湖北省孝感市私立博奥双语学校2018年高三数学理月考试题含解析

湖北省孝感市私立博奥双语学校2018年高三数学理月
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果，那么的最小值是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
2. （5分）下列关于函数f（x）=cos2x+tan（x﹣）的图象的叙述正确的是（） A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于直线x=对称 D．关于点（，0）对称
参考答案：
D
【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：由正弦函数和正切函数的对称性可得．
解：由2x=kπ+可得x=+，k∈Z
∴当k=0时，可得y=cos2x的图象关于点（，0）对称，
同理由x﹣=可得x=+，k∈Z
∴可得y=tan（x﹣）的图象关于点（，0）对称，
∴函数f（x）=cos2x+tan（x﹣）的图象关于点（，0）对称
故选：D
【点评】：本题考查三角函数的对称性，属基础题．
3. 设，则二项式展开式中不含项的系数和是
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 已知，则……………（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
5. 已知抛物线的焦点为F准线为l, P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60°,则的面积是( )
A. B. C. D.
参考答案：
【分析】
表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积.
【详解】
由已知条件抛物线的准线为，焦点为,
直线PF倾斜角为60°,故斜率，方程为：
代入抛物线方程可得：
解得：
由于Q在第四象限
故选：A
【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
6. 若实数x，y满足不等式组则2x＋4y的最小值是
A．6 B．4 C．D．
参考答案：
D
7. 设变量x、y满足约束条件则目标函数的最小值是（）A．－7 B．－4 C．1 D．2
参考答案：
A
略
8. 已知向量,且，则的最小值为
A． B．6 C．12 D．
参考答案：
B
9. 设集合，则（）
(A) (B) (C)
(D)
参考答案：
C
10. （sinx+x2）dx=（）
A．0 B．C．D．1
参考答案：
C
【考点】定积分．
【专题】导数的综合应用．
【分析】根据积分公式进行求解即可．
【解答】解：（sinx+x2）dx=（﹣cosx+x3）|=﹣cos1+﹣[﹣cos（﹣1）﹣
]=，
故选：C．
【点评】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的积分，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线
经过曲线的焦点，则实数的值为
___________。

