山东省滨州市2019届高三期末考试数学(理)试题(解析版)

山东省滨州市2019届高三期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，
可得是两个集合的公共元素，所以，故选D.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.若复数是纯虚数，则实数（）
A. 0
B.
C. 1
D. -1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘方运算化简复数，再由实部为0且虚部不为0求得的值.
【详解】，
是纯虚数，
，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘方运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.“实数使函数在上是增函数”是“实数对，恒成立”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的的单调性可得“实数使函数在上是增函数”等价于，结合基本不等式可得“实数对，恒成立”等价于，根据包含关系，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.
【详解】由在上是增函数，可得，
，
若恒成立，则，
即，可推出，
不能推出，
“实数使函数在上是增函数”是
“实数对，恒成立”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质与基本不等式的应用，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
4.已知，，则（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
将平方可求出的值，且可判断的符号，从而可得的值，解得的值，利用商的关系可得结果.
【详解】由题意知，，①
，即，
，为钝角，，
，
，
，②
由①②解得，
，故选B.
【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
5.若满足约束条件，则的最大值为（）
A. 2
B. 3
C.
D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选D.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6.已知双曲线：（，）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，则，所以，即，
所以，故选D。

7.已知函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需把上所有的点（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值，可得函数的解析式,再利用的图象变換规律，得出结论.
【详解】由函数(其中的部分图象可得,
，求得，
再根据五点法作图可得，
故把的图象向右平移个长度单位,
可得的图象，故选A.
【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质以及图象的平移法则，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
8.设为所在平面内一点，若，，则（）
A. -2
B.
C.
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由，根据向量运算的“三角形法则”可得，结合，求得的值，从而可得结果.
【详解】，
，
，故选A.
【点睛】本题主要考查向量的几何运算，属于中档题．向量的几何运算往往结合平面几何知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
9.如图，圆柱的底直径与高都等于球的直径，记圆柱的表面积为，球的表面积为，则（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设出球的半径，可得圆柱的底面半径与高，求出圆柱的表面积以及球的表面积即可得到结果.
【详解】设球的半径为,则球的表面积为，
可得圆柱的底面半径为，高为，
圆柱的表面积为，
则，故选C.
【点睛】本题主要考查球的表面积以及圆柱的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力. 求几何体的表面积的方法:(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点，求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或求差求得几何体的表面积.
10.已知是定义在上的奇函数，满足，若，则（）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由是定义在上的奇函数，可得，结合，可证明是周期为4的函数，求得
的值，从而可得结果.
【详解】是定义在上的奇函数，
且，
，，
，，
是周期为4的函数，
，，
，
且，，
又，
，
，故选B.
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性与解析式，属于难题.抽象函数给出条件判断周期的常见形式
为:(1)；（2）；（3） .
11.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则
（）
A. 3
B.
C. 4或
D. 3或4
【答案】B
【解析】
【分析】
设到的距离为，结合，利用抛物线定义求得倾斜角的正切值可得直线斜率，可得到直线的方程,与
联立可得,利用焦半径公式可得结果.
【详解】设到的距离为，则由抛物线的定义可得,
，
直线的斜率为，
因为抛物线方程为，
，准线，
直线的方程为，
与联立可得或（舍去），
，故选B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、方程和简单性质，同时考查直线与拋物线的位置关系和向量共线的性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
12.已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
恰有4个零点等价于方程有四个不同的根，等价于的图象有四个不同的交点，作出
的图象，求出与,相切的的值，利用数形结合即可得出结论.
【详解】
恰有4个零点等价于方程有四个不同的根，
等价于的图象有四个不同的交点，
作出的图象，
由图可知时，两图象有三个交点，
由,由，
此时过上的点，,
所以，即与相切，
可得时，两图象有两个交点，
由图可知，当时，的图象有四个不同的交点，
即恰有4个零点，
所以，若恰有4个零点，则实数的取值范围是，故选A.
【点睛】本题考查分段函数的解析式、函数的零点，导数的几何意义最数形结合的数学思想的应用,属于难题. 函数
零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数
与的交点.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中的常数项是（用数字作答）．
【答案】15
【解析】
略
14.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值。

