四边形的复习[下学期]--北师大版

6、菱形的识别方法：
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)四边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
7、正方形的特征：
(1)正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交 点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的 连线和对角线所在直线，共有四条对称轴； (2)正方形四条边都相等； (等，每条对角线平分一 组对角，对角线与边的夹角等于45°．
分析：连结AC，由菱形的特征与 已知条件可得△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠ACD=60°，由 ∠EAF=60°，可得 ∠BAE=∠CAF，进而可得△ACF 是△ABE绕点A旋转60°得到， ∴AE=AF，得△AEF为等边三角 形，从而求出∠CEF．
解：连结AC，菱形ABCD中，AB=BC， ∠ACB=∠ACD. ∵∠B=60°, ∴△ABC是等边三角形. 于是有∠BAC＝∠ACB＝∠ACD=60°,AB=AC. 由已知∠EAF=60°, 可得 ∠BAE=∠CAF. ∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的. ∴AE=AF. ∴△AEF是等边三角形,∠AEF=60°. ∵∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE， ∴ ∠CEF＝∠BAE＝20°.
说明：菱形是特殊的平行四边形，除 具有平行四边形的性质外，还有以下 特性： (1)菱形的四条边相等； (2)菱形的对角线互相垂直平分，并且 每一条对角线平分一组对角．
例10、已知，正方形ABCD，△ADE是等边 三角形，求∠BEC的度数.
分析：本题应分两种情况考虑： (1)点E在正方形ABCD的外部; (2)点E在正方形ABCD的内部. 然后应用正方形和等边三角形的有关特征即可 求解.
四边形的复习
椒江区育英学校 沈小兵
一、知识回顾
归纳四边形、平行四边形、矩形、菱形、正 方形关系图：
1、平行四边形的特征：
(1)是中心对称图形，对称中心是对角 线的交点； (2)对边分别平行； (3)对边分别相等； (4)对角线互相平分．
2、平行四边形的识别方法：

例 5 （ 2005 四 川 泸 州 ） 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、 H 分别是 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的中点，以图中的 任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．
第一种：可画为平行四边形EFGH ； 第二种：可画为平行四边形DEBG（或 画为平行四边形AHCF）
解：(1) 如图 当点E在正方形ABCD的外 部时，由ABCD是正方形， △ADE是等边三角形，得 ∠CDE＝90°＋60°＝ 150°，DE＝AD＝DC， 因此∠DEC＝∠ECD＝ (180°－150°)÷2＝ 15°. 同理可推得∠ABE＝15°. 则∠BEC＝∠AED－∠AEB －∠DEC＝60°－15°－ 15°＝30°.
说明：以正方形的一边画等边三角形有两种情况， 解此题时容易漏解
在解有关特殊四边形的问题时，要充分 利用其特征。 证明两线段互相平分，设法证明线段四 个端点组成的四边形是平行四边形往往 是解决问题的关键。 平行四边形常常还是证明线段相等或平 行、角相等的有效手段。
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（1）作图如图:
（2） ABFE是平行四边形，
EFB A 63 ABEF 是由ABEF 翻折得到的，
0
BFE EFB 630。 BFC 1800 BFE EFB 540
例9、如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且 ∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF的度数．
D、
例4、（05浙江舟山实验区）挪威数学家阿贝尔， 年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式— —阿贝尔公式：右图是一个简单的阶梯形，可用两 种方法，每一种把图形分割成为两个矩形。利用它 们之间的面积关系，可以得到：a1b1+a2b2= （ C） A、a1(b1－b2)+(a1+a2)b1 B、a2(b2－b1)+(a1+a2)b2 C、a1(b1－b2)+(a1+a2)b2 D、a2(b1－b2)+(a1+a2)b1
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3、矩形的特征(具有平行四边形的一 切特征)：
(1)矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的 交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边 中点的直线，有两条对称轴； (2)矩形的四个角都是直角； (3)矩形的对角线相等且互相平分．
三、例题精析
例1、填空: 两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形； 相等 两条对角线 的平行四边形是矩形； 垂直 两条对角线 的平行四边形是菱形； 两条对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形； 两条对角线 互相垂直平分 的四边形是菱形.
