． 22． 解：（1）2
1)('x a x f -
=,由导数的几何意义得'f
（2）=3，于是a=-8，
由切点P （2,f （2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9
所以函数f （x ）的解析式为98
)(+-=x
x x f （2）2
1)('x a x f -
=，当a ≤0时，
显然)
f>0（x≠0）,这时f（x）在（-∞，0），（0，+∞）内是增函数；
('x
当a>0时，令)
，
('x
f=0，解得x=a
当x变化时，)
f的变化情况如下表：
(x
('x
f，)
所以)
(x
f在（-∞,-a），（a,+∞）内是增函数，
在（-a,0），（0, a）内是减函数。