2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题01集合常用逻辑用语热点难点突破文20190416239

专题01 集合、常用逻辑用语
1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( ) A ．A ∪B B ．A ∩B C ．∁U (A ∩B )
D ．∁U (A ∪B )
【解析】解法一：由题意可知∁U A ＝{1,2,6,7,8}，∁U B ＝{2,4,5,7,8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{2,7,8}．由集合的运算性质可知(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，即∁U (A ∪B )＝{2,7,8}，故选D.
解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U (A ∪B )＝{2,7,8}，故选D.
【答案】D
2．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
6
x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{0,1,2} C ．{2,3} D ．{0,2,4} 【解析】∵
6
x ＋1
∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}，故选B.
【答案】B
3．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2
－a ＋1}，若B ⊆A ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．2
C ．－1或2
D ．1或－1或2
【答案】C
4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2
＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7
【解析】由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＝4y ，y ＝x
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝0
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4，y ＝4，
即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，
∴A ∩B 的真子集个数为22
－1＝3，故选B. 【答案】B
5．已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2
}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B ．[－1,2] C ．[－2,1]
D ．[2，＋∞)
【解析】集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≥－2，
a ＋1≤2，所以
－2≤a ≤1，故选C.
【答案】C
6．设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2
－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )
A ．{0,1}
B ．{1,2}
C ．{0,1,2}
D ．{0,1,2,5}
【解析】∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2
－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}，故选D.
【答案】D
7．下列说法正确的是( )
A ．“若a >1，则a 2
>1”的否命题是“若a >1，则a 2
≤1” B ．“若am 2
<bm 2
，则a <b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4x 0成立 D ．“若sin α≠12，则α≠π
6
”是真命题
【答案】D
8． “m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】当m <0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A.
【答案】A
9．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 2
0－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b
，则下列命题中为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(綈q )
C ．(綈p )∧q
D ．(綈p )∧(綈q )
【解析】x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34
>0，所以∃x 0∈R ，使x 2
0－x 0＋1≥0成立，故p 为真命题，綈p 为假
命题，又易知命题q 为假命题，所以綈q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p ∧(綈q )为真命题，故选B.
【答案】B
10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x 24－y
2
3
＝1
，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2,2]
B ．[0,2]
C ．{(－2,4)，(2,4)}
D ．[2，＋∞)
【解析】由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x 24－y
2
3
＝1
，得A ＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 由B ＝{y |y ＝x 2
}，知集合B 表示函数y ＝x 2
的值域，即B ＝[0，＋∞)， 所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选D. 【答案】D
11．已知a ，b 都是实数，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】充分性：若2a >2b ，则2
a －b
>1，∴a －b >0，∴a >b .当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a >2b ，但a 2<b 2
，
故由2a
>2b
不能得出a 2
>b 2
，因此充分性不成立．必要性：若a 2
>b 2
，则|a |>|b |.当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2
>b 2
，但2－2
<21
，即2a <2b ，故必要性不成立．综上，“2a >2b ”是“a 2>b 2
”的既不充分也不必要条件，故选D.
【答案】D
12．给出下列命题：
①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”是“ab >1”的充分条件；
②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”是“|a ＋b |>1”的必要不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2
＋b 2
≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件；
④命题p ：“∃x 0∈R ，使e x 0
≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x
<x ＋1且ln x >x －1”．
其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【解析】①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”能够推出“ab >1”，“ab >1”不能推出“a >1且b >1”，故①正确；
②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”不能推出“|a ＋b |>1”，|a ＋b |>1不能推出|a |>1且|b |>1，故②不正确；
③已知a ，b ∈R ，当a 2
＋b 2
≥1时，a 2
＋b 2
＋2|a |·|b |≥1，则(|a |＋|b |)2
≥1，则|a |＋|b |≥1，又a ＝0.5，b ＝0.5满足|a |＋|b |≥1，但a 2
＋b 2
＝0.5<1，所以“a 2
＋b 2
≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件，故③正确；
④命题p ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x
<x ＋1或ln x >x －1”，故④不正确．
所以正确命题的个数为2，故选C. 【答案】C
13．下列说法中正确的个数是( )
(1)若命题p ：∃x 0∈R ，x 2
0－x 0≤0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 2
0－x 0>0； (2)命题“在△ABC 中，A >30°，则sin A >1
2
”的逆否命题为真命题；
(3)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的充分必要条件； (4)若统计数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则2x 1,2x 2，…，2x n 的方差为2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】A
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知条件p ：a ≤b ＋c
2
，条件q ：A ≤
B ＋C
2
，那么
条件p 是条件q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】在△ABC 中，若a ≤
b ＋c
2
，由余弦定理知cos A ＝
b 2＋
c 2－a
2
2bc
≥b 2＋c 2－⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋c 222bc
＝
34
(b 2＋c 2)－12bc
2bc
≥34×2bc －1
2bc 2bc ＝12，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以0<A ≤π3，所以B ＋C ≥2π3≥2A ，即A ≤B ＋C 2
.若
A ≤
B ＋
C 2
，由A ＋B ＋C ＝π，得0<A ≤π3
，令A ＝π3
，B ＝π6
，C ＝π2
，满足A ≤B ＋C 2
，此时令a ＝3t (t >0)，
则b ＝t ，c ＝2t ，由3t >1＋22t ＝32t ，得a >b ＋c 2
.
综上，条件p 是条件q 成立的充分不必要条件．故选A. 【答案】A
15．已知函数f (x )＝x 2
x 2－2x ＋2.命题p 1：y ＝f (x )的图象关于点(1,1)中心对称，命题p 2：若a <b <2，则
f (a )<f (b )．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：(綈p 1)∧(綈p 2)，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 1，q 4
C ．q 2，q 3
D ．q 2，q 4
【答案】B
16．命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－3，3)
【解析】由题意，命题“∀x ∈R ，a si n x ＋cos x <2”为真命题， 则a 2
＋1<2，∴－3<a <3， 则实数a 的取值范围是(－3，3)．
17．已知集合A ＝{x |x 2
－x －6≤0}，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
x ≤1
，则A ∩B ＝________.
【解析】∵A ＝{x |x 2
－x －6≤0}＝[－2,3]，B ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
x ≤1
＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A ∩B ＝[－2,0)∪[1,3]．
【答案】[－2,0)∪[1,3]
18．若条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 【解析】綈p 是綈q 的充分不必要条件等价于q 是p 的充分不必要条件，条件p ：|x ＋1|>2即x >1或
x <－3.因为条件q ：x >a ，故a ≥1.
【答案】a ≥1
19．已知命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 2
0＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧(綈q )”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
【解析】命题p ：∀x ∈[2,4]，log 2x －a ≥0⇒a ≤1.命题q ：∃x 0∈R ，x 2
0＋2ax 0＋2－a ＝0⇒a ≤－2或a ≥1，由p ∧(綈q )为真命题，得－2<a <1.
【答案】－2<a <1
20．设集合A ＝{x |x 2
＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2
－2ax －1≤0，a >0}，若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数
a 的取值范围是________．
【解析】A ＝{x |x 2
＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，设函数f (x )＝x 2
－2ax －1，因为函数f (x )＝x 2
－2ax －1图象的对称轴为直线x ＝a (a >0)，f (0)＝－1<0，根据对称性可知若A ∩B 中恰有一个整数，则这个整数
为2，所以有⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
2≤0，f 3>0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－4a －1≤0，
9－6a －1>0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥3
4，a <4
3，
即34≤a <4
3
. 【答案】⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，43。