例2、如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形 ABCD重合，那么图形所在的平面上可 作为旋转中心的点共有
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改，也很不容易啊。“总之，一定要努力啊，能考进前三最好。”为何感觉这话只有家长才会说呢……简直是古代版的家长寄语。“白 姑娘真是见多识广，在下佩服。”张祁渊云淡风轻的一笑，似乎没想到慕容凌娢会知道这么多，“留在这里，实在是有些大材小用 啊。”“我确实不准备在这里多呆。”鬼才愿意呆在这个连信号都没有的年代。“那姑娘下一步准备怎么办？”“我？当然是……存点 钱，搞清楚形式，然后就去闯荡江湖……”“原来是这样……”张祁渊沉思了片刻，起身到，“我这里有一物赠与姑娘，倘若就此别过， 再无相见之日，也好……”“别别别！”还没等他拿出东西，就被慕容凌娢激动的拍案而起阻止了，整天有人往外掉装备，她都搞不清 是线索还是道具了，这回要是收下，那真是神都救不活的作死了。“白绫不过是烟尘女子，公子注定是有大作为的人，怎敢求得公子的 挂念……”先拍马屁，然后给个台阶下，成功几率会高很多。“公子的东西白凌绝不收，请回吧……”“既然如此……也罢，就此别过， 有缘再见。”张祁渊居然向慕容凌娢拱手施了一礼，把慕容凌娢吓了一大跳。虽然这只能算是古代人告别的普通礼仪，但来这醉影楼中 的人，能把这里的歌伎平等对待的，又有多少呢？至少慕容凌娢之前从未遇到过。她只得以同样的方式回礼。……繁华街道的另一边， 一条静谧的河流缓缓流淌，水面映照下的灯光，流光逸彩。河边站着一个男子，剑眉星眸，风 流倜傥，衣着华丽。他望向河对岸的灯 火阑珊之处，像是在等待什么。“辰耀，我回来了。”张祁渊的声音从他身后响起。“怎么样？你的定情信物送出去了？”被叫做辰耀 的男子扬唇一笑，半开玩笑的说，“那女子有没有哭得泪流满面？”“别乱说！她连东西都没见，就坚决不要……”张祁渊拿出了一支 做工精致的梳子，叹了口气道，“既然如此，这东西留着也没什么用了。”说罢，他轻轻一抬手，梳子便被抛到水中，激起一圈圈的涟 漪，沉入水中便没了踪影。“喂，那么好的东西，干嘛扔了！”辰耀没来得及拦住他，只得惋惜。“你不是挑了好久吗？”“她不 要……难不成给你啊！”“给我也没问题啊。”辰耀并未生气，双手环胸一副自信满满的样子，“反正有那么多女人争着抢着，想要我 的定情之物……倒是你，在这方面简直是一窍不通。第一次去那种地方，就被那个带面纱的女子迷的神魂颠倒。你也不想想，要是她真 的倾国倾城，怎么会在独自见你时也不肯摘下面纱。”“这不重要。”“不重要？兄弟你是在开玩笑吧！”辰耀仿佛听到了世上最不可 思议的言论，“女人最重要的当然是脸啊！”“这种话你还是回去给家里那位说吧。”(古风一言)那年风华月下，谁琴曲声声惊了古刹， 谁歌舞似仙数
例6、(2005湖北黄石)已知菱形的周长 为40cm,两条对角线之比为3：4，则 菱形的面积为 96cm2 .
•例7、（2005深圳）如图，口ABCD中， 点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE 向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若 △FDE的周长为8，△FCB的周长为22， 7 则FC的长为 。
(2) 如图 当点E在正方形ABCD的内部时， 由ABCD是正方形，△ADE是 等边三角形，得 ∠EAB＝∠DAB－∠DAE＝ 90°－60°＝30°, AE＝AD＝AB, 因此∠AEB＝∠ABE＝(180° －30°)÷2＝75°. 同理可推得∠DEC＝75°. 则∠BEC＝360°－∠AEB－ ∠AED－∠DEC ＝360°－75°－60°－ 75° ＝150°.
8、正方形的识别方法：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
注意： 1、正方形概念的三个要点：
（1）是平行四边形； （2）有一个角是直角； （3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先 确定它是菱形或是矩形，然后再加上 相应的条件，确定是正方形.
二、复习思路
1、在解决特殊四边形的有关问题时，应首先熟悉这些四 边形的特征、识别方法，如矩形的对角线相等、四个角都 是直角，菱形的四条边相等、对角线互相垂直等等；其次 是在解题时要认真体会运用了哪些特征、识别，还有什么 方法。例如通常欲证四边形是矩形（菱形），可先证它是 平行四边形，再根据矩形（菱形）的特有条件证明它是矩 形（菱形）；再则，要充分利用正方形的特征应用旋转方 法或全等方法得全等三角形。 2、新课标比较重视通过平移、旋转变换掌握特殊四边形 的概念特征和识别，会应用平移、旋转解决有关问题。
例8、（2005苏州）如图，平行四边形纸条 ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老 师请同学将纸条的下半部分口ABFE沿EF翻折，
得到一个V字形图案。 （1）请你在原图中画出翻折后的图形 口A′B′FE；（用尺规作图，不写画法，保留作 图痕迹） （2）已知∠A=630， 求∠B′FC的大小。
3
个.
例3、（2005福州）如图，小亮拿一张矩形纸图 （1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两 顶点重合折叠得图（3）。按图（4）沿折痕中点 与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图 形分别是…………（ ）
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A、都是等腰梯形 B、都是等边三角形 C、两个直角三角形，一个等腰三角形 两个直角三角形，一个等腰梯形
4、识别一个四边形是矩形的方法：
(1)有一个内角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线相等的平行四边形是矩形； （注意：有其他的应用形式） (3)有三个角是直角的四边形是矩形； (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
5、菱形特征(具有平行四边形 的一切特征)：
(1)菱形是中心对称图形，对称中心是对角线 的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴为它 的对角线所在的直线，有两条对称轴； (2)菱形的四条边相等； (3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条 对角线平分一组对角．