【详解】输入，
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，；
第四次循环，；
第五次循环，；
第六次循环，，
退出循环，输出，故答案为42.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
15.在中，角的对边分别为，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，利用正弦定理可得，化简后利用余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】，
由正弦定理可得，
化为，
由余弦定理可得，
又，故答案为.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16.已知正方体的棱长为2，点是棱的中点，则过点且与直线垂直的平面截正方体所得的截面的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
取中点中点中点，连接，可证明平面，利用矩形的面积公式可得结果.
【详解】
取中点中点中点，连接，
则平面，平面，，
由中位线定理可得
因为，
平面，
即矩形是过与垂直的截面，
因为正方体的棱长为2，
所以，
所以矩形的面积为，故答案为.
【点睛】本题主要考查正方体的性质，截面的定义以及线面垂直的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足，.
（1）证明：为常数；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，可得，两式相除即可得结果；（2）由（1）知数列是2为首项，2为公比的等比数列，数列是1为首项，2为公比的等比数列；利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得结果. 【详解】（1）因为，①
所以.②
②除以①式，得
，
所以为常数2.
（2）因为，，
所以，即.
由（1）知数列是2为首项，2为公比的等比数列；
数列是1为首项，2为公比的等比数列；
所以.
【点睛】本题主要考查数列的递推公式以及等比数列的求和公式，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比或首项不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
18.如图1，在梯形中，，，，，是的中点，是与的交点，以
为折痕把折起，使点到达点的位置，且，如图2.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质可得，由勾股定理可得.可得平面，由面面垂直的判定定理即可证明平面平面；(2)由（1）知互相垂直，以为轴建立空间坐标系，为平面
的法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求得二面角
的余弦值.
【详解】（1）在图1中，因为，，，
是的中点，，
所以四边形为正方形，
所以，
即在图2中，，，.
又因为，所以在中，，
所以.
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则得，
令，则，，即，
由（1）平面平面，且，
所以平面，即为平面的法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为.
（2）（几何法）取的中点，连接.
因为，，
所以，，
所以就是二面角的平面角.
又，，，
所以，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理，利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）设倾斜角为45°的直线与交于两点，记的面积为，求取最大值时直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）根据点在椭圆上，且满足，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为.
联立消去，整理得，由韦达定理，利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形的面积公式求得，利用基本不等式可得结果.
【详解】（1）设，，根据题意的，
，，
所以，解得，
因为，①
又因为点在椭圆上，所以，②
联立①②，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的倾斜角为45°，所以设直线的方程为.
联立消去，整理得
因为直线与交于两点，
所以，解得，.
设，，则
，，
从而，.
又因为点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即，即时取等号.
所以的面积的最大值为，
此时直线的方程为或.
【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
20.某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）.
表1：
规定：每项测试合格得5分，不合格得0分.
（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.
①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这120名职工的平均得分；
②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；
（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：
表2：
定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：
表3：
判断本次测试的难度预估是否合理.
【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为；②；（2）合理.
【解析】
【分析】
（1）①可取，由表格中数据，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，
进而利用期望公式可得的数学期望，由的值可得平均分；②由①知
，由互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式可得结果；（2）直接
利用方差公式求出方差，与比较大小即可得结果.
【详解】（1）①根据上面的测试结果统计表，得的分布列为：
所以的数学期望.
所以估计这12名职工的平均得分为.
②“得分不小于20分”即“”，
由①知.
设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为，则.
所以，
即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为.
（2）由题意知
该次测试的难度预估是合理的.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
21.已知函数.
（1）讨论在上的单调性；
（2），，总有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调
递增；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求
得的范围，可得函数的减区间；（2）先利用判别式，整理得，
成立，，两次求导可得，由此，从而可得结果.
【详解】（1）因为，
所以.
①当时，恒成立，所以函数在上单调递增.
②当时，由，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述，
当时，函数在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）由得，
，
整理得，
由题意得“，，总有成立”等价于“，，
恒成立”.
所以，
方法一：整理得，成立.
令，
则.
令，则，
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
所以，
所以当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
所以，
所以，
即.
故实数的取值范围为.
方法二：整理得，
令，则，
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减，
所以，
所以
即，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(
图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）极坐标方程两边同乘以利用即可得直角坐标方程；（2）可设直线的参数方程（为参数），直线参数方程代入曲线的直角坐标方程可得,解得，，利用直线参数方程的几何意义可得结果.
【详解】（1）由得.①
又因为，，，
所以①式可以转化为.
即曲线的直角坐标方程为.②
（2）因为直线过点且倾斜角为，
故可设直线的参数方程为（为参数），
即（为参数），
代入②式，得.
解得，.
根据参数的几何意义，得
.
【点睛】本题主要考查直线的参数方程的应用以及极坐标方程化为直角坐标方程，属于中档题.通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线极坐标方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）当时，
可以转化为，，结合，转化为，求得，
，从而可得结果.
【详解】（1）当时，，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综合①②③可知，原不等式的解集为.
（2）当时，，
所以可以转化为，
从而得知，即，
因为，所以上式可以转化为，
又因为，，
所以的取值范围为.
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。