2019届高三10月摸底考试数学(理)试题

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
设{|A x y ==，{|ln(1)}B x y x ==+，则A
B =（ ）
A ．{|1}x x ≠-
B ．{|1}x x <
C ．{|11}x x -<≤
D ．R 2.若(2)a i i b i -=+(,)a b R ∈，则a
b
=（ ） A ． 2 B ．
1
2
C ．1
D ．-1 3.已知:0p a <，2:q a a >，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
4.已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．4 B ． 5 C. 8 D ．15
5.若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[2,6]
B ．[6,2]-- C. (2,6) D ．(6,2)--
6.设,x y 满足约束条件20
21001x y x y x -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，设向量(2,)a y x m =-，(1,1)b =-，若//a b ，则
m 的最大值为（ ）
A ． -6
B ． 6 C. 1 D ．-1 7.已知函数1
()||f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图像为（ ） A ． B ．
C. D ．
8.一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(,)S l 的序号是（ ） ①(1,4) ②(6,8) ③(7,12) ④1
(3,)2
A ．①③
B ．①③④ C. ②④ D ．②③④
9.若函数()f x 在0x =处没有定义，且对于所有非零实数x ，都有1()2()3f x f x x
+=，则函数()()()g x f x f x =--的零点个数为（ ） A ． 1 B ．2 C. 3 D ．0 10.数列{}n a 的通项公式1
sin(
)12
n n a n π+=+，前n 项和n S ，则2017S =（ ） A ．1232 B ．3019 C.3025 D ．4321 11.下列说法： ①命题“0x R ∃∈，0
2
0x ≤”的否定是“x R ∀∈，20x >”； ②函数1sin()2
4
y x π
=-+在闭区间[,]22
ππ
-
上是增函数； ③函数2
y =
的最小值为2；
④已知函数()1||
x
f x x =
+，则(1,)k ∃∈+∞，使得()()g x f x kx =-在R 上有三个零点. 其中正确的个数是（ ）
A ． 3
B ．2 C. 1 D ．0
12.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4米，沿AC 折叠使B 到'B 位置，'AB 交DC 于P ，研究发现，当ADP ∆的面积最大时最节能，则最节能时ABCD 的面积为（ ）
A ．3-．1) D ．2
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若点(3,27)在函数x y a =的图像上，则log 81a = ． 14.设0.1
1.1a =，ln 2b =
，1
3
log 3
c =，则,,a b c 的大小关系是 ． 15. ABC ∆中，若,,AC CB BA 成等比数列，,,BA BC AB AC CA CB 成等差数列，则角
A = ．
16.已知定义域为R 的函数()f x ，满足如下条件：
①对任意实数,x y 都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=； ②(0)0f =，()12
f π
=.
则(2)(2)()4
f x f x f π
ππ++--= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数)sin()(ϕω+=x A x f (0,0,,)A x R ωπφπ>>-<<∈在一个周期内的部分对应值如下表：
（1）求()f x 的解析式； （2）求函数1
()()2sin 2
g x f x x =
-的最大值及其对应的x 的值. 18. 已知公比为q 的等比数列{}n a ，满足13223a a a +=，且32a
+是24,a a 的等差中项. （1）求q ；
（2）若2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.在ABC ∆中，设,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若
222sin cos sin sin sin cos2C B A A B B --=-.
（1）求C ；
（2）若D 为AB 中点，c =，3CD =，求ABC ∆的面积S .
20. 已知函数2()(2)ln f x bx a x a x =+--的一个极值点为1x =. （1）求b 的值；
（2）若()f x 在区间(1,)e 上存在最小值，求a 的取值范围. 21. 已知点(1,0)A ，(0,1)B 和互不相同的点123,,,
,,
n P P P P ，满足
n n n OP a OA b OB =+*
()n N ∈，
其中{}n a ，{}n b 分别为等差数列和等比数列，O 为坐标原点，若112AP PB =. （1）求1P 的坐标； （2）试判断点123,,,
,,
n P P P P 能否共线？并证明你的结论.
22. 已知函数()ln(1)ln(1)f x a x b x a b =+--+-，在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =. （1）求()f x 的解析式；
（2）求证：当(1,0)x ∈-时，3
()3
x f x x <+；
（3）设实数k 使得3
()()3
x f x k x <+对(1,0)x ∈-恒成立，求k 的最大值.
答案
一、选择题：DBDCA BDABC CC
二、填空题：13. 4 14． a b c << 15.
3π 16.