参考答案：
4 【知识点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．N3
由曲线得y2=2ax，（a＞0），
由，消去参数t可得x﹣y﹣2=0，
∵曲线经过曲线曲线的焦点，
∴由可得，故答案为：4．
【思路点拨】将直线的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程，即可得出结论．
12. 已知F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x 轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是____▲________
参考答案：
略
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）
①tanA?tanB?tanC=tanA+tanB+tanC；
②若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45°；
③tanA+tanB+tanC的最小值为3；
④当tanB﹣1=时，则sin2C≥sinA?sinB；
⑤若[x]表示不超过x的最大整数，则满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]的A，B，C仅有一组．
参考答案：
①②④⑤
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】①利用和角的正切公式，结合三角形的内角和即可判断；
②由①可得tanA=1，进而可判断；
③举出反例：A=，B=C=计算即可；
④由①可得C=60°，进而利用和差角公式及正弦型函数的性质即可判断；
⑤由[x]的定义，结合①可确定tanA、tanB、tanC为整数，进而可判断．
【解答】解：①由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）
=﹣tanC（1﹣tanAtanB）
=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故正确；
②由tanA：tanB：tanC=1：2：3，
设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π﹣（B+C）]
=﹣tan（B+C）
=﹣
=﹣=x，
整理得：x2=1，解得：x=1或x=﹣1，
∴tanA=1或tanA=﹣1（不合题意，舍去），
又A为三角形的内角，则A=45°，故正确；
③当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故错误；
④当tanB﹣1=时， tanA?tanB=tanA+tanB+tanC，
即tanC=，C=60°，此时sin2C=，
sinA?sinB=sinA?sin（120°﹣A）
=sinA?（cosA+sinA）
=sin2A﹣cos2A
=sin（2A﹣30°）
，则sin2C≥sinA?sinB，故正确；
⑤∵对任意实数x，均有[x]≤x，
∴[tanA]+[tanB]+[tanC]≤tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，
又由①可知tanA、tanB、tanC为整数，
不妨设tanA＜tanB＜tanC，则tanA、tanB、tanC分别为1、2、3，故正确；
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，属于中档题．
14. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为.
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝.
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆
的参数方程为.
参考答案：
A. 由科尔不等式可得
（am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2
B.
C. x=，y=，0≤＜
A.略
B.
已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴PDE∽PEA
∴而PD=2DA=2 ∴PA=3
PE2=PA·PD=6故PE=
C.x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的
标准参数方程为x=，y=，0≤a＜2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0≤＜，所以0≤2＜2，所以所求圆的参数方程为
x=，y=，0≤＜
15. 已知向量=（m，3），=（1，2），且∥，则?的值为．
参考答案：
7.5
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】首先由向量平行的坐标关系得到m，然后利用平面向量的数量积公式求解．
【解答】解：由向量=（m，3），=（1，2），且∥，得到2m=3，得到m=1.5，
所以?=m+6=7.5；
故答案为：7.5
16. 的展开式中的第3项含有，则的值为．
参考答案：
10
17. 若变量x，y满足，则点P（x，y）表示的区域的面积为．
参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可．
【解答】解：变量x，y满足表示的可行域如图：
则点P（x，y）表示的区域的面积为：．
故答案为：4．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
参考答案：
【考点】HX：解三角形．
【分析】（1）由正弦定理有： sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；
（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，
所以A=；
（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有，
解得b=c=2．
19. 如图，已知点和单位圆上半部分上的动点．
(Ⅰ)若，求向量；
(Ⅱ)求的最小值．
参考答案：
(Ⅰ)依题意，，（不含1个或2个端点也对）
，（写出1个即可）
因为，所以，即
解得，所以
(Ⅱ) ，
当时，取得最小值，
略
20. （本小题满分10分）
已知切线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）.
(1)写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；
(2)设曲线C经过伸缩变换，得到曲线，判断L与切线交点的个数.参考答案：
【知识点】极坐标与参数方程. N3
【答案解析】(1) 直线L的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）两个 .
解析：（1）消去参数t得直线L的直角坐标方程为:,
由公式得曲线C的直角坐标方程为；--------5分
(2)曲线C经过伸缩变换得到曲线的方程为，由于直线L恒过点
，点在椭圆内部，所以直线L与椭圆相交，
故直线与椭圆有两个交点.-------10分
【思路点拨】(1)参数方程消去参数得普通方程，利用公式完成极坐标方程与直角坐标方程的相互转化.(2)先求得曲线的方程，再由直线L所过的点在曲线
内，得
直线与曲线有两个交点.
21. 为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为。

(Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；
（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望。

下面的临界值表供参考：
0.025
5.024
(参考公式：，其中)
参考答案：
解：(Ⅰ) 列联表补充如下：
（Ⅱ）
∴有99.5％的把握认为喜爱数学与性别有关
（Ⅲ）喜爱数学的女生人数的可能取值为。

其概率分别为
,,
故的分布列为:
的期望值为:
22. 已知f（x）=|x2﹣2|+x2+ax．
（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：＜+＜2．
参考答案：
考点：带绝对值的函数．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）若a=3，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=，即可求方程f（x）=0的解；
（2）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=
在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图求实数a的取值范围；
②由①得，=﹣k，=﹣k，可得+=x2，利用＜x2＜2，即可证明：＜
+＜2．
解答：解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=
所以当x或x≥时，得x=﹣2，或x=（舍去）
当﹣＜x＜时，2+3x=0得x=﹣
所以a=3时，方程f（x）=0的解是x=﹣2或x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，
﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图可知：
当且仅当＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣时，g（x）在（0，2）上有两个零点
所以，﹣3＜a＜﹣时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（②由①得，=﹣k，=﹣k，
所以+=x2，而＜x2＜2
所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的零点，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。