-16. 解析：取x=0，则得f(y)+f(-y)=0,即函数f （x ）为奇函数；取y=
2
π
，则得f(x+2π)+f(x-2π)=0,所以函数f （x ）的周期为2π；再取x=y=4
π
得
(
)+(0)=2(
)cos
,(
)=
2
4
4
4
2
f f f f π
π
π
π
∴，
又由于函数f （x ）为奇函数，所以(+2)+(2)(
)=4
f x f x f π
ππ--
-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
解：（1）由表格可知，A=2，
()f x 的周期()22
T ππ
=
--=π， 所以22ωπ
=
=π
. 又由()2sin 202ϕ⨯+=，所以2
ϕπ=. 所以()2sin(2)2cos 22
f x x x π
=+
=. （2）
21()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2g x f x x x x x x =-=-=--2132(sin )22
x =-++. 由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =-时，()g x 有最大值3
2
；
因为1
sin 2x =-
所以72266x k x k ππ
ππ=-=+或
18解:（1）设等比数列
{}n a 的公比为q ，
依题意，有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,
32342231a a a a a a 即21132
11(2)3,()2 4.a q a q a q q a q ⎧+=⎨+=+⎩①②
由①得 0232
=+-q q ，解得2=q
或1=q
代入②知1=q 不适合，故舍去 （2）当2=q
时，代入②得21=a ，所以，n n n a 2221=⋅=-
22log 2log 22n n n n n n b a a n ===
23234+1
222322222232(-1)22n
n n n n S n S n n ∴=+⋅+⋅++⋅∴=+⋅+⋅++⋅+⋅
2
+12222n n n S n -=++-⋅两式相减得
所以
22)1(1+-=+n n n S
19. 解：（1）由题意得B B A C A 222sin sin sin sin sin +=+- 由正弦定理得2
22b ab c a +=+- 即 ab c
b a
-=-+2
22
由余弦定理得
21
cos -
=C
所以=C ︒120 （2）法1：由题意48cos 2222
=-+=C ab b a c
6
==
即36cos 222
=++b C ab a
所以12cos 4-=C ab 故ab=6
所以 2
3
3sin 21=
=
C ab S 法2：在△ABC 中，48cos 2222
=-+=C ab b a c
在△ADC 和△BDC 中，由余弦定理得：
22222121)2142
b ADC
a ADC ADC a
b π=-∠=--∠=+∠∴+= 2248a b ab ∴++= 故ab=6
所以 2
3
3sin 21=
=
C ab S
20.解：（1）'
()2(2)a
f x bx a x
=+--
(0)x > 因为1x =函数()f x 的一个极值点，所以'(1)220f b =-=. 所以 1.b =
（2）函数2()(2)ln f x x a x a x =+--的定义域是），（∞+0. 22(2)'()2(2)a x a x a
f x x a x x
+--=+--=
， (0)x > 令0)('=x f ，即(1)(2)'()0x x a f x x -+==，12
a
x =-或.
当12a
-
≤，即2a ≥-时，)(x f 在（1，e ）上单调递增，没有最小值 当1,-222
a
e e a <-<<<-即
时， )(x f 在（1，e ）上存在最小值()2
a
f -；
当2
a
e -≥，即2a e ≤-时，)(x
f 在（1，e ）上单调递减，没有最小值
所以，-22
e a <<-
21解：（1）设P 1（x ，y ），则11
(1,),(,1)AP x y PB x y =-=-- 由112AP PB =得12,22x x y y -=-=-，所以可得1
12
P (,)33
= (2)设}{n a 的公差为d ，}{n b 的公比为q
若0=d 且1≠q ⇒ 1P ，2P ，3P ，…，n P ，…都在直线1
3x =
上； 若1=q 且0≠d ，⇒ 1P ，2P ，3P ，…，n P ，…都在直线2
3
y =上； 若0≠d 且1≠q ，1P ，2P ，3P ，…，n P ，…共线
⇔1n n P P -=11(,)n n n n a a b b ----与111(,)n n n n n n P P a a b b +++=--共线（*,1N n n ∈>） 1()n n b b +⇔-=1()n n b b --1q ⇔=与1≠q 矛盾，
∴当0≠d 且1≠q 时，1P ，2P ，3P ，…，n P ，…不共线. 22．解：（1）()ln(1)ln(1)f x a x b x a b =+--+-
所以()',11a b f x x x
=
++- 由 ()'0,k f = 得2,a b +=
由 ()00,f = 得0,a b -= 解得 1.a b == 所以()ln(1)ln(1).
f x x x =+--
（2）原命题⇔()1,0,x ∀∈- ()30.3x f x x ⎛⎫
-+< ⎪⎝
⎭
设()()()3ln 1ln 13x F x x x x ⎛⎫
=+---+ ⎪⎝
⎭
()42
2111'1,111x F x x x x x +=+--=+--
当()1,0x ∈-时，()'F x 0>， 函数()F x 在()1,0x ∈-上单调递增。

()()00F x F <= ， 因此()1,0,x ∀∈- ()3
3x f x x <+
（3）31ln ,13x x k x x ⎛⎫
+<+ ⎪-⎝
⎭ 对()1,0x ∈-恒成立
⇔ ()()31ln 0,1,013x x t x k x x x ⎛⎫
+=-+<∈- ⎪-⎝
⎭
()()()42
22
22'1,1,0,11kx k t x k x x x x -+=-+=∈---
所以当(](),0,'0k t x ∈-∞≥ ， 且[]()0,2,'0k t x ∈≥恒成立
即2k ≤时，函数()t x 在()-1,0上单调递增， ()()00.t x t <=
当2k >时，令()'0,t x = 解得()4
02
0,1k x -=
∈()0,1,0x ∈-取
()()000,t x t >= 显然不成立.
综上可知：满足条件的k 的最大值为2.。